第四章三角函數三角函數的化簡、求值第講3（第一課時）考點搜索●三角函數的化簡，是通過一系列等價變換，將三角函數式化為盡可能簡單的形式●給角求值，將非特殊角的三角函數化為特殊角的三角函數或使非特殊角的三角函數互相抵消；給值求值，解決此類問題的關鍵是要挖掘出已知條件中的角與所求三角函數間的角及三角函數間的內在聯系高考猜想高考近年對三角函數的證明要求不是很高，且試題較容易；但對化簡、求值要求較高.研究函數都需對式子先化簡，求值題出現的可能性比較大.一、兩角和的正弦、余弦、正切公式1.sin(α+β)=

.2.cos(α+β)=

.3.tan(α+β)=

.4.asinx+bcosx=

sin(x+φ)(其中二、兩角差的正弦、余弦、正切公式1.sinαcosβ-cosαsinβ=

.2.cosαcosβ+sinαsinβ=

.3.=

.三、二倍角的正弦、余弦、正切公式1.sin2α=

.2.cos2α=

=

.

=

.3.tan2α=

.sin(α-β)cos(α-β)tan(α-β)2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α四、常用公式的變形1.cos2α=

，sin2α=

.2.=

，=

.3.tanα±tanβ=tan(α±β).1.(sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°)的值是()(sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°)=(cos15°-sin15°)(cos15°+sin15°)=cos215°-sin215°=cos30°故選D.D2.設

(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,則()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c(sin17°+cos17°)=sin(17°+45°)=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,故選A.3.已知則

題型1：公式式的““正用用”化簡解法1：(從“角””入手，，復角化化單角)原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β解法2：(從“名””入手，，異名化化同名)原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos2ααcos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2αcos2ββ=cos2β-sin2αcos2β-cos2αcos2ββ=cos2β-cos2β·(sin2α+cos2α)解法3：(從“冪””入手，，利用降降冪公式式先降次次)原式=解法4：(從“形””入手，，利用配配方法，，先對二次次項配方方)原式=(sinαsinββ-cosαcosββ)2+2sinαsinββcosαcosβ-cos2αcos2ββ=cos2(α+ββ)+sin2ααsin2β-=cos2(α+ββ)-【點評】：兩角和(差)的正弦、、余弦、、正切公公式，二二倍角的的正弦、、余弦、、正切公公式是三三角函數數化簡與與求值最最常用的的公式.應用時，，按公式式的結構構形式從從左往右右運用，，這就是是公式的的正用.如把兩角角和、差差按公式式展開，，二倍角角化單角角等都是是正用.化簡：：原式題型2：公式式的““逆用用”2.化簡下下列各各三角角函數數式.(1)(2)(1)原式式=(2)原式式【點評】：公式中中，如如果按按公式式形式式從右右往左左用，，這就就是公公式的的“逆逆用””.如逆用用二倍倍角，，就是是“降降次””，將將正、、余弦弦的二二次式式化為為一次次式是是“降降次””.如果那么f()=_____________.因為所以3.求求下下列各各式的的值：：(1)tan20°°+tan40°+tan20°tan40°；；(2)sin10°°sin30°°sin50°°sin70°°(1)因為為tan20°°+tan40°=tan60°°(1-tan20°tan40°)=(1-tan20°°tan40°°)，，所以原原式=(1-tan20°tan40°)+tan20°°tan40°°=.題型3：公式式的““活用用”【點評】：在兩角角和、、差、、倍的的三角角函數數公式式中，，如果果對公公式的的形式式進行行變化化或對對角進進行變變化，，然后后利用用公式式的變變式進進行化化簡，，這就就是變變用.如：①①角的的變化化有2α=(α+β)+(α-β)，α=β+(α-β)等等；；②公公式的的變形形有tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等.(1)求tan15°tan25°+tan25°°tan50°+tan50°°tan15°°的值值；(2)求的的值.(1)原式式=tan25°(tan15°°+tan50°)+tan50°°tan15°°=tan25°tan65°(1-tan15°°tan50°°)+tan50°°tan15°°=tan25°°cot25°°(1-tan15°tan50°)+tan50°°tan15°°=1.(2)原式式化簡三三角函函數式式是為為更清清楚地地顯示示式中中所含含量之之間的的關系系，