威布分析方法（總26頁）-本頁僅作為預覽文檔封面，使用時請刪除本頁-第1章威布爾分析引言：在所有可用的可靠性計算的分布當中，威布爾分布是唯一可用于工程領域的。在1937,WaloddiWeibull教授(1887—1979)創造性的提出了該種分布，它是用于失效數據分析分布中應用最廣泛的分布之一，也用于壽命數據分析，因為系統或部件的壽命周期的測量也需要分析。一位瑞典的工程師和一位數學家潛心研究冶金的失效，威布爾教授曾指出正態分布要求冶金的初始強度服從正態分布，而情況并非如此。他還指出對于功能需求可以包含各種分布，其中包括正態分布。1951年他發表了代表作，“一個具有廣泛適用性的統計分布函數”，威布爾教授聲稱壽命數據可以從威布爾分布族中選擇最恰當的分布，然后用合適的參數進行合理準確的失效分析。他列舉七種不同的情況來證明威布爾分布可順利用于很多問題的分析。對威布爾分布的最初反應是普遍診斷它太過完美以致于不真實。盡管如此，失效數據分析領域的先驅們還是開始應用并不斷改進，直到1975年，美國空軍才認可了它的優點并資助了威布爾教授的研究。今天，威布爾分析涉及圖表形式的概率分析以找出對于一個給定失效模式下最能代表一批壽命數據的分布。盡管威布爾分布在檢測壽命數據以確定最合適的分布方面在世界范圍內處于領先位置，但其它分布也會偶爾用于壽命數據分析包括指數分布，對數正態分布，正態分布，壽命數據有了對應的統計學分布，威布爾分析對預計產品壽命做了準備。這種具代表性的樣本分布用來估計產品的重要壽命特征，如可靠性，某一時刻的失效率，產品的平均壽命及失效率。威布爾分析的優點：威布爾分析廣泛用于研究機械、化工、電氣、電子、材料的失效，甚至人體疫病。威布爾分析最主要的優點在于它的功能：提供比較準確的失效分析和小數據樣本的失效預測，對出現的問題盡早的制訂解決方案。為單個失效模式提供簡單而有用的圖表，使數據在不充足時，仍易于理解。描述分布狀態的形狀可很好的選擇相應的分布。提供基于威布爾概率圖的斜率的物理失效的線索。雖然對數或對數正態分布的使用通常要至少20次失效或源于以往的經驗，在只有2~3次失效時用威布爾分析非常好，在涉及安全性或極端費用時的失效結果是很關鍵的。威布爾家族中的一員weibayes，在以往經驗充足時甚至可用于無失效情況下。威布爾概率圖：威布爾分析研究的是通過在威布爾概率圖上繪制單一失效模式的壽命數據來研究部件的壽命時間和它的可靠度之間的關系。威布爾分析最常用于描述元器件失效的時間，它們可以是電燈泡，滾珠軸承、電容、磁盤驅動器，打印機甚至是人。失效模式包括爆裂，折斷，變形或由于腐蝕造成的疲勞，過應力，高溫，初期致命失效，耗損等等。當在威布爾概率圖上繪制失效時間數據時，工程師們更愿意用medianrankregression作為參數估計方法，medianrankregression方法是通過用最小二乘法（曲線擬合），找到一條最佳擬合直線來將平方差減至最小，medianrankregression被認為是標準參數估計方法，因為它通過大多數數據得出了正確結果。典型的，水平刻度（x軸）度量部件的壽命，垂直刻度（Y軸）度量已知失效模式下的部件失效累積的百分數。一個威布爾概率圖沿著橫坐標有一條線性/非線性的時間刻度，沿著縱坐標有另一條非線性的分布函數。這些非線性的刻度通過適當的數據模型選出。如果刻度與數據相匹配，圖表就會呈現出一條直線。由于它們簡單且有用，所以概率圖表用于統計分析中已經很多年了。盡管如此，仍需注意的是用概率描繪

的方法獲得的分布參數是獨立同分布的，這經常用于不可修的部件和系統，而對于可修系統的失效數據可能就不是這樣。在圖7-1中，威布爾概率圖認為失效時間對應唯一的失效模型。當許多元器件在正常運轉條件下被測試時，它們不會在同一時間因同一原因都失效。任一失效原因下的失效次數都會集中于平均值附近，次數過多或過少的情況都較少。由于壽命數據的分布如此，他們會服從某種分布。為了描述一種分布的形狀，這種分布的形狀取決于所要研究的內容，公式可由統計方法得出。如果已繪制的數據點落在直線附近，威布爾概率圖便認為是合理的。發生頻度9099」.10.94725/01發生頻度9099」.10.94725/01數據（單元）10圖7-1.威布爾分布概率圖注意：Y軸上的值是從1%~99%的概率值，軸上各點之間的距離是不均勻的。威布爾概率圖的X、Y軸上的點于點之間的距離是百分比的變化而不是點的變化。正如對數的刻度一樣，1~2間的距離是100%的增加，與2~4間的距離相同，但那是另一個100%的增加。對數比例只為一些相似級數作鋪墊。除了對問題有更深的洞察力，最直觀的是對確認分布方法有幫助，該種方法可更好的將數據集構成一條直線。如果用以前的數據表示發生的失效，將組件的失效壽命繪制成圖是非常常見的。在這種情況下：Y軸通常為：ln^nX軸為：lnG）Y軸的截距為：0?ln3）威布爾分析的用途威布爾分析一般用于以下方面失效數據的分析：研制、生產和服務質量控制和設計缺陷維修計劃和替代方案備用元件的預測保障性分析自然災害（閃電襲擊，暴風雪，強風，暴雪等）威布爾分析新的應用包括醫學研究，儀器校準，費用削減，材料性能和測量分析。理解威布爾分析雙參數的威布爾分布目前在壽命數據分析中廣泛應用：R(t)=exp<一其中：t》o，B>0且n>0。這里不和n分別是分布狀態和比例參數。因為雙參數的威布爾分布有效地分析了初期致命失效，實用壽命的和耗損階段的壽命數據，它也可用于失效率的增長，持續和遞減。定義了威布爾概率圖的第一個參數是斜率B，它是形狀參數，因為它確定了威布爾家族中哪一種分布相關性最好或可以描述數據。第二個參數是特征壽命，伊塔（n）作為比例參數，因為它定義了分布狀態的大部分。參數B和n可從壽命數據中估計，壽命數據總為正值。威布爾分析完成后，由圖可看出威布爾概率的斜度和擬合度。注意：三參數的威布爾分布應用也很廣泛。第三個參數——位置，是一個常數，可從時間變量t中加上或減去。其它信息，請參閱165頁。威布爾危險函數或失效率依賴于B的值，因為B值說明了新或舊元件是否更有失效的可能，威布爾危險函數可以描繪出不同元件的浴盤曲線：初期故障：在電子和制造業中，早期失效指在使用壽命的初期失效的概率極高，當B值于小時，威布爾概率分布圖表明較新的元件在正常使用時更有可能失效，被稱為瞬時遞減失效率。為中止電子和機械系統在早期故障的高失效率，制造商提供了產品接收測試，老練（burn-in）早期和環境應力篩選暫不先將系統交付客戶。假如有部件在初期損失階段沒有失效，那么它的失效率應當是遞減的，且它的可靠度增加。因此，舊元件被認為比新元件更好，因為新元件很可能在壽命的早期失效，而元件在早期失效階段的檢修是不合適的。偶然故障：假設威布爾概率分布圖以一個獨立失效模型為基礎，B為說明失效率是常數或相對于時間獨立。這意味著對于那些無故障運行至時間t的元件，在下一個單位時間內將不能保持恒定的百分比，稱作恒定危險率或瞬時失效率。這使得威布爾概率圖與指數分布一致。由于舊元件被認為與新元件一樣好。檢修通常是不適合的，唯一使系統或部件可靠度提高的方法是用隨機失效進行重新設計。早期損耗：在設計壽命時經常因為機械問題出現未預期的失效。當<B<時，大修或以低B-lives來替換元件會較經濟。B-Lives指出給定總數的百分比失效時的時間。例如：B-1壽命是指總數的1%失效時的時間，而B-10壽命指總數的10%失效的時間。通過優化預防性維修計劃，經歷早期耗損的元件的可靠度和費用都會提高。快速損耗：盡管一個元件設計壽命的B值大于是需要引起重視，但多數斜率急劇升降的威布爾概率圖在失效概率在忽視范圍內有一個安全期，且發生失效的影響會超出設計壽命。斜率越大的直線，在失效時間內的變化越小且結果越可預知。對于有重大失效的元件，大修和檢查會更經濟，因為定時維護會較昂

貴，所以當舊元件快損壞或失效時才會考慮，此時的失效稱為瞬時增長失效率。因為不同的斜率代表不同的失效類別，威布爾分布提供了可能引起失效的原因，表7-1列出了引起每一類失效的失效原因：B值類型斜述B<初期故障當B<,失效原因歸名吉于：不充足的burn-in或應力篩選部件的質量問題制造的質量問題錯誤的安裝，設置及使用重做/刷新時出現的問題B二隨機失效當B=,失效原因歸結于：維護中的人為錯誤引發的失效而非固有的意外事故和自然災害（外來物體，閃電襲擊，強風摧毀等）<B<早期損耗當<*,失效原因歸結于：低循環疲勞受力失效腐蝕/侵蝕制造過程吃快速損耗當晚，除部件老化，還有以下原因引起失效：?材料的固有屬性的缺陷（如陶瓷易碎）?制造過程中出現的嚴重問題?制造或材料上的細微變化表7-1失效分類及斜率對應的可能原因統計學家，數學家和工程師們已將統計分布簡化為數學模型或描繪出某些行為。與其它統計分布相比,威布爾分布適于更廣范圍的壽命數據。威布爾概率密度函數是一個數學函數，用以描述與數據相適應的曲線。概率密度函數可用數學模型給出或用圖形給出，其中圖上X軸代表時間。威布爾家族中的不同成員有不同形狀的概率密度函數。累積密度函數是概率密度函數曲線下的面積。威布爾分布的累積密度函數如下：公式F（t）=1-expf--p> E」其中:n代表特征壽命（比例參數）B代表斜率（狀態參數）累積密度函數給出了時間t內的失效概率.參數n和B由失效時間進行估計，如果失效數據來自于威布爾分布，n和B的值代入累積密度函數的公式求出一定時間內元器件的失效預計。特征壽命n和平均失效時間（mttf）是相關的。特征壽命給出了系統或元器件壽命中的失效概率獨立于失效分布參數的點。對所有威布爾分布來說，定義為%的單元失效時的壽命。對6=1，MTTF和相等。MTTF和n為gamma函數關系：公式WhenP<1,MTTF川.WhenP=0.5,MTTF=2”.WhenP=1,MTTF=",典型分布。WhenP>1,MTTF<n.雖然，威布爾教授最初提出用平均值作為MTTF值繪制在威布爾概率分布圖的y軸上，現在是標準的工程方法用失效時間的中間值來劃分壽命數據。表7-2展示了一個中間等級表（50%）作為10個數量的樣本，由此形成萊奧納多,杰克遜（LeonardJohnson）的等級公式。因為在壽命數據中非均勻分布相當常見，所以中間值比均值更為準確些。一旦知道B和n任意時間的失效概率都可輕易算出。等級順序1234567891012345678910表7-2中間等級（50%）1.1.5進行威布爾分析：除了指出新的還是舊的元期件更易發生失效，威布爾分布還可被應用在許多分析上，包括可靠性分析和維修分析，概率設計，分布分析，節約成本和設計比較。威布爾軟件，是一個能基于過去的性能、分析領域或實驗室數據用威布爾分布計算系統或元器件今后的可靠性的程序，用威布爾軟件預計可靠性基本上由6步組成：1、收集“好的”壽命數據2、選擇分布類型3、確定估計方法4、指明置信值5、進行分析6、解釋結果1.2收集“好的”壽命數據收集“好的”壽命數據是威布爾分析的第一步，也是最難的一步。因為威布爾分析的結果實際上只基于數據，與數據相關的工作必須細致的執行。確定失效所用比例尺在威布爾分析中，壽命單元完全取決于元器件的使用和已知的失效模型。產品壽命可以用小時，英里，周期數或任何一個應用于特殊產品成功運作時期的單位來度量。例如，使用中的汽車輪胎的壽命用英里或公里來度量。燃燒爐和渦輪機用高溫工作的時間或冷熱循環次數來度量。這樣，部件壽命可用長度，時間，任務周期，載荷循環，旋轉次數等等來度量，具體情況由失效模型來決定。每個失效模型應獨立分析，部件壽命時間的原點和刻度要仔細考慮，即可得到威布爾分析較準確的結果。因為好的數據分析方法并不能改善壞的數據，通過徹底地調查數據源以找出報告問題的根本原因，注意單個元器件有許多失效模式。如果數據集包含了多種失效模式的綜合，標記單個數據點以指明相應的失效模式。將壽命數據手工輸入或自動導入到威布爾軟件之后，每一個失效模型便會建立起相應的分布。盡管失效模型一般指明了最易老化的單元，但不確定最好的老化參數也會偶然存在。這種情況下，對于每一個可選的老化參數都易形成威布爾概率分布圖，圖中最好的老化參數最為接近一條直線的參數。威布爾軟件提供了自動選擇最優分布以及優化所分析的壽命數據。因為威布爾概率分布圖經常會從很少的數據中獲取很重要的信息，甚至從壞的數據中都可能得到一些信息。當有效數據不可用的或得不到，例如：壽命參數可用日期間隔表示。對于已失效的鍋爐，最合適的壽命參數是工作小時或工作循環次數，然而唯一可用的數據是最初的裝運及回收日期。盡管使用日歷時間表示老化參數不甚合適，增加了不確定性，相關性度量(ameasureoffit)可以很容易計算以確定是否得出的威布爾概略圖準確到可提供有價值的分析。考慮材料特性如延展性，受壓斷裂和疲勞時，老化參數通常為應力，負載或溫度。盡管這些參數不能真實的反應老化，但威布爾概率分布圖的結果相當于得出了組件的壽命。在為概率圖收集組件老化之前，要確定：分析的單一失效模型要有清楚的定義組件老化時間原點要定義清楚所用的時間度量單位要一致排列數據收集到壽命數據之后，要將失效時間從早至晚排列，這樣分類可繪制成圖，時間⑴軸和縱軸F(t)，由百分比表示。每次失效被描繪在失效時間⑴和F(t)的估計圖上，F(t)為失效前失效數占總數的百分比。中止確認研究的失效模式中未失效的單元被稱為中止或檢查單元。中止沒有失效的或是根據完全不同的失效模式失效的單元。中止按相對于組件可達到的壽命長度的老化年齡來進行分類。在工程上，中止一般是單元真正失效的時間大于所考慮的失效模式最老化的時間，然而其它類型的中止也存在且按老化年齡分為：早期中止：所討論的失效模式中失效年齡小于最小失效時間的單元。早期中止對威布爾概率分布圖影響很小，稱為已知檢測數據，早期中止在工程數據中很少見。在醫學預防研究中，當一個病人參與研究時，才會產生已知檢測數據，因為疾病的出現先于預防研究的進行，此事件發生的時間先于在研究過程中首次失效的時間。令中期中止：除所討論的失效模式，出現隨機失效而老化的單元。中期中止又被稱為隨機中止或連續中止，一定條件下可變換為介于早期和晚期中止間的一條威布爾圖線。令晚期中止：失效老化年齡大于所討論的失效模式下最老失效年齡的單元。晚期中止可減小威布爾概率分布圖的斜率，稱為在檢數據，晚期中止主要集中于工程數據。壽命測試中，在失效前通過元器件的移除產生在檢數據。當元器件在一段時間內運行成功后，繼續運行的時間長度是未知的。盡管未對失效進行過多的加權，但所有被確認的中止必須包含在樣本數據集內。由于中止發生前，中止對可調等級或中間等級毫無作用，所以先用中止對數據分類，然后調整其級別。當增加中止行為對斜率B影響不大時，會增加特征壽命n。這樣看來，不包含中止雖也能得到結果但并不理想。確定數據類型當數據集中的每一點的精確失效或中止時間已知時，數據可由點表示。考慮到威布爾分析中數據的標準類型，逐點數據被分為（失效）發生和中止。對于發生，失效時間或事件被精確記錄在時間刻度⑴上的某一點。對于中止，未失效單元的清除應被記錄在時間刻度的某一點，即使當前真實失效時間實際上已大于當前所達到的老化年齡。多數可控制的測試數據是以點表示的，因為測試期的長度和失效時間都是已知的。當所有失效時間均已知且對中止時間作了正確的估計，所確定的數據也可按點分類。當確切的失效和中止時間均未知時，數據可根據失效間隔（單元的數目）分組，分組數據引起了分析的不確定性的增長。當處理不具備準確失效和中止時間的按月記錄的失效數時，確定數據可看作分組數據。描述分組數據的術語包括：數據間隔：只有當系統或組件停止動作并做定期檢查時，潛在失效模式才會被發現。當一個無害的失效模式首次被檢出時被稱作發現。失效元件的實際失效時間小于所記錄的第一次檢查的時間。一個無害的失效在上一次檢測（tl）后發生但直到下一次檢測（t2）時才被發現，所以它的失效時間大于先前的檢測時間而小于此次檢測時間。粗略數據：與間隔數據相關，粗略數據的失效時間不精確，因為數據收集的時間間隔很長，甚至是幾個月而非幾天或幾小時。真實數據，也叫有害檢測數據：真實數據是在檢測時每個被檢測元件由于檢測的不確定性或檢測時發現失效的不確定性而獲得的。對于真實數據，每一個測試結果或者被看作中止或者被看作失效。例如：測試炸彈或導彈（或檢測渦流運動），只有工作或不工作兩種可能。因為壽命數據的類型決定了哪種分布類型最好，表7-3描述了威布爾軟件中常見的選擇類型以說明數據點是如何收集的。類型描述點描述(point-by-point)適用于在數據集中每個點的失效或中止時間已知時輸入失效和中止數據。當數據點為20個或更少時，標準方法是選擇威布爾分布，用中級回歸作為參數估計的方法。點描述/檢驗(point-by-point/Inspect)適用于在定期檢測區間內數據被指定時輸入失效和中止的數據。這種分類也定義了區間頻率分布。分組，probit2適用于從發生事件的同一單元的重復測試中輸入失效和中止的數據。這種方法將不同的時間點上被檢測單兀的累計失效數進行比較。在上一次檢測中用一個新單元替換了一個失效單元時，即增加了失效單元數和被檢測單元數。此類也適用于不同老化階段不同數目的被測單元的輸入。分組，probit3適用于在不同時間百分比階段中不同數量的被測試單元

做無重復測試時輸入失效與中止數據。此方法比較了不同時間點上被測單元的累積失效百分比。在破壞性檢測中有時會用到此種測試。因為累積失效分布是時間的增函數，所以在破壞性測試中累積失效百分比是隨時間增加的。然而，考慮到失效的隨機性，情況也并非完全如此。此類型也適用于不同的老化階段使用不同數目的被測單元。分組，Kaplan-Meier適用于在準確定義時間間隔時，也就是在每個時間間隔末尾發生失效或中止時，輸入失效或中止的數據。此方法以也可用于不同的時間區間，尤其是在輸入數據時是否使用精確修正（actuarialcorrections），該方法可在無任何假定分布的情況下精確估計出累積分布。極大似然估計區間適用于用極大似然估計或經修正的極大似然估計作為一種參數估計方法時，用統一數據格式表示所輸入的失效和中止的數據。（有關“指定評估方法”的內容請參閱第166頁）數據集的發生，中止，發現和區間都可被指定，且區間還可被定義。表7-3數據類型和描述1.3選擇分布類型威布爾分布有不同形式的應用，包括單參數，雙參數，三參數及混合威布爾分布，有時不屬于威布爾分布的正態或對數正態分布也可用于壽命數據的分析，選擇適合于特殊數據集的分布要以數據的數量和質量，以往經驗以及良好的相關性測試為基礎。表7-4描述了威布爾家族的各種分布。雙參數威布爾分布雙參數威布爾分布的所需參數是斜率和特征壽命。這種分布用小樣本提供了正確合理的失效分析和失效預計。它尤其可以診斷出失效類型，例如初期損耗（尤其是電子產品），獨立時間失效（意外事故和固有事件的發生）或耗損的構件

（軸承、過濾器等），如果失效率遞減（老練時期burn-inperiod）或遞增（耗損階段），或失效率保持恒定（隨機失效階段），推薦使用雙參數威布爾分析。指數分布指數分布唯一的參數是失效率。指數分布可被視為威布爾分布的一種特例——B=1。當部件的失效率恒定時，它的可靠度最好用威布爾分布或指數分布來描述。失效率恒定會產生無記憶屬性，即一個使用過的部件的壽命與當前老化時間無關，因此可以說一個使用過的部件像一個新部件一樣好（只有當P為1時，威布爾分布才是無記憶的）。因為指數分布假定沒有初期故障或耗損階段，所以區域內數據要經仔細測試以確保那些假設正確。對于指數分布，MTTF與失效率互為倒數。瑞利分布瑞利分布的唯一參數是特征壽命。當P=2時，瑞利分布可被視為威布爾分布的一種特例。然而，它有其自身優點，是一個重要的分布，它不僅應用于可靠性問題也用于與通訊系統相關的噪聲問題。作為與指數分布相似的一個單參數分布，瑞利分布可被用來描繪錯誤源的均方根值。如果失效率隨時間線性增加時可推薦使用瑞利分布。Weibayes分布WeiBays分布的唯一參數是特性壽命，也叫單參數威布爾分布。WeiBayes是威布爾分布的一種特例——斜率P定義如前所述。與Bayesian假定有關，當用傳統的威布爾分析產生許多不確定因素時，Weibays便是一個有效的解決問題的方法。當樣本小于10個失效數時，Weiboys分布比雙參數威布爾分布更精確，而且它是在失效數為零時唯一可用的分布。例如，在對一個現存失效模式進行設計修改后，從測試中獲取的有效數據可用于確定新設計中威布爾曲線的置信下限被成為Weibayes曲線。當元器件超出其設計壽命時，無失效的威布爾分析可延長其壽命。由于Weibayes分布可用于無失效測試要求的情況下，所以它的重要性全在于失效對安全性和極限成本的影響。三參數威布爾分布除斜率或特征壽命參數外，三參樓威布爾分布還包括一個位置參數%它定義了分布在時間上的位置。這個參數可轉換時間刻度的原點，而且只有被雙參數分布分析證明為是合適之后，才可被使用。（有關其它信息可參考172頁'威布爾概率分布圖的曲線數據”）。使用位置參數時，在生成威布爾概率分布圖之前，t0的值可以從時間值中減去或加口上。例如，在某段時間內如果失效率為零，那么時間刻度的原點應從0轉換到t0處以反映此階段為無失效保證階段，修正量t0為一個正值，等于失效發生的最小時間。由于正式使用前會出現壽命（可靠性）損失，t0為一個負值。負修正對于倉庫中閑置元件的腐蝕的情況是有用的。例如，橡膠部件，化學品和滾珠軸承，都會隨貯藏時間的延長而腐蝕老化。當t0值用于

數據修正時，結果可繪成一條直線。在沒有經驗的情況下，用三參數威布爾分布進行分析時通常需要至少20個失效數據。Gumbel在19世紀20年代，第一個認真調查失效數據的極值，找到只有6個獨立極值的分布。他的第III類最小極值分布與威布爾分布相同。Gumbel-(Lower)distribution也叫第I類極小值分布，是種極小值分布。Gumbel-(upper)distribution也叫第類極大值分布，是一種極大值分布。當失效數據為偶然性事件的結果并且失效數據取極值時，推薦用Gumbel分布。示例如自然災害和最大載客量等。因為Gumbel分布(和正態分布)可用于預計高可靠度要求下無壽命數據情況下的負壽命值，所以在建立壽命數據模型時要謹慎使用。表7-4威布爾分布統計要點盡管統計學家反對用極小樣本，但安全性和明顯的資金損失卻決定了我們收集的數據的局限性。當僅有極少失效數據存在時，威布爾分析可提供有用的結果，因為：?耗損失效發生在最陳舊的單元上。多數失效結果被繪在威布爾概率分布圖的左下角至B-1，這也正是在工程上最為關注的區域。?威布爾分析包括失效和中止。盡管中止沒有失效嚴重，但會有上千的中止，在~B-1lives進行更準確的工程預計。威布爾分布應用于失效機會倍增且第一次失效很重要的情況，也應用于線性衰退而不是加速衰退系統。當威布爾分布是非線性衰退而不是當前衰退的一個函數時，可使用對數正態分布。表7-5給出了正態和對數正態分布的描述。因為即使它們不屬于威布爾分布但偶爾也用來做壽命數據的參數分析。多數威布爾軟件可快速生成所有分布并自動為數據集選出一個最合適的分布。正態(或高斯62口5510口)分布正態分布的兩個參數是均值和標準差。正態分布是對稱的，一般被稱為貝爾曲線，該分布很重要且廣泛用于概率統計中。正態分布經常用于描述失效率隨時間增加的設備。當失效時間口」用某些隨機變量的總和表示時才推薦使用正態分布。正態分布便于描述不同類型數據，它允許觀測結果為負。由于時間t大于零后元件才會失效，所以壽命數據總是正的。因此正態分布并不能很好的描述壽命數據。分析人員并不為正態配置所困擾，因為利用正態分布的壽命數據也可繪制的威布爾概率分布圖。對數正態分布對數正態分布的兩個參數是均值和標準差。盡管對數正態分布與正態分布相似。它假定了隨機變量的對數值是正態分布而不是隨機變量本身服從正態分布。因而，所有值均為正，分布圖像便不會向左傾斜。對數正態分布很可能是威布爾分布強有力的競爭對手。它多用于工程上的金屬疲勞測試、維修數據（修復時間）、化學反應過程的儀器失效和維修，一些材料特性和非線性加速衰退。若有倍增的失效因素影響失效時間，推薦使用對數正態分布。例如，在衰退漸增的情況下，斷裂形式是由于壓力造成，且壓力隨裂縫增大而增加。對數正態分布的非工程應用包括私人收入分析，遺產繼承和銀行抵押。表7-5用于失效數據分析的非威布爾分布指定估計方法：為給壽命數據集選定合適的統計模型，進行壽命分布分析的參數應與估計數據嚴格一致。盡管有許多估計方法可選擇，但根據數據類型和所分析數據點的數目，最常用的是行列回歸和極大似然估計的各種形式。這是因為它們適用于所有分布和所有數據類型。根據參數估計，威布爾概率分布圖所示結果反映了所選分布與所分析數據集的擬合性。行列回歸行列回歸是一種按數據擬合直線（或曲線）的方法。要為數據集選定合適的統計模型，就要對壽命分布參數進行估計，生成的函數要與數據嚴格吻合。參數決定著概率密度函數（pdf）的比例，形狀和位置。例如在三參數威布爾分布中：?斜率參數B:定義了分布的形狀尺度參數n:定義了分布的大部分方向位置參數t0:定義了分布在時間上的位置在多數情況下，最好的估計方法是中間行列回歸，是通過失效時間和行列中用最小二乘法值擬合一條直線用以估計參數B和n并繪制在威布爾概率分布圖上，一旦對單個定義好的失效模式收集了良好的壽命數據，威布爾軟件便可繪成威布爾概率分布圖：1、將所有失效和中止時間從最早發生到最晚發生分級。（盡管中止不像失效一樣多，但它們都屬于數據集）。2、計算失效的調整行列（不繪制中止）3、用Benard近似將調整行列轉換為中值行列。4、將中值行列轉換為百分比繪制在威布爾概率分布圖上。5、在X軸上繪制失效時間，在Y軸上繪中值。6、如果指定置信參數，便可得出置信區間。7、從威布爾概率分布圖中讀壽命估計特征壽命。8、估計斜率作為上升率中值行列回歸對于失效小于等于100樣本時可認為是最準確的參數估計方法。極大似然估計（MLE）極大似然估計是統計學家所用的另一種方法。它從所觀測的數據中的B和n中找到B和n的最大似然估計值。似然函數由觀測值中每一個數據點的概率密度函數的結果組成，也有未知的分布參數。該函數以對數示值，有很多階段且相當復雜。對于雙參數分布，對數似然是一種山形的三維圖形，山頂位置是極大似然值。極大似然估計值是最接近于真實值的值。當被分析數據組包含100或更多的失效且有中止或缺陷數據時，極大似然比中值回歸更準確。盡管如此，喜歡將數據繪成圖的工程師們不是也發現了極大似然估計的缺陷——它不能提供很好的圖形顯示。

1.4.3參數估計方法除了數據類型和數據點的數目，可根據分析線圖的計算時間和擬合質量選擇參數估計方法。表7—6給出了威布爾軟件中可用的行列回歸和極大似然估計方法。方法描述/優點缺點行列中值回歸用最小二乘法找到一條最適合的直線，使方差和最小。中值回歸可認為是標準參數估計方法，因為對大多數數據組都可得到相當準確的結果。除了用最簡單的方法，威布爾概率分布圖這種方法也是較易懂的。不能用于單點失效。統計學家更傾向于用極大似然估計，他們稱行列回歸不夠平滑。均值回歸此方法是基于均值（最初由威布爾推薦）而不是中值。由于壽命數據的非對稱性，所以均值沒有中值準確。均值回歸的特殊情況一種基于均值而非中值的方法，它的失效百分比是非獨立變量而時間是獨立變量。由于壽命數據的非對稱性，所以均值沒有中值準確。將Y軸（部件壽命）向X軸（失效時間）作回歸。通常來講內有X軸向Y軸做精確。這是因為失效時間過于分散且比部件壽命易出現錯誤。Hazen回歸一種以中點值代替中值的回歸方法不能用于單點失效。Hazen回歸的特一種用中點計算行列回歸的方將Y軸（部件壽命）向

殊情況法，它的失效百分比是非獨立變量而時間是獨立變量。X軸（失效時間）作回歸。通常來講內有X軸向Y軸做精確。這是因為失效時間過于分散且比部件壽命易出現錯誤。二項式回歸用二項式分布找到行列中值的一種精確方法。這是威布爾軟件中普遍適用的缺陷參數估計方法。強調估計特殊的二項式回歸一種用二項式分布找出行列值的精確方法。它的失效百分比是非獨立變量而時間是獨立變量。強調計算Benard回歸一種二項式回歸的近似方法，要求用少量時間確定行列中值。用于近似Benard回歸的特殊情況一種簡化的二項式回歸的近似方法，他的失效百分比是非獨立變量而時間是獨立變量。用于近似將Y軸（部件壽命）向X軸（失效時間）作回歸。通常來講內有X軸向Y軸做精確。這是因為失效時間過于分散且比部件壽命易出現錯誤。極大似然估計（MLE）找出使得觀測數據概率取得最大值的p，n。mle可能是失效數達到500或更多的時候的最佳選擇。盡管如此，如果正確的中止存在，MLE就用于單點失效，對于所有部件，檢查區間不一樣，則MLE不能用。要重復計算且計算復雜，不易收斂。通常要求多于500個失效結果。較小樣本很可能會有偏差大結果會很樂觀。對于工程師，需要一個繪制數據的好方法來產生一個圖表以顯示重要的部分。經修正的極大似然估計(MMLE)由于估計會有偏差，所以用標準差平方的無偏估計的平方根SQR而不是從正態分布得到極大似然的標準方差。如果一個大樣本有許多中止和不完全數據，則推薦使用MMLE。有所有MLE的不足。盡管小樣本的平方根偏差比正態分布的標準偏差小，但小樣本偏差仍然存在。表7－6參數估計方法指定置信度威布爾分析結果預計基于小樣本的觀測壽命。由于樣本大小通常很有限，所以存在結果的不確定性。這樣，置信等級——統計精確性的量度，可作為分析結果準確性的量具。在觀測數據點和進行的威布爾分析之前，要先指定一個置信度等級，此置信度是一個被輸入的百分比值。百分比值越多，對結果的置信度要求就越高。置信區間用于表示一個范圍，在此范圍內，真實分析值希望能降低某一特定時間的百分比(置信度)。置信區間量化了由于樣本誤差產生的不確定度，并通過包含重要度(quantityofinterest)的特定區間的置信度來表示。而不管一個特定區間是否實際包括了重要度，盡管它未知。注：保證是指所輸入的置信度值等于可靠度的情況。置信區間可以有一或兩個界限，所選擇的置信限的類型取決于應用。單邊界限用于指示在指定置信度下，重要度所高于的置信下限或低于的置信上限。單邊置信下限用于預計可靠度。單邊置信上限用于預計保證下（underwarranty）部件的失效百分比。雙邊界限用于指示在指定置信度下的包含重要度的雙邊界限，還用于指明參雙邊界限用于預計某種分布的參數。計算置信區間可用于所有的分布和參數估計方法中。為找到置信區間，必須指定置信方法，置信區間的類型和置信度。表7—7給出了威布爾軟件中可用的置信度方法。置信方法描述FisherMatrix修正方法當樣本包含10個或更多的失效時，會得到幾乎正確合理的瞬時結果。它假設了B-lives的輸入百分比未正態分布且生成了一個完全圖樣（界限外推的）。若選擇行列回歸作為有很少量中止的大樣本的參數估計方法，則用此方法作為置信方法是最好的。FisherMatrix修正法有各種描述，包括：Gumbel：早期（無修正）FisherMatrix方法。用了一些Gumbel術語而不是二階偏微商的所有術語。它也有重要的小樣本偏差。當極大似然估計作為估計方法時，該方法并不起作用，但當行列回歸為估計方法時，用于解決問題的參數之間的差異是相當重要的。完全威布爾：這種FisherMatrix方法對于有偏差的行列回歸和小樣本是相當重要的。它使用全二階偏微商。完全Gumbel：這種FisherMatrix方法基于Gumbe術語和小偏差的較小樣本。該方法常用被認為是標準的 FisherMatrix方法。似然比例當選擇使用極大似然估計或修正的極大似然估計作為參數估計方法時，似然比例就可用于有效偏差設計和小樣本偏差補償的比較。這在壽命數據中是常見的。似然比例法可生成一個完全圖樣（邊界外推的）并提供了兩組數據間的偏差數。除比較新舊設計以外，還可用來做供給A與B,C與D等的對比。當樣

本包含30或更多失效時，此方法是正確的且對于有中止數據是最好的策略。盡管如此，這種方法花費大量計算機運行時間且結果幾乎與瞬時計算的FisherMatrix方法的結果相同。Beta二項式此方法要計算每一事件發生點的值。且最好用于確定概率單位分析的界限。Beta二項式的界限給出許多保守結果，但它所需的計算時間比FishierMatrix方法多。蒙特卡洛方法（統計試驗方法）此方法是基于關鍵統計方法的一種特殊模擬技術。在計算機運行速度很高的今天，蒙特卡洛仿真作為種預計工具并為分析技術提供參考。當它用于形成置信度時，蒙特卡洛仿真生成隨機數據樣本加入到數據點極少的已有數據中，使P值和B-Lives的置信限和形成參數的相關性更準確。通常生成保守結果時，認為蒙特卡洛方法對于沒有精確推導的置信分布估計是最好的方案。由于蒙特卡洛仿真執行每個置信點，所以該方法要求定量的估算時間。如果置信初值未保持一致，同一時間內給定真實變化性讀數的同一情況的重新計算結果會有輕微的差異。對于10個或更少的數據點，或有隨機中止的數據組形成置信區間，推薦使用蒙特卡洛法。Greenwood的標準差平方此方法用于確定Kaplan-Meier模型的界限，Kaplan-Meier模型請參閱“相關定量模型”表7－7通用的置信方法盡管增加樣本數量可減小不確定度，但測試更多失效單元致使費用非常昂貴，甚至不可能冒著安全性危險去做。一個減少樣本不確定度的較經濟的方法是所服從的失效模式的以往經驗知識。如果建立一個威布爾資料庫，威布爾概率分布圖可以在開始新設計方案之前對當前設計方案的失效模式進行評審。除概率分布圖外，理想的威布爾資料庫應包括：失效分析、來自FRACAS（失效報告，分析和糾正措施系統）的糾正分析報告、根本原因分析、指示設計或過程如何改進以避免將來發生失效模式的聲明，實驗室內的材料分析，失效模式和影響分析（FMEAs）,故障樹分析及其它相關報告。單參數的WeiBayes分布，基于工程經驗和早先設計的威布爾概率分布圖可使用一個輸入的斜率值。對于小樣本來說，定義WeiBayes分布的斜率可減少兩、三個系數的不確定性。擬合度當一串數據點圍繞在直線周圍時，所選定的分布是好的；盡管如此，當樣本非常小時，并不容易測量出擬合度。盡管如此，仍能從幾個復雜的統計測量方法中確定一組數據的最合適的分布。表7—8給出了用于評估威布爾概率圖的幾個簡單測量方法。度量描述相關系數（r）度量兩變量的線性關系的程度。相關系數總是一個介于一1和+1之間的值。與斜率相關。因為威布爾概率分布圖總是一個真實的斜率，也就會有一個實際的相關系數。r越接近于1,相關性越好。相關系數的平方（r2）衡量數據中變量的比例，該數據是通過分布相關性說明的。例如，如果r2=093,則說明數據中93%的變量可由相關性解釋.r2也被成為決定系數。臨界相關系數（CCC）衡量基于模擬中值描繪的標準威布爾概率分布圖中的相關系數的分布。90%的CCC要與相關系數進行比較。若r大于CCC,則相關性好；若r小于CCC,則數據明顯與威布爾分布不同，相關性差。CCC被認為是確定數據組與分布的相關性好壞的最好的統計學方法。臨界相關系數的平方（CCC2）為回歸方法衡量變量比例。當r2大于或等于CCC2時，相關性好。表7－8相關性度量為了比較一種分布與另一種的相關性，一般需要樣本中具有20個以上的數據點，并且必須知道每一個分布就相關系數（r）而言的P值。P值最高的分布是最好的統計選擇。管理分析和結果解釋許多分析人員自動假定壽命數據的基本分布是威布爾分布。而威布爾概率分布圖的結果被用于確定此假設是否正確。如果所繪制數據點沿直線落在其附近，則壽命數據實際上來源于威布爾分布。如果所繪數據點沒有形成一條直線，那么其相關性不好，與失效的物理特性、數據的質量和數量或選擇了不合適的分布有關。斜度陡峭的威布爾概率分布圖陡峭的平面圖經常會隱藏數據中的問題。這種圖中，所有可用的數據信息，例如曲線，無用數據和急轉拐角都會消失。所顯示的好的威布爾概率分布圖其相關性可能并不好。在這種情況下，要對失效數據做仔細評估以確定它的有效性。威布爾概率分布圖上的曲線數據當威布爾概率分布圖上所繪制的點呈現為曲線，則認為所選分布是不合適的。這種相關性不好的原因可能是由于數據質量差或初始的時間刻度原點沒有合理定位，具體解釋如下：?向下凹的線圖：可以反映生產中發生的失效，包括：發生在老練、應力篩選或產品接收過程中的早期失效。也可以暗示自由失效階段的存在，此階段實際上就失效模式而言不可能產生瞬時失效或早期失效。例如，軸承是不會因碎裂和失調而失效，除非達到充分損壞的程度。?向上凹的線圖：不常見且難于解釋，可以反映保存期或是備用部件負載的退化或混合失效模式。當威布爾概率分布圖上出現曲線數據，且其原因是時間刻度的原點定位不合理時，可用一個三參數威布爾分布中的值將刻度轉換為位置參數（to）。要估計t0的值，需要將威布爾概率圖中的曲線變直，你可通過雙參數威布爾概率圖并用與水平時間軸相交的點來查看曲線。用計算機處理三參數威布爾分布反復分析t0值，直至相關系數達到最大。t0值總是小于首次失效時間，可以從失效值中加上或減去得到。若to值是正確的，三參數威布爾分布所得結果應服從一條直線。如果原點轉換未能修正威布爾概率圖上的曲線，那么可用不屬于威布爾分布的對數正態分布，它將更適于分析這種特殊的壽命數據組。威布爾概率分布的批次問題若繪制點顯示出一個不期望得到的集中失效，很可能是由于某些變化引起的批次問題，這些變化包括：,生產或組裝過程,維護或檢修進度,增加服務性使用另一個存在批次問題的原因是后期中止的存在和失效元件序列號的緊密相連。威布爾概率分布圖很可能顯示為一個陡峭的斜線緊連一個平緩的斜線。（如果分析時間足夠長，平緩的斜線后又連一個陡峭的斜線）威布爾概率分布圖的拐角和急轉角數據收集通常不夠完整。當威布爾概率圖顯示出尖角或急轉彎角時，原因很可能是有多個失效模式或數據組失效來源過于復雜。例如，許多水電機械組件顯示出制造的初期損壞和質量問題，而后隨著失效模式的發生出現壽命后期的耗損。威布爾概率圖的結果很可能是一段平緩的斜線緊連一條陡峭的斜線。機械設備的早期損壞和耗損失效的結果繪在一個概率圖上，這種圖稱作典型雙級威布爾（classicbi-Weibull）。這種雙級威布爾概率圖經常發生在保證數據的分析上。盡管失效與中止次數相同，失效模式卻不盡相同。這種情況下，要檢查壽命數據以確定存在不同失效模式，除已繪制的失效外，失效模式應作為中止做上標記。在失效模式不能被自然分開的情況下，威布爾軟件通過分析風險數據提供了一種用統計方法分隔失效模式的技術。這意味著軟件通過對處理過的組合進行評估對兩個可能的失效模式進行數據集的搜索。對每個已確認的失效模式可單獨繪制威布爾概率圖。來自于次要失效模式（B）的失效可能是所考慮的首要失效模式（A）的中止。當權威數據受混合失效模式的影響時，Kaplan-Meier模型可用于基于元件老化的壽命預測。或者用CrowAMSAA模型預計基于測試或日歷時間的壽命。有關Kaplan-Meier和Crow-AMSAA模型的詳細描述請參見第176頁中的“相關定量模型”。就一個系統或部件而言，當一個數據組中含有多個失效模式時，急轉角消失，斜率接近于1，威布爾分布相關性變好。使用混合失效模式的威布爾概率圖等價于假定應用指數分布。最好的步驟是謹慎分析失效的基本原因并避免混合失效模式同時發生。將數據歸類，會得到更多準確的失效模式。系統模型的威布爾概率分布圖系統模型結合了數十個或上百個失效模式。盡管系統模型可用對數正態分布甚至是二項分布來描述，但還是威布爾分布最常用，可通過蒙特卡絡仿真或分析方法進行組合。如果數據不能被分割成獨立的失效模式或者如果早期數據丟失，則可用Kaplan-Meier和Crow-AMSAA模型，提供趨進和失效預測。系統模型用于預計備用元件的使用，可用性，返回倉庫的部件和維修所需費用。系統模型用于更新最新的威布爾概率分布圖。將真實結果與過去的預計作比較以估計模型的不確定性及進行模型的調整。對于復雜系統，早期失效模式很可能覆蓋后期失效模式。這意味著除非早期失效模式已被消除，否則不能確定后期失效模式。正由于此原因，涉及安全性的復雜系統應進行超出其設計壽命的大量測試，以暴露并消除可能發生的災難性后期失效模式。由于很多問題從未發現甚至解決，所以很可能在將來發生不為人知的失效模式。威布爾概率分布圖的更新如果威布爾概率圖中線性相關性不好，就應該修改初始分析的參數并生成新的概率圖直至找到可接受的相關性。一旦發生這種情況，威布爾分析的結果可用于正確預計數據集的趨勢并估計未來要發生的失效。隨著時間的推移，威布爾概率圖可基于大的失效樣本。盡管威布爾參數B和n在每個威布爾概率圖中會有所不同，它們會逐步平穩且接近真實分布。雖有適當的相關性，但關于B—21life的重要工程推論和失效預測不會隨樣本數量的增加而有重大改變。由于樣本的完整性（無中止），B和n會在所求真值附近振蕩。繪圖一旦威布爾軟件找到合適的數據分布，它可以以各種圖表形式顯示結果：概率圖：基于特殊分布的與時間有關的失效概率圖。對于壽命數據分析，這些圖通常叫做威布爾概率分布圖。可靠度一時間圖：隨時間變化的可靠度圖。概率密度分布圖：概率密度函數分布圖。失效率一時間圖：隨時間變化的失效率圖。輪廓圖：當使用極大似然估計參數估計方法時，為比較不同的數據集，用圖表示的似然比例等式的可能解決方案。計算一旦指定數據組的壽命分布參數被合理估算，由威布爾分析獲得計算結果包括：依于時間的可靠度：在無失效的特定時間內（周期數），產品正常工作的概率。例如經過7個月的運轉，產品有94%的機會正常運轉。在給定時間處于失效狀態的概率：如果部件是不可修的，此概率等價于特殊時間點處的產品的失效概率。也被稱為不可靠度，其概率為1減去可靠度。例如，經7個月的工作，產品有6%（—）的機會失效（有94%的機會繼續工作）。平均壽命：失效前，產品可工作的平均時間。這種度量如同平均失效時間（MTTF）。失效頻率：產品在單位時間內發生的失效數。失效率：事件發生失效的比率。此值通常用每百萬小時的失效數表示，但也可由菲特（FIT）率或每十億小時失效率表示。失效率基本上是指一段指定時間內產品的失效次數。例如，如果一個部件失效率為每百萬小時2次，那么該部件在百萬小時的時間內允許失效2次。保證時間：可靠度達到指定值的估計時間。例如，可靠度為96%的工作時間為9個月。B—Life：失效概率達到一指定點的估計時間。例如，如果預計3年內有10%的產品失效，那么B