衛(wèi)星定位理論與方法第3次課衛(wèi)星的運動測量與導航工程系導航與定位教研室陳明劍1本次課主要內(nèi)容重點：二體問題微分方程及其解難點：二體問題微分方程推導2基礎(chǔ)知識Kepler第一定律－橢圓率每個行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。Kepler第二定律－面積率由太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔內(nèi)掃過相等的面積Kepler第三定律－周期律行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T的平方與橢圓軌道的長半徑a的立方成正比3牛頓第一運動定律任一物體將保持其靜止或是勻速直線運動的狀態(tài)，除非有作用在物體上的力迫使其改變這種狀態(tài)。牛頓第二運動定律動量變化速率與作用力成正比，且與作用力的方向相同牛頓第三運動定律對每一個作用，總存在一個大小相等的反作用456一、研究二體問題的目的意義

(ThePurposeofStudyingTwo-BodyProblem)

78二體問題在天文學中，根據(jù)牛頓萬有引力定律研究空間兩個天體（看成質(zhì)點）在相互引力作用下的運動規(guī)律問題。

9如何確定衛(wèi)星位置（如何定軌）(HowtoGettheSatellitePosition)

分析衛(wèi)星的受力情況根據(jù)受力情況，列出運動的微分方程10解方程數(shù)值法：利用計算機，對微分方程進行數(shù)值積分，直接解出某一時刻衛(wèi)星的位置和速度。優(yōu)點：便于實現(xiàn)，精度高，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于精密定軌；缺點：不能給出解析解，不便于分析衛(wèi)星的運動規(guī)律。解析法：以衛(wèi)星的受力解析為基礎(chǔ)，依據(jù)牛頓第二定律（或物體的微分運動方程），推導出與衛(wèi)星運動相關(guān)的參數(shù)，這是在計算機出現(xiàn)之前唯一的方法。優(yōu)點：便于分析衛(wèi)星的運動規(guī)律；缺點：分工推導繁瑣，難以得到完整嚴密的運動方程的解，精度不高。111、衛(wèi)星的受力情況地球的引力日月引力

潮汐力

大氣阻力光壓力12地球的引力分為兩部分均質(zhì)球體引力非均勻球形部分引力13衛(wèi)星圍繞著地球運行，作二體問題研究，必須滿足以下條件：必須在慣性系下考慮問題。衛(wèi)星作為質(zhì)點。衛(wèi)星的體積小，與其到地球的距離相比，可忽略不計，即衛(wèi)星可作為質(zhì)點計。地球作為質(zhì)點。地球可分成均質(zhì)地球和非均質(zhì)地球兩部分。均質(zhì)地球?qū)ν獠奎c的引力等于球心的質(zhì)點的引力。因此，如果把非均質(zhì)地球的引力作為攝動力的話，均質(zhì)地球可作為一個質(zhì)點。142、目的意義均質(zhì)球體引力決定著衛(wèi)星運動的主要規(guī)律和特征，它是衛(wèi)星運動的近似描述；

二體問題是惟一能得到嚴密解的問題，而多體問題還不能得到嚴密解；

二體問題是精確研究衛(wèi)星運動的基礎(chǔ)。

15二、微分方程的解（面積積分）1617AX+BY+CZ=0

181920

h為單位時間矢徑所掃過面積的2倍212223二、微分方程的解面積積分的物理意義更明顯

三個積分常量確定了衛(wèi)星運行軌道是在一個平面上？這個軌道的形狀是什么，又有什么特性。242.軌道積分（軌道橢圓參數(shù)）2526

高數(shù)矢量知識：27h為常量282930當，此時r對應(yīng)的點稱作近地點。為升交點至近地點之間的夾角，稱作近升角距。31通過面積積分和軌道積分，共獲取了5個描述軌道狀態(tài)的參數(shù)確定了軌道平面在地心坐標系中的位置確定了軌道的形狀確定了軌道中短半軸在坐標系中的指向323.衛(wèi)星的平均角速度衛(wèi)星在各個位置上的速度是不同的。在近地點速度最大，在遠地點速度最小。33給定的橢圓的長半軸,平均角速度是常量，不隨時間變化

344.幾種近地點角的關(guān)系3536375.開普勒積分38求導3940它給出了偏近地點E和時間t之間的關(guān)系，而偏近地點E和衛(wèi)星的徑向距離r又有關(guān)系。開普勒方程也間接地給出了r和t之間的關(guān)系M以平均角速度n隨時間t作線性變化，故稱之為平近地角416.開普勒方程的解迭代法微分改正法42迭代法E和M都以弧度為單位43微分改正法當偏心率e較大時，迭代法的收斂速度就會很慢，此時可考慮采用微分改正法，對開普勒方程取微分，可得：44四、能量積分和活力積分

1.速度關(guān)系45積分46

取衛(wèi)星過近地點的位置，則有：4748五、軌道根數(shù)的物理意義

，——軌道平面傾角——升角點赤經(jīng)——軌道橢圓長半軸——軌道橢圓偏心率——近升距，即升交點至近地點的角距——衛(wèi)星過近地點時刻

——衛(wèi)星過近地點的角度49對于近圓軌道：50近點角與時間的關(guān)系

51衛(wèi)星運動的基本關(guān)系式軌道方程速度公式幾何關(guān)系52思考題：根據(jù)上課內(nèi)容推導出六個軌道參數(shù)。推導活力公式。3.推導真近點角和偏近點角關(guān)系53第二節(jié)二體問題的衛(wèi)星星歷計算二體問題的星歷計算：已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問題公式計算任意時刻衛(wèi)星的位置。

54一、衛(wèi)星的瞬時位置

在軌道直角坐標系中衛(wèi)星的位置55天球坐標系中的位置56衛(wèi)星在地球坐標系中的位置在精密定軌中，所求定的瞬時軌道根數(shù)目前均采用J2000.0慣性坐標系。衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動的影響先轉(zhuǎn)換到瞬時真天球坐標系中57但在實際應(yīng)用中，由GPS導航電文中一組軌道根數(shù)，按上面公式求得的結(jié)果已相應(yīng)于瞬時天球系中的位置向量，因此，為轉(zhuǎn)換到瞬時地球坐標系，只須繞Z軸旋轉(zhuǎn)該時刻的GAST(t)：58協(xié)議地球坐標系：59二、衛(wèi)星的運行速度軌道直角坐標系中60天球坐標系中61地球坐標系中=62二、軌道計算由求取軌道根數(shù)1．計算632．計算由活力公式：64由方程，得：

65進一步，有：66計算67由求取軌道根數(shù)計算68用面積比法求半通徑P（扇形面積與三角形面積之比）69計算70計算7172計算題：已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計算衛(wèi)星在ti＝9：00時的位置a=9600000000kme=0.01=100.0000000°=50.0000000°i=30.0000000°t0=8:00:00GM=3.986005x1014m3/s273第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運動一、受攝運動及其微分方程實際上，衛(wèi)星在運動中所受到的力要復(fù)雜的多：除了二體問題所考慮的正球引力外，還受到諸如地球引力的非質(zhì)心引力部分、大氣阻力、日月引力、光幅射壓力和非慣性坐標系的慣性力等。7475二、受攝運動的微分方程1.拉格朗日行星運動方程

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參數(shù)變易法解得到以二體問題的橢圓軌道根數(shù)為基本變量的受攝運動方程：

772.UNW型（牛頓受攝運動方程）沿衛(wèi)星運動方向的加速度U，沿主法線方向的加速度N和沿與前二方向成右手系的方向的加速度W。主要用于計算大氣阻力的攝動和光壓攝動。78三、攝動力表達式大地重力學知道，用球函數(shù)表示地球引力為：79四、實際解決方案多普勒星歷預(yù)報星歷。擬合前36個小時平均橢圓參數(shù)，外推出16個小時，每2分鐘加入攝動改正。星歷分成兩部分：固定參數(shù)：經(jīng)過平滑的橢圓軌道。可變參數(shù)：每兩分種播發(fā)一次，對平均軌道改正80固定參數(shù)：可變參數(shù)：偏近角改正長半軸改正垂直軌道面攝動分量812.GPS星歷采用的方法很多，有時間的多項式，調(diào)和展開式，開普勒根數(shù)加上攝動改正。GPS采用最后一種。821小時更新率，參考時刻居中，這樣精度高，參數(shù)少。——星升距的余弦、正弦調(diào)合改正項的振幅——矢徑的余弦、正弦調(diào)合改正項的振幅

——傾角的余弦、正弦調(diào)合改正項的振幅83voidsatpos(double*eph,doubleTtr,double*Trel,double*X){ /*IN: ephemeris eph *//*IN: satelliteGPStime Ttr */ /*OUT: relativisticcorrectionterm Trel *//*OUT: satelliteposition X */double M0,d