第五章電容元件與電感元件

只包含電阻元件和電源元件的電路——電阻（resistive）電路,否則便是動態（dynamic）電路。

(動態電路至少包含有一個動態元件。)

電容元件（capacitor）、電感元件（inductor）均屬動態元件。動態元件的VCR?描述動態電路的方程?

含動態元件的動態電路也屬于集總電路，也必須服從兩類約束;

分析動態電路的基本方法還是疊加法、分割法；前面所學的2b法，支路法、網孔電流法、節點電壓法、觀察法仍然可用。§1電容元件的VCR

§2電容的儲能狀態變量§3電容與電感的對偶性（duality）本章先介紹兩種儲能元件

———電容元件和電感元件。

常用的幾種電容器電容(Electriccapacity)構成：由兩個金屬極，中間夾有絕緣材料（介質）構成。作用：隔斷直流電，通過交流電的作用。常用于級間耦合、濾波、去耦、旁路及信號調諧等。種類：從原理分：無極性的、有極性的；固定電容、可調電容。從材料分：CBB電容（聚乙烯），滌綸電容、瓷片電容、云母電容、獨石電容、電解電容（最常見）、鉭電容等。有機半導體鋁電解電容構造圖

§1電容元件的VCR

絕緣介質電容器是一種能夠存儲電荷乃至電場能量的器件。理想電容器應該只具有存儲電荷從而在電容器中建立電場的作用。充電電容（元件）的VCR有兩種形式

一種電荷與電壓相約束的器件。

電容元件的定義：如果一個二端元件在任一時刻，其電荷與電壓之間的關系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。符號和特性曲線如下圖7(a)和(b)所示。

通過坐標原點一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則為非線性電容元件。(a)電容元件的符號(c)線性時不變電容元件的符號(b)電容元件的特性曲線(d)線性時不變電容元件的特性曲線在物理意義上：它只具有存儲電荷、從而存儲電場能量的作用。其參數為電容C：其數學表達式為：式中的系數C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電容，單位是法[拉],用F表示。電容器其他幾種模型電容器的幾種電路模型

電容元件的VCR一對于線性時不變電容元件來說，在采用電壓電流關聯參考方向的情況下，可以得到以下關系式：此式表明電容中的電流與其電壓對時間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關系不同，電容電流與此時刻電壓的數值之間并沒有確定的約束關系。動態元件.在直流電源激勵的電路模型中，當各電壓電流均不隨時間變化的情況下，電容元件相當于一個開路(i=0)。例：已知C=1F如u(t)=10sin(5t)V，其波形如圖7-3(a)所示，則iC(t)為圖7-3(b)所示。因為有：圖7-3電流總比電壓慢半拍例：已知電容的電壓u(t)如圖(a)所示，求電流iC(t),并畫出波形圖。

解：根據圖7(a)波形，按照時間分段來求解：

1.當0t2s時，uC(t)=10t，根據式7－2可以得到圖b0-2線段：

2.當2st4時，uC(t)=20，根據式7－2可以得到圖b2-4線段：圖(a)圖（b）3.當4st8時，uC(t)=－5t，根據式7－2可以得到圖b4-8線段：上述例子表明：

（a）u、i

波形不同。此為動態元件一般規律，（除正弦波等少數例外。）特別是當u為直流電壓時i=0。（b）盡管電流是不連續的，但電容電壓卻是連續的——

電容電壓的連續性質（continuityproperty）利用電容電壓的連續性，可以確定電路中開關發生作用后一瞬間的電容電壓值，在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為電容元件的VCR二上式表明：

更實用的形式：設初始時刻為t=0某時刻t的電容電壓與從-∞到該時刻所有電流有關—電容電壓的記憶性質（memoryproperty）即u(0)累計了t=0以前所有時刻i的作用,稱為電容的初始電壓。例:電路如圖7－6(a)所示，已知電容電流波形如圖7－6(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。圖7-6根據以上計算結果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時刻電容電壓的數值與此時刻以前的全部電容電流均有關系。例如，當1s<t<3s時，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時間內電流作用的結果。圖7-6上式表示t>0某時刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時刻范圍內電容電流在電容上積累電荷所產生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個直流電壓源uc(0)和一個初始電壓為零的電容的串聯如下圖所示。電容的兩個基本的性質

(1)電容電壓的記憶性。任意時刻T電容電壓的數值uC(T)，要由從-到時刻T之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，此時刻以前流過電容的任何電流對時刻T的電壓都有一定的貢獻。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。圖7－7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形[如圖(b)中實線所示]保持輸入電壓uin(t)波形[如圖(b)中虛線所示]中的峰值。圖7－7峰值檢波器電路的輸入輸出波形

(2)電容電壓的連續性電流的波形可以是不連續的，但電容電壓的波形是連續的。即電容電流在閉區間[t1,t2]有界時，電容電壓在開區間(t1,t2)內是連續的。這可以從電容電壓、電流的積分關系式中得到證明（從略）。電容電壓不能突變的性質，常用下式表示：

對于初始時刻t=0來說，上式表示為：利用電容電壓的連續性，可以確定電路中開關發生作用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說明。

試求：(1)u(0)；(2)u(t)、t≥0；(3)u(1)和u(－0.5)；(4)作出t≥0時該電容的等效電路。已知電容C=4F，對所有t、i(t)波形如圖所示，電容電壓u(t)與i(t)參考方向關聯。

（1）根據已知條件，t≤0時僅在－1≤t≤0時，i(t)=2A。u(0)記憶了t=0以前所有電流的充電作用。

例題解:電流發生躍變時可以看作電路中開關發生作用（換路）

，其后一瞬間（t=0+）時的電容電壓值叫初始值。（2）t≥0時，不能忽略初始電壓u(0)，它反映了t≤0電流對t≥

0時u（t）的影響。t≥

0時（3）u(0+)=u(0-)=0.5V（4）t≥

0時的等效電路i1(t)—i(t)在t≥0時的部分；t≤0的部分已不必再考慮。例7－3圖7－8所示電路的開關閉合已久，求開關在t=0時刻

斷開瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。解：開關閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定

值，造成電容電流等于零，即圖7－8電容相當于開路。此時電容電壓為當開關斷開時，在電阻R2和R3不為零的情況下，電容電流為有限值，電容電壓不能躍變，由此得到圖7－8§5-2電容的儲能狀態變量若電壓和電流都是隨時間變化的，則算得的功率也是隨時間變化的。則每一瞬間的功率叫瞬時功率。電容的瞬時功率:功率波形圖：功率隨時間變化的曲線（見下頁）。結論：電容的功率有正有負，說明電容有時吸收功率，有時放出功率。電阻的p恒為正。一、瞬時功率：求電容元件的瞬時功率和儲能。

解：如右圖所示：例：已知電容u波形如(b)所示，u、i關聯參考方向時的iC(t)、pC(t)、wC(t)的波形圖。

二、電容的儲能結論：電容將電能轉換為電場能儲存在其中。其能量總為正。某時刻電容的儲能取決于該時刻的，與其電流值無關。電容是無源元件；某一時刻t的電容電壓反映同時刻儲能狀況。（儲能元件）電容電壓的連續性和記憶性均來自電容的儲能本性。電場能電容在t1~t2期間儲存或釋放的能量：結論：t1~t2

期間電容儲存或釋放的能量只與初始時刻和終了時刻的電壓值有關，而與此期間內的其他電壓值無關。>0電容從外電路吸取能量<0電容向外電路釋放能量

由于電容電壓確定了電容的儲能狀態，在動態電路分析中稱電容電壓為狀態（state）變量。它滿足：（a）給定初始狀態[即uc(0)]和所有t≥0的輸入[即i(t)]就能確定在t≥0時的狀態[即uc(t)]。見VCR的積分形式，。（b）由狀態變量可確定電路中任一變量。見下章。作為狀態變量，uc是分析含電容動態電路時的主要對象。三、狀態變量

§3電容與電感的對偶性（duality）對偶關系習題課

習題1答案5-12已知u(0)=4V，則該電容t≥0時的VCR為

與教案中例題不同，此處u(0)的成因不詳，也無需且不可能追究。其極性已如圖中所示，其值為4V，已成定局。但t≥0時，i、u的參考方向為非關聯的，故應選B項。習題1

答案5-13

解

t≥0的等效電路如圖，

代表初始電壓源的極性、數值是已知的，與i無關。C部分的u1和i的參考方向是非關聯的。習題課

習題2答案5-14

已知2H電感的電流波形如圖所示，試求電壓波形。設u、i為關聯參考方向。i波形圖上t=6s時，i=3.5A。習題2

答案5-15

解

利用分段作出波形圖：習題課

習題3答案5-16

與直流電源接通已久的電路如圖所示，試求每一電阻所消耗的功率；電路所儲存的能量；每一電源所提供的功率并校核電路的功率平衡關系。

2H習題3

答案5-17

解電路在直流電源長久作用下，電感看作短路，電容看作開路，如圖所示。1Ω電阻的功率：2Ω電阻的功率：5-18

電路總共儲存能量為4J+8J=12J。該項能量是電源接入時，由電源提供的。在電源持續作用下，這能量