銳角的三角比-知識講解 【學習目標】1．結合圖形理解記憶銳角三角函數的定義；2．會推算準確的記住特殊角的三角函數值；3．理解并能熟練運用“同角三角函數的關系”及“銳角三角函數值隨角度變化的規律”.【要點梳理】要點一、銳角三角函數的概念如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A

所對的邊

BC

記為

a，叫做∠A

的對邊，也叫做∠B

的鄰

邊，∠B

所對的邊

AC

記為b

，叫做∠

B

b

的對邊，也是∠A

的鄰邊，直角

C

所對的邊

AB

記為

c，叫做斜邊．銳角

A

的對邊與斜邊的比叫做∠

A

的正弦，記作

sinA，即

；

銳角

A

的鄰邊與斜邊的比叫做∠

A

的余弦，記作cosA，即

b； 銳角

A

的對邊與鄰邊的比叫做∠A

的正切，記作tanA，即

； b銳角

A

的鄰邊與對邊的比叫做∠A

的余切，記作cotA，即

b. 同理

b；

；

b； b要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切、余切函數是在直角三角形化時，比值也隨之變化．

分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成 ， ，，?

不能理解成

sin

與∠A，cos

與∠A，tan

與

與∠A

的角的其正切應寫成“tan

∠AEF

”，不能寫成“tanAEF

”；另外，．

、

、

、

、

、

、(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．(4)由銳角三角函數的定義知：當角度在

0°＜∠A＜90°間變化時，

，，tanA＞0

cotA＞0.要點二、特殊角的三角函數值

角的各三角函數值，歸納如下：銳角30°45° 1

cot160°要點詮釋：(1)通過該表可以方便地知道

如：若 ，則銳角 ．(2)仔細研究表中數值的規律會發現：、 、 的值依次為 、

、

，而

、、

的值的順序正好相反，

、

、

的值依次增大，其變化規律可以總結為：①正弦、正切值隨銳角度數的增大(或減小)而增大(或減小)②余弦、余切值隨銳角度數的增大(或減小)而減小(或增大)．要點三、銳角三角函數之間的關系如圖所示，在

Rt△ABC

中，∠C=90°．(1)

互

余

關

系

：；

，tanA=cot(90

°

-

∠

A)=cotB ,tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方關系：

；(3)倒數關系：

或

；(4)商的關系：

要點詮釋：銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的用這些關系式可使運算簡便．【典型例題】

銳角三角函數值的求解策略1．如圖所示，在Rt△ABC

BC＝5，求∠A，∠B

的正弦、余弦、正切、余切值．【答案與解析】在

Rt△ABC

中，∠C＝90°．∵ AB＝13，BC＝5．

，

，

，

；∴

．

，

，

，

． 【總結升華】用銳角三角函數的定義求值．舉一反三：∠Rt△ABC中，C=90°，若

，∠sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，cosB=

．

b

【答案】

5

，sinA

=

， cosA=

特殊角的三角函數值的計算

，sinB=

，

cosB=

．2．求下列各式的值：?(1)sin30°-2cos60°+cot45°；

(2)

；??

?°

．【答案與解析】(1)原式

； (2)原式

；(3)原式

． 【總結升華】熟記特殊角的三角函數值或借助兩個三角值，再進行化簡．舉一反三：【變式】在 Rt

△ABC

中，

∠C=90°，若∠

A=45

°，則∠B=

，sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，cosB=

．【答案】

45°，sinA

=

，

cosA=

，sinB=

，

cosB=

．

銳角三角函數之間的關系銳角

．

求銳角

；

(2)已知

求【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解．∴銳角

=30°．(2)先將已知方程因式分解變形．∴銳角

=45°．【總結升華】數，解方程求得它的解(值)，然后再求這個銳角．

銳角三角函數的拓展探究與應用4．如圖所示，AB

是⊙O

的直徑，且

AB＝10，CD是⊙O

的弦，AD

與

BC

相交于點

P，若弦

CD＝6，試求

cos∠APC

的值．【答案與解析】連結

AC，∵ AB

是⊙O

的直徑，∴ ∠ACP＝90°，又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ PCD∽△PAB，∴

PC

CD

．PA AB又∵ CD＝6，AB＝10，∴在

Rt△PAC

中，cos

APC PC CD 6 3PA AB 10 5

．【總結升華】結

AC，由AB

是⊙O

的直徑得∠ACB＝90°，cos

APC

PC

，PACD

CD△PCD∽△PAB

得

PC ．PA AB5．通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖

1①，在△ABC

中，AB＝AC，頂角

A

的正對記作

sadA，這時

問題：(1)sad60°＝________．(2)對于

的正對值

sadA

的取值范圍是_______．(3)如圖

sinA＝

為銳角，試求sadA

的值．【答案與解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如圖

2

所示，延長AC

到

D，使AD＝AB，連接

BD．設

AD＝AB＝5a，由

得

BC＝3a， ∴

)

)

，∴ CD＝5a-4a＝a，

)

，∴

．

60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故

sadA＝1；(2)在圖①中設想

AB＝AC

的長