內容回顧一、可降階微分方程

解法——降階法逐次積分令令機動目錄上頁下頁返回結束時,稱為非齊次方程

;時,稱為齊次方程.機動目錄上頁下頁返回結束二階線性微分方程:二、二階線性微分方程解的結構1、線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解但不一定是通解.(疊加原理)

（1）是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則數)是該方程的通解.機動目錄上頁下頁返回結束2、線性非齊次方程解的結構

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.(2)三、二階常系數線性齊次微分方程特征方程:實根特征根通解機動目錄上頁下頁返回結束二.常系數非齊次線性微分方程機動目錄上頁下頁返回結束第五節一、二、

第十章二階常系數線性非齊次微分方程:根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.①—待定系數法機動目錄上頁下頁返回結束一、

為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數多項式機動目錄上頁下頁返回結束(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為對方程①,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解機動目錄上頁下頁返回結束小結:特解的形式機動目錄上頁下頁返回結束二階常系數線性非齊次微分方程:的特解：例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數,得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數,得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為代入方程得比較系數,得因此特解為所求通解為鞏固練習：P3153（1、3、5）

4（1、2、3）作業：P3153（2、4、6）

二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結束第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結束

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:機動目錄上頁下頁返回結束第三步求原方程的特解

利用第二步的結果,根據疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.機動目錄上頁下頁返回結束第四步分析因均為

m

次實多項式.本質上為實函數,機動目錄上頁下頁返回結束小結:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結束例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結束例6.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結束例7.求物體的運動規律.解:問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程

當p

≠k

時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第七節例1(P294)中若設物體只受彈性恢復力f和鉛直干擾力代入④可得:④機動目錄上頁下頁返回結束當干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時,自由振動強迫振動

當

p

=k

時,非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為機動目錄上頁下頁返回結束若要利用共振現象,應使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強迫振動的振幅這時產生共振現象.可無限增大,若要避免共振現象,應使p

遠離固有頻率k;p

=k.自由振動強迫振動對機械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機的調頻放大即是利用共振原理.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為3.上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習時可設特解為時可設特解為提示:1.

(填空)

設機動目錄上頁下頁返回結束2.

求微分方程的通解(其中為實數).解:

特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數得故