高中數學必修

5

常考題型：等比數列 －

－

的等差數列，令

b＝，求證數列{b}是等．等比數列的定義如果一個數列從第

項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母

q

表示q≠．

與

b

中間插入一個數

，使

，，b

成等比數列，那么

叫做

，b

的等比中項，這三個數滿足關系式

＝±

.{}的首項為

qq≠，則通項公式為：＝q.【例

1

】 已知數列{}是首項為

，公差為

比數列，并求其通項公式．[解] 依題意

＝＋－×[解] 依題意

＝＋－×－＝－， 于是

b＝

.b ＝ ＝

而 ＝

b

定義法：

＝qq

為常數且

q≠或 ＝

∴數列{b}是公比為

的等比數列，通項公式為

b＝.【類題通法】證明數列是等比數列常用的方法 qq

為常數且

q≠，≥ {}為等比數列．等比中項法：＝·

≠，∈*?{}為等比數列．通項公式法：＝q其中

，q

為非零常數，∈*?{}為等比數列．【對點訓練】{}的前

項和

＝－數列{}是等比數列．證明：∵＝－，∴＝－.∴＝－＝－－－＝－.∴＝.又∵＝－，∴＝≠又由

＝知

≠， ∴

＝.∴{}是等比數列.【例

2】 在等比數列{}中，＝，＝，求

；＋＝，＋＝，＝，求

.

因

為

[

解

]

因

為

＝q，

所

以qq＝， ①由 得

q＝，從而

q＝

，而

q＝，q＝，

②②①－于是

＝

＝

，所以

－于是

＝

＝

，所以

＝q＝.＋＝q＋q＝， ③由 得

q＝

，從而

＝ 又

＝，所以

× ＝，q 法 一 ： 因 為＋＝q＋q＝，

④④③

即

＝，所以

＝法二：因為

＋＝q＋，所以

q＝.由

q＋q＝，得

＝由

＝q＝，得

＝【類題通法】比數列的通項公式的基本量也常運用方程的思想＝·

qq≠中包含了四個量，已知其中的三個量，可以求得另一個量．求解時，要注意應用q≠

驗證求得的結果．【對點訓練】．若等比數列的前三項分別為

，－，則第

項是 A． B．－C． ．－

已知等比數列

{}

為遞增數列，且 25

＝＋＝，則數列

{}的通項公式

＝________.解析：選

A ∵解析：選

A ∵＝q

＝，q＝

＝－，∴＝根據條件求出首項

和公比

q，再求通項公式．由

＋＝?q－q＋＝?q＝

或，由

＝＝q>0?>0，又數列

{}遞增，所以

q＝25＝>0?q＝q?＝q＝，所以數列{}的通項公式為

＝.答案： 【例

3

】 設等差數列{}的公差

d

不為

，＝d，若

是

與

的等比中項，則

等于 A．C．

．[解析] ∵

＝[解析] ∵

＝＋d，又∵＝

·

，∴

[

k

＋

8

d]

＝

d·(2

＋

d

，解得

＝－

舍去，＝[答案] B【類題通法】性質綜合應用．可以簡化計算、提高速度和準確度．②用來判斷或證明等比數列．【對點訓練】．已知

既是

與

b的等比中項，又是與 ＋bb的等差中項，則＋b的值是

A．

或

或－

．

或－C．

或－

＝，＋＝，＋b因此 的值為

或－

.＋b解析：選

由題意得，b＝＝，＋b＝， ＝－，∴ 或＋b＝ ＋b＝－．等比數列{}中，＋＝，＋＝，

∴q＝

，∴q＝

∴q＝

，∴q＝

. A. B.C． ．解析：選

B ∵{}為等比數列，∴＋＝＋q， ．已知等差數列{}的公差為

，若

，，成等比數列，則

等于 A．C．－

．－解析：

選

＝－，＝＋，＝＋×＝＋，由于

，，成等比數列，則

23＝，所以＋＝－＋，解得

＝－{}中，

＝

－＝，則

＝________.∴

＝

，又

＝，所以

∴

＝

，又

＝，所以

＝×.答案：× 因此{}是以為公比的等比數列，

．已知

{}是遞增等比數列，＝，－＝，則此數列的公比

q＝________.解析：由題意得

q－q＝，解得

q＝

或

q公比

q＝

，求項數

.

q

＝ q＝

公比

q＝

，求項數

.

q

＝ q＝

，

得 ，∵＞，∴答案：．已知{}為等比數列，且＝，＝，該數列的各項都為正數，求

.

若等比數列{}的首項

＝，末項

＝，

若等比數列{}中

＝，求公比