最新考綱解讀1．理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念．2．并會用導數求多項式函數的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的最大值和最小值．3．會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．高考考查命題趨勢導數是中學選修內容中重要的知識，近幾年高考對導數的考查每年都有．而且近年有加強的趨勢，預測2011年對本模塊的考查為：1．還會有一大一小的試題，小題主要考查導數概念及求函數的導數、導數的幾何意義、導數的簡單應用．大題考查運用導數研究函數的單調性、極值或最值問題．2．仍可能以函數為背景，以導數作工具，在函數、不等式、解析幾何等知識網絡的交匯點命題．1.函數的單調性：設函數y＝f(x)在某個區間內可導，①如果f′(x)>0時，則函數y＝f(x)為這個區間上的增函數；②如果f′(x)<0時，則函數y＝f(x)為這個區間上的減函數；③如果恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)為常函數．2．函數y＝f(x)單調區間的求解過程：(1)分析y＝f(x)的定義域；(2)求導函數y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為增區間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為減區間．3．函數的極值的概念：設函數f(x)在點x0附近有定義，且對x0附近的所有點都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，則稱f(x0)為函數的一個極大(小)值．稱x0為極大(小)值點．4．函數的最值：(1)函數最值的概念：設y＝f(x)是定義在區間[a，b]上的函數，y＝f(x)在(a，b)內可導，則函數y＝f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開區間內不一定有最大值與最小值．(2)設y＝f(x)是定義在區間[a，b]上的函數且在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上最值的方法步驟：①求函數f(x)在(a，b)內的極值；②求函數f(x)在區間端點的函數值f(a)、f(b)；③將函數f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．(3)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值，若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值.一、選擇題1．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是 ()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6D．a＜－1或a＞2[解析]

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個不等實根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，∴a＜－3或a＞6.[答案]

C2．若函數f(x)＝－a(x－x3)的遞減區間為 ，則a的取值范圍是 ()A．a＞0 B．－1＜a＜0C．a＞1 D．0＜a＜1[答案]

A3．函數y＝4x2＋的單調遞增區間是 ()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(，＋∞) D．(1，＋∞)[答案]

C4．．函函數數y＝x3－3x2－9x(－－2<x<2)有有()A．．極極大大值值5、、極極小小值值－－27B．．極極大大值值5、、極極小小值值－－11C．．極極大大值值5、、無無極極小小值值D．．極極小小值值－－27、、無無極極大大值值[解解析析]由y′＝＝3x2－6x－9＝＝0，，得得x＝－－1或或x＝3，，當當x<－－1時時，，y′>0；；當當x>－－1時時，，y當x＝－1時，y極大值＝5；x取不到3，無極小值．[答案]

C5．．(山山東東煙煙臺臺)對對于于R上的的可可導導任任意意函函數數f(x)，，若若滿滿足足(x－1)··f′(x)≥≥0，，則則必必有有()A．．f(0)＋＋f(2)<2f(1)B．．f(0)＋＋f(2)≤≤2f(1)C．．f(0)＋＋f(2)≥≥2f(1)D．．f(0)＋＋f(2)>2f(1)[解解析析]若f′(x)＝＝0恒恒成成立立，，則則f(x)為為常常函函數數，，即即f(x)＋＋f(2)＝＝2f(1)；；若若f′(x)＝＝0不不恒恒成成立立時時，，當當x≥1時時，，有有f′(x)≥≥0；；當當x<1時時，，f′(x)≤0，，f(x)在[答案]

C二、、填填空空題題6．．函函數數y＝f(x)＝＝x3－x2－2x＋5的的[解析]

由y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)得：當x∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時y′>0；當x∈(－，1)，y′<0，∴單調遞增區間是(－∞，－)、(1，＋∞)；單調遞減區間是(－，1)．[答案]

(－∞，－)及(1，＋∞)(－，1)例1(2009年年河河西西區區一一模模)已知函數數f(x)＝x3－ax2－a2x＋1，g(x)＝1－－4x－ax2，其中實實數a≠0.(1)求求函數f(x)的單調調區間；；(2)若若f(x)與g(x)在區間間(－a，－a＋2)內內均為增增函數，，求a的取值范范圍．1．f(x)為增函函數，一一定可以以推出f′(x)≥0，，反之不不一定成成立，因因為f′(x)≥0相相當于f′(x)>0或或f′(x)＝0.當函數數在某個個區間內內恒有f′(x)＝0，，則f(x)為常數數，函數數不具有有單調性性．∴f′(x)≥0是是f(x)為增函函數的必必要不充充分條件件．2．一般地地，若知知函數的的單調性性求參數數范圍，，則得不不等式f′(x)≥0，，解之得得參數的的范圍．．若求單單調區間間，則解解不等式式f′(x)>0得得結論．．思考探究究1已知函數數f(x)＝x3－ax－1.(1)若若f(x)在實數數集R上單調遞遞增，求求實數a的取值范范圍；(2)是是否存在在實數a，使f(x)在(－－1,1)上單單調遞減減？若存存在，求求出a的取值范范圍；若若不存在在，說明明理由；；(3)證證明：f(x)＝x3－ax－1的圖圖象不可可能總在在直線y＝a的上方．．(1)[解]由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－－∞，＋＋∞)上上是單調調增函數數，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞∞，＋∞)上上恒成立，即即a≤3x2對x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，故f(x)＝x3－1在R上是增函數，，則a≤0.(2)[解]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)上恒成立立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需需a≥3.當a＝3時，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上為減減函數，∴a≥3.故存在實數a≥3，使f(x)在(－1,1)上單調調遞減．(3)[證明]∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的圖象不可可能總在直線線y＝a的上方.例2(2009年年廈門大同中中學)設函數f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋1,0<a<1.(1)求函數數f(x)的極大值；；(2)若x∈[1－a,1＋a]時，恒有－－a≤f′(x)≤a成立，(其中中f′(x)是函數f(x)的導函數)，試確定實實數a的取值范圍．．[解](1)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，且0<a<1，當f′(x)>0時，得得a<x<3a；當f′(x)<0時，得得x<a或x>3a；∴f(x)的單調遞增增區間為(a,3a)；f(x)的單調遞減減區間為(－－∞，a)和(3a，＋∞)．故當x＝3a時，f(x)有極大值，，其極大值為為f(3a)＝1.(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，當0<a<時時，1－－a>2a，∴f′(x)在區間[1－a,1＋a]內單調遞遞減．∴[f′(x)]max＝f′(1－a)＝－8a2＋6a－1，1．導數為為0的點不不一定是極極值點．函函數的導數數不存在的的點也可能能是極值點點．2．如果在x0附近的左側側f′(x)＞0，右右側f′(x)＜0，那那么f(x0)是極大值值；如果在x0附近的左側側f′(x)＜0，右右側f′(x)＞0，那那么f(x0)是極小值值．3．在在本本題題第第(2)問問中中，，““恒恒有有－－a≤f′(x)≤≤a成立立””的的問問題題，，等等價價轉轉化化為為求求導導函函數數的的最最大大值值小小于于等等于于a、最最小小值值大大于于等等于于a.思考考探探究究2(2009年年寧寧夏夏海海南南卷卷文文)已知知函函數數f(x)＝＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)設設a＝1，，求求函函數數f(x)的的極極值值；；(2)若若a>，，且且當當x∈[1,4a]時時，，|f′(x)|≤≤12a恒成成立立，，試試確確定定a的取取值值范范圍圍．．[解解](1)當當a＝1時時，，對對函函數數f(x)求求導導數數，，得得f′(x)＝＝3x2－6x－9.令f′(x)＝＝0，，解解得得x1＝－－1，，x2＝3.列表表討討論論f(x)，，f′(x)的的變變化化情情況況：：所以以，，f(x)的的極極大大值值是是f(－－1)＝＝6，，極極小小值值是是f(3)＝＝－－26.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0—0＋f(x)遞增極大值6遞減極小值－26遞增例3(2009年年河河東東區區一一模模)設函函數數f(x)＝＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．．(1)求求f(x)的的最最小小值值s(t)；(2)若s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時恒成立，，求實數m的取值范圍．．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，∴x＝－t時，f(－t)取得最小值值f(－t)＝－t3＋t－1，即s(t)＝－t3＋t－1.(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得得t＝1或t＝－1(舍去去)∴h(t)在(0,2)內有最大大值1－m，∴s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時時恒成立等價價于h(t)max<0恒成立．．即1－m<0，∴m>1，因此實數m的取值范圍是是(1，＋∞)．t(0,1)1(1,2)h′(t)＋0－h(t)增極大值1－m減1．求f(x)在[a，b]上最值的方方法步驟：①求函數f(x)在(a，b)內的極值；；②求函數f(x)在區間端點點處的函數值值f(a)、f(b)；③將函數f(x)的各極值與與f(a)，f(b)比較，其中中最大的一個個是最大值，，最小的一個個是最小值．．2．若函數f(x)在[a，b]上單調遞增增，則f(a)為函數的最最小值，f(b)為函數的最最大值，若函函數f(x)在[a，b]上單調遞減減，則f(a)為函數的最最大值，f(b)為函數的最最小值．思考探究3(2009年河北區一一模)已知函數f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若x＝3是f(x)的極值點，，求f(x)在x∈[1，a]上的的最小小值和和最大大值；；(2)若f(x)在x∈[1，＋＋∞)上是是增函函數，，求實實數a的取值值范圍圍．[解](1)f′(3)＝＝0，，即27－－6a－3＝＝0，，∴a＝4，，∴f(x)＝x3－4x2－3x有極大大值點點x＝－，，極小小值點點x＝3.例4一條水水渠，，斷面面為等等腰梯梯形，，如圖圖所示示，在在確定定斷面面尺寸寸時，，希望望在斷斷面ABCD的面積積為定定值S時，使使得四四周L＝AB＋BC＋CD最小，，這樣樣可使使水流流阻力力小，，滲透透少，，求此此時的的高h和下底底邊長長b.1．解解決有有關函函數最最大值值、最最小值值的實實際問問題，，需要要分析析問題題中各各個變變量之之間的的關系系，找找出適適當的的函數數關系系式，，并確確定函函數的的定義義區間間；所所得結結果要要符合合問題題的實實際意意義．．2．根據據問題題的實實際意意義來來判斷斷函數數最值值時，，如果果函數數在此此區間間上只只有一一個極極值點點，那那么這這個極極值就就是所所求最最值，，不必必再與與端點點值比比較．．3．相當當多的的有關關最值值的實實際問問題用用導數數方法法解決決較簡簡單．．思考探探究4在邊長長為60cm的正正方形形鐵片片的四四角切切去相相等的的正方方形，，再把把它的的邊沿沿虛線線折起起(如如圖)，做做成一一個無無蓋的的方底底箱子子，箱箱底的的邊長長是多多少時時，箱箱底的的容積積最大大？最最大容容積是是多少少？答：當當x＝40cm時時，箱箱子容容積最最大，，最大大容積積是1600解法二：設箱高為xcm，則箱底長為(60－2x)cm，則得箱子容積V(x)＝(60－2x)2x(0<x<30)．(后面同解法