二次函數定義1.整理后自變量的最高次數是2。2.二次項的系數a≠0。3.二次函數解析式必須是整式。注意一般地,形如的函數,叫做二次函數.

(a,b,c都是常數,且a≠0)y=ax2+bx+c以下函數中,哪些是二次函數？是二次函數，說出它的二次項系數、一次項系數和常數項是不是，因為不是整式1、函數〔其中a、b、c為常數〕當a、b、c滿足什么條件時，〔1〕它是二次函數；〔2〕它是一次函數；〔3〕它是正比例函數；當時，是二次函數；當時，是一次函數；當時，是正比例函數；考考你2、函數，當m取何值時，〔1〕它是二次函數？〔2〕它是反比例函數？（1）若是二次函數，則且∴當時，是二次函數。（2）若是反比例函數，則且∴當時，是反比例函數。二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象特點和函數性質1:(1)函數圖像是一條(2)對稱軸是:直線(3)頂點坐標是:(4)開口方向:

a>0時,開口

；

a<0時,開口

.2ab4a4ac-b22ab拋物線x=-向上向下

(-,)〔1〕a>0時，對稱軸左側，函數值y隨x的增大；對稱軸右側，函數值y隨x的增大。a<0時，對稱軸左側，函數值y隨x的增大；對稱軸右側，函數值y隨x的增大?！?〕a>0時，y最小=a<0時，y最大=4a4ac-b24a4ac-b2二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象特點和函數性質2：而減小而增大而增大而減小練習

〔1〕求拋物線開口方向，對稱軸和頂點M的坐標?！?〕設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，A，B的坐標。〔3〕x為何值時，y隨的增大而減少，x為何值時，y有最大〔小〕值，這個最大〔小〕值是多少？〔4〕x為何值時，y<0？x為何值時，y>0？二次函數向上，直線x=-1，M〔-1，-2〕C(0，-

)

A(1,0)B(-3,0)23x<-1當x=-1時y有最小值-2-3<x<1x<-3或x>1

解析式

使用范圍一般式已知任意三個點頂點式已知頂點（h,k)及另一點交點式已知與x軸的兩個交點及另一個點y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)類型一、求二次函數的解析式二次函數y=ax2+bx+c的圖像如下圖求其解析式。二次函數y=ax2+bx+c的圖像如下圖，求其解析式。頂點式設解析式為∵頂點C〔1，4〕∴又∵A(-1,0)在拋物線上，∴

∴a=-1即∴解法三：交點式

設解析式為

y=a(x-x1)(x-x2)∵拋物線與x軸的兩個交點坐標為A(-1,0)、B〔3，0〕∴y=a(x+1)(x-3)又C〔1，4〕在拋物線上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)即二次函數y=ax2+bx+c的圖像如下圖，求其解析式。練習∴y=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移結論:拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀一樣,位置不同。類型二、拋物線的平移、對稱平移：1、方法：〔1〕將一般式化為頂點式?！?〕再根據平移原那么平移。2、平移原那么：左加右減，上加下減。將拋物線

向左平移4個單位，

再向下平移3個單位，求平移后所得拋物線的解析式。練習：拋物線的對稱對稱：關注拋物線變化前后開口方向〔確定a值〕以及前后頂點坐標，進而確定函數解析式。注意：無論是平移還是對稱，拋物線形狀不變。練習：拋物線與

關于y軸對稱，求的解析式。

類型三、二次函數與一元二次方程的關系1、當y=0時，假設拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕與x軸的交點坐標是(x1,0),(x2,0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的兩個根為x1,x2,反之亦然。2、二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0〕，當函數值y等于定值m時對應的x值，就是一元二次方程ax2+bx+c=m〔a≠0〕的根。1.函數的圖象如下圖，那么關于x的方程的根的情況是〔〕A．無實數根 B．有兩個相等實根C．有兩個異號實數根D．有兩個同號不等實數根D-3練習：3、拋物線與X軸的交點個數由Δ決定：Δ=b2-4ac>0，函數圖像與X軸有兩個交點；Δ=b2-4ac=0，函數與X軸只有一個交點;Δ=b2-4ac<0，函數與X軸沒有交點.練習；2.拋物線頂點在x軸上，那么m的值為．8

3.二次函數的圖象如下圖根據圖象解答以下問題：〔1〕寫出方程的兩個根〔2〕寫出不等式的解集．〔3〕寫出y隨x的增大而減小的自變量的取值范圍．〔4〕假設方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．223①a的符號：由開口方向確定。當開口向上時，a＞0；當開口向下時，a＜0；②c的符號：由拋物線與Y軸的交點確定。假設交點在Y軸的正半軸，那么c＞0；假設交點在Y軸的負半軸，那么C＜0；假設交于原點，那么C=0.③b的符號：由對稱軸及a的符號來確定。對稱軸在y軸的左側，那么a、b同號；假設對稱軸在y軸的右側，那么a、b異號；假設對稱軸是y軸，那么b=0。類型四、二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0〕中a、b、c符號的判別：練習：二次函數的圖象如下圖，那么在以下各不等式中成立的個數是____________1-10xy①abc<0