6/6§6.3.2向量的正交分解及坐標表示一、內容和內容解析內容：向量的正交分解及坐標表示．內容解析：本節是高中數學人教A版必修2第六章第3節第二課時的內容．平面向量基本定理是坐標表示的基礎，坐標表示使平面中的向量與坐標建立起了一一對應的關系，這為通過“數”的運算處理“形”的問題搭建了橋梁，也決定了本課內容在向量知識體系中的核心地位.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示，培養學生數學抽象和直觀想象的核心素養.二、目標和目標解析目標：（1）借助平面直角坐標系，理解平面向量的正交分解，培養數學抽象的核心素養．（2）掌握平面向量的坐標表示,提升數學運算的核心素養．目標解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理為基礎，平面上給定兩個不共線的向量，則任意向量均可分解為分別與它們共線得兩個向量，如果這兩個不同線的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）類比平面直角坐標系中點的坐標的表示，思考直角坐標平面內向量的表示方法，由正交分解和單位向量做基底，由此給出向量坐標的概念.（3）數學核心素養是數學教學的重要目標，但數學核心素養需要在每一堂課中尋找機會去落實．在向量的正交分解及坐標表示的教學中，從平面向量基本定理歸納推理概括正交分解和坐標表示是進行數學抽象教學的很好機會．基于上述分析，本節課的教學重點定為：掌握向量的坐標表示．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：如何進行向量的正交分解是本節課的第一個教學問題．解決方案：通過回顧平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的兩個方向分解的例子說明．2．教學問題二：如何進行坐標表示是本節課的第二個教學問題．這是本節課的重點類．解決方案：類比平面直角坐標系中點的坐標的表示，借助圖形觀察發現向量的坐標和點的坐標之間的聯系．基于上述情況，本節課的教學難點定為：了解平面向量的正交分解．四、教學策略分析本節課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到向量的正交分解及坐標表示，應該為學生創造積極探究的平臺．因此，在教學過程中利用問題串的形式引導學生思考，討論，可以讓學生從被動學習狀態轉到主動學習狀態中來．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視向量的正交分解及坐標表示，讓學生體會到從特殊到一般是數學抽象的基本過程．因此，本節課的教學是實施數學具體內容的教學與核心素養教學有機結合的嘗試．五、教學過程與設計教學環節問題或任務師生活動設計意圖回顧前知[問題1]什么是平面向量基本定理？[問題2]如圖,向量i,j是兩個互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,以向量i,j為基底,向量a如何表示?教師1：提出問題1．學生1：如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量，有且只有一對實數，使.我們把不共線向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.教師2：提出問題2．學生2：因為向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,所以OA=2，OB=2，于是a=2i+2j.通過復習平面向量基本定理引入本節新課.建立知識間的聯系，提高學生概括、類比推理的能力.問題探究形成概念[問題3]在平面中,垂直的兩個非零向量a,b能否作為平面內所有向量的一組基底?[問題4]在平面內,e1,e2是兩個互相垂直的非零向量,這個平面內的任一向量是否都能用這兩個向量來表示?表示是否唯一?[問題5]平面直角坐標系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,任作一向量,根據平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)與A點的坐標相同嗎?如果向量也用(x,y)表示,那么這種向量與實數對(x,y)之間是否一一對應?[問題6]點的坐標與向量坐標有何區別？教師3：提出問題3．學生4：能,平面內任何兩個不共線的向量都可以作為一組基底.教師4：提出問題4．學生4：由平面向量基本定理可知,平面內的任一向量都可以用e1,e2來表示,且表示方法是唯一的.教師5：提出問題5．學生5：相同，一一對應.教師6：1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,則a＝(x，y).2．平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a＝(x，y)就叫做向量的坐標表示．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐標系中，若A(x，y)，則＝(x，y).教師7：提出問題6學生6：(1)向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號．(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標相同．(3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).通過探究讓學生理解平面向量的正交分解與坐標表示，培養數學抽象的核心素養.典型例題，鞏固落實1.平面向量的正交分解及坐標表示例1.如圖，取與x軸、y軸同向的兩個單位向量i、j作為基底，分別用i、j表示，并求出它們的坐標．2.向量的坐標的應用例2.已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標原點，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點，分別求向量的坐標．[課堂練習]1.設是平面直角坐標系內分別與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量，O為坐標原點，若，則2＋的坐標是()A.B.C.D.[課堂練習]2.設是平面直角坐標系內分別與軸，軸正方向相同的兩個單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()A．B．C．D．教師8：完成例1．學生7：＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它們的坐標表示為＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．教師9：完成例2學生8：如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3)).教師10：布置課堂練習1、2．學生9：完成課堂練習，并核對答案．答案：D,C.通過例題鞏固本節所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識課堂小結升華認知[問題7]通過這節課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數學思想？[課后練習]1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同．()(2)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．()(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關．()(4)點的坐標與向量的坐標相同．()2.如圖，在正方形ABCD中，O為中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；eq\o(OD,\s\up6(→))=________.3.如圖，已知在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求點B和點D的坐標和eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))的坐標．教師11：提出問題7．學生10：學生18：學生課后進行思考，并完成課后練習．答案：1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1，1)．3.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)