§7.4曲線與方程

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考7.4曲線與方程雙基研習·面對高考雙基研習·面對高考基礎梳理1．曲線與方程的關系(1)“曲線的方程”與“方程的曲線”在直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下的關系：①曲線上的點的坐標都是_______________．②以這個方程的解為坐標的點都是_______________.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．這個方程的解曲線上的點(2)用直接法求曲線方程的五個步驟①建立適當的直角坐標系，設M(x，y)為曲線上的任意一點；②寫出適合條件P的點M的集合P＝{M|P(M)}；③用_____表示條件P(M)，列出方程F(x，y)＝0；④化方程F(x，y)＝0為最簡形式；⑤證明以化簡后的方程的解為坐標點都是曲線上的點．坐標2．曲線的交點求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的________的問題．思考感悟1．怎樣才能使曲線上的點集與方程的解集之間建立一一對應關系？實數解提示：視曲線為點集：曲線上的點應滿足的條件轉化為動點坐標(x，y)所滿足的方程，這樣就可保證曲線上的點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上，兩者之間就一一對應．2．求曲線方程與求軌跡有何不同？提示：若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚．課前熱身答案：C答案：C3．動點P到兩坐標軸的距離之和等于2，則點P的軌跡所圍成的圖形面積是(

)A．2 B．4C．8 D．不存在答案：C答案：2考點探究·挑戰高考考點點突突破破考點一曲線與方程的關系判斷斷曲曲線線與與方方程程的的對對應應關關系系有有兩兩種種方方法法：：等等價價轉轉化化和和特特值值討討論論，，它它們們依依據據的的是是曲曲線線的的純純粹粹性性和和完完備備性性．．因因此此，，處處理理““曲曲線線與與方方程程””的的概概念念題題，，可可采采用用等等價價轉轉化化法法，，也也可可采采用用特特值值法法．．如果果命命題題““坐坐標標滿滿足足方方程程F(x，y)＝0的點點都都在在曲曲線線C上””不不正正確確．．那那么么，，以以下下正正確確的的命命題題是是()A．曲曲線線C上的的點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程F(x，y)＝0B．坐坐標標滿滿足足方方程程F(x，y)＝0的點點有有些些在在C上，，有有些些不不在在C上C．坐坐標標滿滿足足方方程程F(x，y)＝0的點點都都不不在在曲曲線線C上D．一一定定有有不不在在曲曲線線C上的的點點，，并并且且其其坐坐標標滿滿足足方方程程F(x，y)＝0例1【思路分析析】從定義入入手，結結合定義義中的兩兩個條件件判斷．．【解析】“坐標滿滿足方程程F(x，y)＝0的點都在在曲線C上”不正正確，就就是說““坐標滿滿足方程程F(x，y)＝0的點不都都在曲線線C上”是正正確的．．這意味味著一定定有這樣樣的點(x0，y0)，雖然F(x0，y0)＝0，但(x0，y0)?C，即一定定有不在在曲線C上的點，，其坐標標滿足F(x，y)＝0，因此只只有D正確．【答案】D【領悟歸納納】判斷方程程是否是是曲線的的方程，，曲線是是否是方方程的曲曲線，必必須檢驗驗兩個條條件，二二者缺一一不可．．用直接法法、定義義法、代代入法、、參數法法、待定定系數法法等把題題意中的的曲線用用含x或y的方程表表示．參參考教材材例2、例3、例4.考點二求曲線方程例2【誤區警示示】本題易忽忽略A、B、D三點不共共線的條條件，而而認為是是整個圓圓．(1)求兩條曲曲線的交交點坐標標，只需需解兩條條曲線的的方程組組成的方方程組．．(2)如果兩曲曲線的位位置是由由交點的的個數決決定的，，那么位位置關系系可由方方程組的的實數解解的情況況來決定定．參考考教材練練習第4題考點三求曲線的交點例3【思維總結結】此類問題題的常規規解法是是將兩曲曲線有公公共點的的問題轉轉化為方方程組有有解的判判定問題題；而求求解參數數的取值值范圍，，需要建建立含參參數的不不等式，，常利用用判別式式來確定定．方法技巧巧1．求曲線線方程要要針對不不同的條條件，選選擇合適適的方法法．如例例2.2．兩曲線線的交點點坐標就就是兩曲曲線的方方程所構構成的方方程組的的公共解解．于是是求曲線線交點坐坐標的問問題就轉轉化為解解二元方方程組的的問題．．確定兩兩曲線交交點個數數的問題題，就轉轉化為討討論方程程組的解解的組數數問題．．充分體體現了數數形結合合與方程程的思想想．如例例3.方法感悟悟3．直線與與二次曲曲線的交交點個數數一般通通過聯立立兩個方方程得到到關于x或y的一元二二次方程程，根據據其判別別式來判判斷，即即當Δ>0時，有兩兩個交點點；當Δ<0時，無交交點；當當Δ＝0時，有一一個交點點(這時稱直直線與二二次曲線線相切)．1．求出軌軌跡方程程后，要要注意檢檢查驗證證，防止止增根或或失根．．如例2.2．求曲線線交點時時要注意意分類討討論．3．直線與與曲線只只有一個個交點時時，不一一定是相相切關系系．失誤防范范考向瞭望·把脈高考考情分析析曲線與方方程是解解析幾何何的精髓髓，一般般考題是是①求動動點的軌軌跡方程程．②研研究曲線線間的位位置關系系，特別別是直線線與圓錐錐曲線的的位置關關系．命命題形式式以解答答題的形形式出現現較多，，簡單的的位置關關系以填填空題、、選擇題題較多，，難度中中檔偏上上．2010年的高考考中，重重慶理第第10題，以立立體幾何何為背景景考查了了點的軌軌跡，四四川理第第20題(文第21題)結合雙雙曲線線考查查了求求軌跡跡的方方法，，上海海理第第3題結合合拋物物線的的定義義考查查了求求軌跡跡方程程，其其它各各省市市試題題考查查了曲曲線的的交點點問題題．預測2012年高考考對曲曲線方方程與與圓錐錐曲線線定義義試題題有所所回升升，出出現在在解答答題中中的第第一問問，復復習時時應給給予重重視．．規范解解答例【名師點點評】本題主主要考考查了了求軌軌跡方方程的的方法法，直直線與與曲線線的位位置關關系，，圓的的方程程的知知識，，以及及推理理運算算能力力．難難度中中檔偏偏上．．考查查了平平面解解析幾幾何的的重要要知識識和思思想方方法，，求軌軌跡方方程作作為本本題的的第一一問較較簡單單，但但很關關鍵，，只有有(1)正確，，(2)才有可可能正正確，，(2)中是解解決直直線與與曲線線的常常規方方法：：方程程組思思想及及向量量法，，入手手明確確，但但化簡簡運算算量較較大．．名師預預測2．如圖圖，定定點A和B都在平平面α內，定定點P?α，PB⊥α，C是α內異于于A和B的動點點，且且PC⊥AC.那么，，動點點C在平面面α內的軌軌跡是是()A．一條條線段段，但但要去去掉兩兩個點點B．一個個圓，，但要要去掉掉兩個個點C．一個個橢圓圓，但但要去去掉兩兩個點點D．半圓圓，但但要去去掉兩兩個點點解析：：選B.由三垂垂線定定理可可得AC⊥BC.∴△ACB是直角角三角角形點C在以AB為直徑徑的圓圓上，，但異異于A、B兩點．．4．過點點(－2,0)的直線線l和拋物物線C：y2＝8x有且只只有一一個公公共點點，則則直線線l的斜率率取值值集合合是()A．{－1,0,1}B．{－1,0}C．{0,1}D．{－1,1}(1)當k＝0時，x＝0，從而而y＝0，方程程組①①有一一組實實數解解，從從而直直線l與拋