3.2.1函數的單調性123函數單調性的判斷與證明函數單調區間的求解函數單調性的應用教學目標核心素養：1.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性.2.理解函數單調性的作用和實際意義.3.在理解函數單調性概念的基礎上，理解函數單調性的作用，掌握函數單調性的應用.1.結合實例，經歷從具體的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程.

體會用符號形式表達單調性定義的必要性.2.在函數單調性的應用過程中，發展邏輯推理和數學運算素養.1.增函數與減函數知識梳理f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)2.單調性與單調區間知識梳理如果函數y＝f(x)在區間D上是____________________，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有嚴格的__________________，區間D叫做y＝f(x)的單調區間.單調遞增或單調遞減單調性知識梳理3.單調性的相關結論在公共定義域內，增函數＋增函數＝________；減函數＋減函數＝________；增函數－減函數＝________；減函數－增函數＝________.增函數減函數增函數減函數【例】(多選題)下列函數中，在區間(－∞，0)上為減函數的是(

)

函數單調性的判斷與證明【例】若函數f(x)＝ax－3在R上單調遞增，則a的取值范圍為___________.解析

因為f(x)＝ax－3在R上遞增，所以a>0.

函數單調性的判斷與證明【例】已知函數y＝f(x)(x∈[－2，6])的圖象如圖.根據圖象寫出y＝f(x)的單調區間，增區間為____________________，減區間為___________.解析

由圖象可知f(x)在[－2，6]上的遞增區間為[－2，－1]和[2，6]，減區間為[－1，2].

函數單調性的判斷與證明【例】判斷函數f(x)在(1，＋∞)上單調性，并用定義加以證明.

函數單調性的判斷與證明利用定義證明函數單調性的步驟：(1)取值：設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1<x2；(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉化為易判斷正負的關系式；(3)定號：確定f(x1)－f(x2)的符號；(4)結論：根據f(x1)－f(x2)的符號與定義確定單調性.總結提升證明

對于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有

函數單調性的判斷與證明【練】函數y＝f(x)，x∈[－4，4]的圖象如圖所示，則f(x)的增區間是(

)A.[－4，4] B.[－4，－3]∪[1，4]C.[－3，1] D.[－3，4]解析

由圖象知增區間為[－3，1]，故選C.

函數單調性的判斷與證明【練】(多選題)下列說法不正確的是(

)解析

由增函數的定義，知A正確；y＝x2在x∈[0，＋∞)時是增函數，在x∈(－∞，0)時是減函數，從而y＝x2在定義域R上不具有單調性，故B錯誤；

函數單調性的判斷與證明【練】下列函數中，在區間(0，2)上為增函數的是(

)解析

選項A，C，D中的函數在(0，2)上是減函數，只有函數y＝x2＋2在(0，2)上是增函數.答案

B

函數單調性的判斷與證明【練】(多選題)已知f(x)是定義在[0，＋∞)上的函數，根據下列條件

可以斷定f(x)為增函數的是(

)解析

根據題意，依次分析選項：對于A，對任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不滿足函數單調性的定義，不符合題意；

函數單調性的判斷與證明對于B，當f(x)為常數函數時，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函數，不符合題意；對于C，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合題意；

函數單調性的判斷與證明微專題1利用圖象求函數的單調區間【例】已知函數f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.函數單調區間的求解(1)將函數寫成分段函數的形式；(2)畫出函數的圖象；(3)根據圖象寫出它的單調區間.

(2)如圖.(3)由圖象可知單調遞增區間為[－2，0)，[2，＋∞)，單調遞減區間為(－∞，－2)，[0，2).微專題2利用定義求函數的單調區間解

已知函數的定義域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).設x1，x2是區間(－b，＋∞)上的任意兩個實數，且x1<x2，

函數單調性的判斷與證明∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，同理可得，f(x)在(－∞，－b)上為減函數.

函數單調性的判斷與證明1.求函數單調區間時，若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反比例函數等，可根據其單調性寫出函數的單調區間，若函數不是上述函數且函數圖象容易作出，可作出其圖象，根據圖象寫出其單調區間.2.一個函數出現兩個或兩個以上的單調區間時，不能用“∪”連接兩個單調區間，而要用“和”或“，”連接.總結提升【例】(1)如圖所示的是定義在區間[－5，5]上的函數y＝f(x)的圖象，則函數的單調遞減區間是_________________，在區間_________________上是增函數.解析

觀察圖象可知單調遞增區間為[－5，－2]，[1，3]，單調遞減區間為[－2，1]，[3，5].

函數單調性的判斷與證明角度1已知函數的單調性求參數函數單調性的應用解析

要使f(x)在R上是減函數，需滿足：角度2利用單調性解不等式【例】已知函數y＝f(x)在定義域(－1，1)上是減函數，且f(1－a)<f(2a－1)，求實數a的取值范圍.函數單調性的應用1.已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是：視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數.2.利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在解決比較函數值的問題時，要注意將對應的自變量轉化到同一個單調區間上.總結提升(2)已知函數f(x)＝x2＋ax＋b在區間(－∞，1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增，且f(m＋2)<f(2)，則實數m的取值范圍是________.(2)∵f(x)在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，則實數m的取值范圍為(－2，0).函數單調性的應用【練】若函數y＝x2＋(2a－1)x＋1在區間(－∞，2]上是減函數，則實數a的取值范圍是(

)函數單調性的應用函數單調性的應用課堂總結1.函數的單調性是函數在