習題課——數列求和激趣誘思知識點撥若一個人與你做一筆交易:按一個月30天算,他每天給你5000元,而你只需第1天給我1分錢,第2天給我2分錢,第3天給我4分錢,第4天給我8分錢……由此類推,交易期為一個月.這筆交易你做嗎?請用數列求和的知識做出決定吧!激趣誘思知識點撥一、裂項相消法求和裂項相消法就是把數列的各項變為兩項之差,使得相加求和時一些正負項相互抵消,前n項和變成首尾若干項之和,從而求出數列的前n項和.名師點析常用的一些裂項技巧:激趣誘思知識點撥微練習

激趣誘思知識點撥二、分組求和法分組求和法:如果一個數列的各項是由若干個等差數列和等比數列的項相加減得到的,那么可以把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合,使其分別構成等差數列或等比數列,然后利用等差、等比數列的求和公式求解.激趣誘思知識點撥微練習數列{n+2n}的前n項和Sn等于

.

激趣誘思知識點撥三、并項轉化法求和并項轉化法:在求數列的前n項和時,如果一個數列的項是正負交錯的,尤其是當各項的絕對值又構成等差數列時,可以依次兩項兩項(或幾項幾項)合并,再利用其他相關的方法進行求和.微練習(1)對于數列1,-3,5,-7,9,-11,…,其前100項的和等于

.

答案:-100(2)若數列{an}的通項公式an=(-1)n·2n,前n項和為Sn,則S10=

,S15=

.

解析:S10=(-2)+4+(-6)+8+…+(-18)+20=2×5=10,S15=(-2)+4+(-6)+8+…+28+(-30)=2×7-30=-16.答案:10

-16探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測裂項相消法求和

探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟裂項相消法求和的關注點裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解,相加使之能消去一些項,最終達到求和的目的.利用裂項法的關鍵是分析數列的通項,考察其是否能分解成兩項的差,且這兩項一定要是同一數列相鄰(相間)的兩項.在裂項求和的過程中,還要注意以下幾點:(1)在通項裂開后,原各項是否恰好等于相應的兩項之差.(2)在正負項抵消后,是否只剩下了第一項和最后一項,還有可能前面剩下了兩項(或多項),后面也剩下了兩項(或多項).探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練1已知等差數列{an}中,a5=9,a13=25,且bn=,試求數列{bn}的前n項和.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測分組求和法求和例2已知數列{cn}的首項c1=3,cn=2np+nq(n∈N*,p,q為常數),且c1,c4,c5成等差數列,求:(1)p,q的值;(2)數列{cn}的前n項和Sn.分析:先將c1,c4,c5用p,q表示,根據c1,c4,c5成等差數列建立關于p,q的方程組,即可求得p,q的值,從而得到數列的通項公式.這時每一項都是由一個等比數列和一個等差數列中的項的和構成,可分別求和后再相加.解:(1)由c1=3,得2p+q=3.因為c4=24p+4q,c5=25p+5q,且c1+c5=2c4,所以3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1)知cn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟分組求和法的解題策略當一個數列本身不是等差數列也不是等比數列,但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和,而這些項又構成等差數列或等比數列時,就可以用分組求和法,即原數列的前n項和等于拆分成的每個數列前n項和的和.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練2在等差數列{an}中,已知a2=4,a4+a7=15.(1)求數列{an}的通項公式;探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測并項轉化法求和例3已知數列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項和Sn.分析:該數列中正負項交替出現,且各項的絕對值構成等差數列,故可用并項轉化法求和.解:當n為偶數時,令n=2k(k∈N*),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟并項轉化法求和的解題策略1.一般地,當數列中的各項正負交替,且各項的絕對值成等差數列時,可以采用并項轉化法求和.2.在利用并項轉化法求和時,因為數列的各項是正負交替的,所以一般需要對項數n進行分類討論,但最終的結果卻往往可以用一個公式來表示.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測延伸探究本例中,將條件改為“已知數列{an}的前n項和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測錯位相減法求和例4已知正項等差數列{an}的前n項和為Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數列.(1)求{an}的通項公式及Sn;分析:(1)列方程組求出等差數列{an}的首項和公差;(2)利用錯位相減法求Tn.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測反思感悟錯位相減法求和的關注點(1)要善于識別題目類型,特別是等比數列的公比為負數的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時,應將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出Sn-qSn的表達式.若公比是字母參數,則應先對參數加以討論(一般情況下,分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和).探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測變式訓練3已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式;(2)求數列{nan}的前n項和Tn.解:(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn,∴數列{Sn}是首項為1,公比為3的等比數列.∴Sn=3n-1(n∈N*).當n≥2時,an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1,探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測(2)∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴當n=1時,T1=1;當n≥2時,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測數列的通項與求和的綜合問題典例已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數列,且an=bn+bn+1.(1)求數列{bn}的通項公式;分析:(1)先求出數列{an}的通項公式,再求數列{bn}的通項公式;(2)先求出數列{cn}的通項公式,再利用錯位相減法求數列{cn}的前n項和Tn.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測解:(1)由題意知當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n+5,當n=1時,a1=S1=11,所以an=6n+5.設數列{bn}的公差為d.又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測【答題模版】第1步:由數列{an}中an與Sn滿足的關系式求其通項an;

↓第2步:由數列{bn}滿足的關系式求其通項bn;

↓第3步:求出數列{cn}的通項cn;

↓第4步:用錯位相減法求出數列{cn}的前n項和Tn.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測【失誤警示】通過閱卷統計分析,造成失分的原因如下:(1)由數列{an}中an與Sn滿足的關系式求其通項an時,漏掉n=1時的情況而導致丟分.(2)不會利用an=bn+bn+1求出等差數列{bn}的公差和首項.(3)用錯位相減法求數列{cn}的前n項和Tn時,不知道錯位對齊相減,弄錯正負號而失分.探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測S30=(

)A.120 B.180C.240 D.360解析:由題意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)答案:C探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測2.若數列{an}的通項公式是an=8n,其前n項和為Sn,且Snbn=1,數列{bn}的前n項和為Tn,則T10等于(

)答案:B探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測3.已知數列{an}的通項公式是an=2n+3n+1,則數列{an}的前n項和Sn=

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解析:∵an=2n+3n+1,探究一探究二探究三探究四素養形成當堂檢測4.已知數列{an}的通項公式為an=(-1)n(5n-4),則其前20項的和等