北京郵電大學出版社（最新修改版）《信息光學》課件本課件所用教材：《信息光學理論與應用》

第2版王仕璠編著北京郵電大學出版社

2009年2月該書曾被教育部評為2009年度全國精品教材信息光學北京郵電大學出版社課件系列第2章標量衍射理論第1章二維傅里葉分析第3章光學成像系統的頻率特性

第4章部分相干理論

第5章光學全息照相

第7章相干光學處理

第6章空間濾波

第8章非相干光學處理

第9章信息光學在計量學中的應用

第10章信息光學在光通信中的應用

目錄第一章二維傅里葉分析

自20世紀40年代后期起，由于通信理論中“系統”的觀點和數學上的傅里葉分析方法被引入光學，更新了傳統光學的概念，豐富了光學學科的內容，并形成現代光學的一個重要分支—傅里葉光學。傅里葉光學促進了圖像科學、光電子學、光纖通信和應用光學的發展，也是信息光學在各種應用領域中的數理基礎。本章的重點是介紹傅里葉光學中廣泛用到的一些數學知識。本章講授內容第一講光學中常用的幾種非初等函數第二講卷積與相關第三講傅里葉變換的基本概念及基本定理第四講傅里葉-貝塞爾變換第五講線性系統與線性空間不變系統第六講二維采樣定理習題課其他一維情形:

本講先介紹在光學中廣泛使用的一些非初等函數和函數,為以后的討論打下基礎。表示照相機快門、單縫透過率（故也稱為門函數）。同時，它與某函數相乘后，可起到截取函數的作用。1.矩形函數其中

圖1.1.1一維矩形函數第一講光學中常用的幾種非初等函數一.幾種非初等函數●表示矩孔透過率。

其中圖1.1.2二維矩形函數二維情形:●其中圖1.1.3一維sinc函數函數在原點處有極大值1，而在處等于0。表示單縫夫瑯和費衍射的光場振幅分布,其平方表示衍射圖樣。2.sinc函數1●一維情形：●圖1.1.4二維sinc函數二維情形:表示矩孔夫瑯和費衍射的光場振幅分布，其平方表示衍射圖樣。

零點位置在處。其中二維情形：

圖1.1.5一維階躍函數圖1.1.6二維階躍函數

其中

3.階躍函數一維情形：

●開關功能：可在某點開啟或關閉另一函數，或描述光學直邊（或刀口）的透過率?！癖硎竞瘮禈O性發生翻轉。(位相板)其中4.符號函數圖1.1.7符號函數

階躍函數與符號函數的關系：

●

其中5.三角形函數圖1.1.8(a)一維三角形函數一維情形:●1+x/a1-x/a表示光瞳為矩形的非相干成像系統的光學傳遞函數(詳見第三章)。其中圖1.1.8(b)二維三角形函數二維情形:●圖1.1.9(a)一維高斯函數高斯函數在統計學領域中經常遇到。在光學領域中,它常用來描述激光器發出的高斯光束,有時也用于光學信息處理中的“切趾術”(詳見第8章)。6.高斯函數一維情況:●其中其中高斯函數的特點:1.是光滑函數;2.其傅里葉變換也是高斯函數。圖1.1.9(b)二維高斯函數二維情形:●圖1.1.10圓域函數

表示圓孔透過率。7.圓域函數或●函數發生位移或常數取負值時的圖示舉例：圖1.1.11函數發生位移后的情況

如果這些圖形的位置、寬度或高度發生變化時，則可看作是前述標準圖形的相應位移或相應坐標比例尺縮放。二. 函數(重點)1.定義定義1(積分表達式)定義2(函數序列表達式)表1.2.1幾種表示函數的函數序列圖1.2.1兩種表示函數的函數序列圖形隨著N的增大，函數曲線變得越來越窄，峰值則越來越高，而曲線覆蓋的面積始終保持等于1。圖1.2.2函數表示

注意:δ函數是廣義函數，其屬性完全由它在積分中的作用表現出來。它不能象普通函數那樣全由數值對應關系確定。圖示時可簡單地用一個箭頭表示函數。（左圖中取單位長度，相應于函數的體積。）

表示一類脈沖狀態的物理量:單位光通量的點光源的面發光度或平行光通過透鏡后,在后焦面上的照度分布。

圖1.2.3所示后焦面上的照度分布A(x,y)滿足以下兩個方程:定義式一致。歸一化后，上式與函數圖1.2.3用后焦面上的照度分布函數表示函數的物理意義2.(1)篩選特性(3)乘法性質

(5)積分形式

3.函數的性質(2)可分離變量極坐標形式(4)坐標縮放

推論：

表示光柵透過率?！褚痪S情形：4.梳狀函數

圖1.2.4一維梳狀函數上述積分形式表明：函數可由等振幅的所有頻率的正弦波(用余弦函數表示）來合成，換言之，函數可分解成包含所有頻率的等振幅的無數正弦波。4.梳狀函數(續)●二維情形:表示點源面陣、針孔面陣透過率。圖1.2.5二維梳狀函數表示對圖像函數的等間隔采樣。●梳狀函數與普通函數的乘積:

如何理解函數是一個“廣義函數”？它與梳狀函數有何關聯?課后思考：下一節課內容：

卷積與相關(重點).請注意預覽…請注意回顧和預習...一.卷積圖1.3.1線光源的夫瑯和費衍射

第二講卷積與相關

首先考查線光源經過狹縫后的夫瑯和費衍射。1.卷積概念的引入卷積既是一個由含參變量的無窮積分定義的函數，又代表一種運算。其運算性質在信息光學中經常用到。由基礎光學知：而對處的一小段光源，相應有強度分布為，通過系統后的像處一小段光源對在近軸條件下，上式化為

其中各小段光源的像強度非相干疊加，取極限最后得處單位強度點光源對應的像強度分布。代表3.卷積的物理意義和幾何意義物理意義：像強度分布是物強度分布與單位強度點光源對應的像強度分布的卷積.幾何意義：可采用圖解分析法幫助理解卷積運算的含(1).折疊;(2).位移;(3).相乘;(4).積分一維情形：二維情形：義。其運算過程分為下列4個步驟（見下頁圖示）:2.卷積的定義

圖1.3.2函數f(x)與h(x)卷積的幾何解釋●卷積運算的兩個效應：(1).展寬效應.即卷積的非零值范圍等于被卷積兩函數的非零值范圍之和。

(2).平滑效應.是以某區段內的積分值來表示卷積函數在某點的值。4.卷積的運算性質

⑴

線性特性(2)復函數的卷積(由（1）可歸結為實函數的卷積)其中⑶

可分離變量

若則⑸卷積符合結合律⑷卷積符合交換律

⑹

坐標縮放性質若則⑺卷積位移不變性

若則⑻函數

與δ函數的卷積[例1].設有二函數，分別為:圖1.3.3例1中的二函數圖形5.卷積運算舉例(難點)

求:[解]:按照前述卷積運算過程，求解步驟如下：（1）改變兩函數的自變量：

（2）將函數h()翻轉：（3）函數平移：（4）最后將兩函數乘積、積分。采用圖解分析法將有助于確定卷積運算中的積分限。同時，根據

的可能取值范圍，即分別畫出乘積曲線下面的面積,如圖1.3.4(a)~(h)中的陰影區域(重疊面積部分)。圖1.3.4例1一維卷積過程

(圖d,e)

(1)x≤0，(圖a,b)

(2)0＜x≤1，(圖c)

(3)1＜x≤2，(4)2＜x

＜3，(圖f)

(5)x≥3，(圖g,h)

各分段計算結果：綜合上述各式,可知所求二函數的卷積為:

據此畫出g(x)=f(x)*h(x)的完整曲線，如圖1-3-4(i)。

[例2].求解[解]:5.卷積運算舉例(續)

其中(1.3.19)(1.3.20)(a)-2≤x≤0(b)0≤x≤2圖1.3.5例2卷積運算過程

;當時，有。故只有時，有由上述積分限知：。當當時，函數乘積曲線下的積分面積不等于0，而當超出上述界限時，積分面積都等于0，如圖1.3.5所示。各分段運算結果如下：(1.3.21)故最后結果可表示成：

其函數圖形如圖1.3.6所示

圖1.3.6例2卷積運算結果(1.3.22)[例3].求下列卷積：[解]:由卷積定義和梳狀函數表達式，有表示Ronchi光柵的強度透過率(見教材P.18圖1.3.7)。二.相關1.互相關

互相關是兩個信號間存在多少相似性或關聯性的量度。(1).定義

(1.4.1)或(1.4.2)相關既是一個由含參變量的無窮積分定義的函數，又代表一種運算。在光學圖像特征識別中有重要應用。(2).互相關的運算性質(1.4.3)

(1.4.5)

（1.4.4）但有：取復共軛，但圖形不需要翻轉，而位移、相乘和積分三個過程是共通的。故兩者之間會有一定的聯系。

互相關與卷積的聯系:●互相關不滿足交換律:

●應相關與卷積的區別僅在于相關運算中，函數2.自相關

自相關是兩個相同函數圖像重疊程度的量度。當兩個相同函數圖像完全重疊時，自相關有一個極大峰值，稱為自相關峰。

(1)定義或（1.4.6a）(1.4.6b)(2)自相關函數的性質(1.4.7)

自相關函數具有厄米特對稱性

(1.4.9)

當f(x,y)是實函數時，其自相關是實偶函數?？梢杂肧chwarz不等式予以證明。自相關函數的模在原點處有最大值三.相關運算舉例（仍采用圖解分析法）[例1].試計算下面二函數的相關，并繪圖表示所得結果

[解]:由定義式（1.4.2）有：(1.4.11)

。其中(1.4.12)

當ξ=0時有:0≤x≤2；當ξ=2時有

(1)當時,遂得：由式(1.4.11)的積分限知:,再由式(1.4.12),圖1.4.1例1相關運算過程(3)當2≤x<4(圖b),

(2)當0<x≤2(圖a),其函數圖形如圖1.4.2所示。上述結果與前面的卷積運算結果相比較，相關運算后的函數圖形保持不變，但圖形發生了一定的位移。圖1.4.2例1計算結果的函數圖形(1.4.14)故可將計算結果表達成：[例2].試計算[解]:(1.4.15)其中圖1.4.3例2相關運算過程再由圖解分析法（見圖1.4.3）由式（1.4.15）中的積分限知:,當(1.4.16)(1.4.17)有：故得：其函數圖形如圖1.4.4所示。圖1.4.4例2計算結果

但有些函數（例如周期函數、平穩隨機函數等），并不滿足這一條件，卻滿足下述極限：此類函數稱為有限功率函數。(1.4.19）（1.4.18）四.有限功率函數的相關在前述互相關定義中,函數和應是有限能量函數，即(1.4.20)當兩復函數都是有限功率函數時，其互相關定義為式中，符號表示求平均。（1.4.21）定義式（1.4.21)適用于功率有限的信號，而定義式(1.4.6)適用于能量有限的信號。而有限功率函數的自相關便定義為：課后思考：

卷積與相關各表示甚么意義？彼此的聯系和區別如何？在運算上有什么差異？下一節課內容：

傅里葉變換的基本概念及其基本定理，請注意預覽…請注意回顧和預習...一.基本概念第三講傅里葉變換的基本概念及基本定理1.定義式復函數的傅里葉變換定義：稱為像函數（或頻譜），稱為原函數，兩者構成傅里葉變換對：可寫成：叫的振幅譜，叫位相譜。2.存在條件(充分條件)⑵函數在xoy全平面上每一個有限區域內局部連續,

僅存在有限個間斷點。⑶函數沒有無限大間斷點。

但是常用的某些函數（如sgn(x)、(x)、step(x)、cos(2f0x)等）卻不滿足上述存在條件中的某一條或多條，因此有必要對上述傅里葉變換定義作推廣。⑴函數在xoy全平面上絕對可積

廣義傅里葉變換就是極限意義下的普通傅里葉變換。3.廣義傅里葉變換設存在函數和函數序列,且有換言之，函數不存在傅里葉變換，但卻是在N時的極限，則定義N時序列

的極限為

的廣義傅里葉變換。則令[解]:計算過程分為三個步驟：顯然有

(1)選擇適當的函數序列例如(1.5.6)

廣義傅里葉變換計算示例：●[例1].求(2)求函數序列的變換:(1.5.7)(3)求極限:上式就是符號函數的廣義傅里葉變換.(1.5.8)(2)求函數序列的變換[例2].求[解]:(1)選擇適當的函數序列顯然有：例如選取令并利用積分公式：

容易求得:(3)求極限:由上式取極限最后得到

這種基元函數具有下述性質：

只不過是一個權重因子。4.傅里葉變換作為分解式的指數基元函數的線性組合，其頻譜

由逆變換式，可以把函數

分解成形式為

(1).代表傳播方向為的單位振幅的平面波。（2).當時，有在這些直線上位相為零或的整數倍，其法線與軸的夾角圖1.5.1函數

的零位相直線族

(3).引入了空間頻率的概念空間頻率表示特定波形在單位間距內重復的次數，也表示透鏡和照相底片等的分辨率。沿等位相線法線方向:

綜合上述分析，逆傅里葉變換的物理意義是：物函數

可以看成是無數振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)、方向不同(cos=fx，cos=fy)的平面波線性疊加的結果。此即傅里葉分解。二.傅里葉變換基本定理(重點)1.線性定理

（對稱性定理）反映了波的疊加原理。當時，有2.縮放和反演定理傅里葉變換反比定理：●3.位移定理

4.Parseval定理(能量守恒定理)5.廣義帕色渥定理注意:

并不是的傅里葉變換。

6.卷積定理7.互相關定理8.自相關定理的互功率譜。稱為10.迭次變換定理11.微分變換定理9.積分定理得到鏡像。9、10兩種變換,從光學成像系統的觀點沒有本質的區別。12.積分變換定理13.共軛變換定理若是非負的實函數（例如光強度），則有具有上述性質的函數稱為厄米特函數。課后思考：

傅里葉變換具有哪些基本性質？下一節課內容：

傅里葉—貝塞爾變換，請注意預覽…

請注意回顧和預習...化為極坐標：一.可分離變量函數的變換

函數的可分離性可使復雜的二維計算得以簡化為更簡單的一維計算。對于可分離變量的函數，其頻譜函數在頻域中也是可分離的。直角坐標系下很明顯。下面只討論極坐標系中的情況。

由第四講傅里葉-貝塞爾變換根據貝塞爾函數關系式:

得:上式表明在極坐標系中可分離變量函數

其頻譜在極坐標系中也是可分離的。

其中二.具有圓對稱的函數:傅里葉—貝塞爾變換故對圓對稱函數，k只能取0值。對圓對稱函數

圓對稱函數的傅里葉變換本身也是圓對稱的。用完全同樣的論證方法，可得圓對稱函數的傅里葉逆變換表示式:因此對于圓對稱函數，其變換和逆變換形式完全相同。這種變換稱為傅里葉－貝塞爾變換。并有但應注意：[例題].求圓域函數的傅里葉-貝塞爾變換。最后得[解]:，并利用貝塞爾函數關系式:令徑向的位置是不等距的。該函數常寫成一種便于應用的歸一化形式：圖1.7.1圓域函數的變換（貝森克函數）其變換結果如圖1.7.1。中央峰值為。零點在三.常用傅里葉變換對要求掌握教材P.34表1.8.1中常用函數的傅里葉變換。示范講解：看作周期函數,且周期T=1,因此可把

按傅里葉級數展開式中[例1].求證:[證明]:首先將梳狀函數

于是類似地，對二維梳狀函數有：故梳狀函數的傅里葉變換仍然是梳狀函數。故得[例2].求證:[證明]：函數代表一種線性調頻信號或編碼脈沖信號（ChirpSignal），其實部和虛部函數圖形如圖1.8.1所示。圖1.8.1函數的實部和虛部圖形

由于:令并利用積分公式：，容易求得：證畢課后思考：

哪些函數的傅里葉變換本身還是該類型函數？他們具有哪些特點？下一節課內容：

線性系統與線性空間不變系統，請注意預覽…

請注意回顧和預習...第五講線性系統與線性空間不變系統圖1.9.1系統的算符表示一.系統的算符表示“系統”可以是具體的通信網絡、電子線路或成像裝置，也可以是光波在空間的傳播過程。故可廣義地把“系統”定義為一種變換或映射,把對系統的輸入稱為激勵，而系統對此產生的輸出則稱為響應，并用算符S將兩者聯系起來：至于這個算符的性質，則要針對具體的系統而定。

線性所帶來的最大好處是：系統對任意輸入的響應能夠用它對此輸入分解成的某些基元函數的響應表示出來。則稱此系統為線性系統。

如果有二.線性系統的意義設是一組任意復常數；三.脈沖響應函數與疊加積分

光學中常用的基元函數有三種：（1）函數(點基元)；（2）復指數函數(平面波基元)；（3）余弦函數。

由函數的篩選特性，輸入函數可寫成:現以函數為例來說明線性系統的分解和綜合過程。上式可視為將表示成帶有權重的無窮多個位置（輸入函數的分解式）

不同的函數的線性組合。(疊加積分)（脈沖響應）其中疊加積分表明:線性系統的性質完全可由它對單位脈沖輸出可寫成：的響應來表征。四.線性空間不變系統傳遞函數則稱此系統為線性空間不變系統。線性空間不變特性是理想成像系統必備的。

(1)線性空間不變系統(LSI)的定義：

圖1.9.2LSI系統對一維函數的平移不變效應若且其中(2)線性空間不變系統的特性（a).脈沖響應具有比較簡單的形式（等暈性）

稱為系統的傳遞函數，表示系統對信號頻譜的傳遞能力，與空域中用脈沖響應函數來描述等價。

（b).疊加積分具有特別形式（卷積積分）(c).傅里葉變換形式特別簡單五.線性空間不變系統的本征函數本征值與本征函數方程式:

凡滿足上述方程的函數f(x,y)是算符S（此處指LSI系統）的本征函數,是f(x,y)的本征值(復函數）。本征函數通過該系統時不改變其函數形式，而僅可能被衰減或放大，或產生相移，其變化量決定于相應的本征值。

基元函數正是LSI系統的本征函數。

這時，輸出函數的頻譜為：

其頻譜為：（1）指數基元于是輸出函數為：即其中傳遞函數即為的本征值。這時，輸出函數的頻譜為：其頻譜為：

⑵.點基元而輸出函數為：即這種基元函數常用于非相干成像系統，其脈沖響應是實函數，且其傅里葉變換具有厄米特函數特性：

⑶.余弦函數(模是偶函數)(1.9.19)(1.9.20)令則由厄米特函數性質有：（幅角是奇函數）

下面證明余弦函數也是LSI系統的本征函數:輸入余弦函數的頻譜為輸出函數的頻譜為而輸出函數為

將式（1.9.19,20)代入，有：故得亦即對LSI系統的余弦輸入將產生同頻率的余弦輸出，但可能引起衰減和相移。課后思考：

線性空間不變特性為甚么是每個成像系統必備的？如何理解線性空間不變系統的本征函數?下一節課內容：

二維采樣定理，請注意預覽…請注意回顧和預習...

任何一個宏觀的物理過程都是連續變化的，物理量的空間分布也是連續變化的。但由于物理器件的信息容量有限，在對一個實際的物理過程或圖像進行觀測、記錄、傳送和處理時，常常不能用連續的方式進行，只能用它的一些離散的采樣值來表示。例如：CCD攝像機在記錄運動圖像時為30幀/秒；超級計算機“天河一號”峰值性能盡管達4700萬億次/秒（實測性能2507萬億次/秒），也不能以連續方式去運算。第六講二維采樣定理存在的問題：1）如何對圖像或物理過程進行采樣？

2）采樣結果有多大的準確性？

3）如何從其中復原出真實的函數？

一.圖像函數的采樣表示法其頻譜：

采樣值函數上式表明：采樣值函數的頻譜由頻率平面上無限重復的原函數的頻譜所構成，形成排列有序的“頻譜島”，其重復間距分別為1/X,1/Y。圖1.10.1采樣值函數的頻譜如果令m=n=0，則，即從采樣值函數的周期性重復的頻譜中可準確恢復出原函數的頻譜。為此，必須使各重復的頻譜要能彼此分得開,即原函數的頻譜寬度應是有限的(帶限函數)。(b)采樣值函數的頻譜二.奈奎斯特判據

設2Bx,2By分別表示原函數的頻帶寬度，而其重復間隔各為1/X,1/Y。故若

2Bx=1/X,2By=1/Y

；或X=1/2Bx,Y=1/2By

就可保證各頻譜島之間不重疊,獲得臨界采樣(此即奈奎斯特判據)。當X<1/2Bx,Y<1/2By時,稱為是過采樣的,這將對探測器件提出過高的要求；而當X>1/2Bx,Y>1/2By時，稱為是欠采樣的，這時頻譜島間將有部分重疊。這時就有三.原始函數的復原選擇矩形濾波器，其濾波函數為

相應的脈沖響應函數為取逆變換得：

上式稱為商農定理：它用采樣點的函數值去計算在采樣點之間所不知道的非采樣點的函數值。其重要意義在于表明在一定條件下,由插值準確恢復一個帶限函數是可實現的。辦法是在每一采樣點放置以采樣值為權重的sinc函數作內插函數，再線性組合起來即可。嚴格來說，帶限函數在物理上并不存在。但其頻譜值總會隨著頻率的提高而驟減。部分可以用多少個實數值來確定呢？四.空間—帶寬積若帶限函數在頻域中的區間以外恒等于零，則此函數在空域上的那

根據奈奎斯特判據和采樣定理，要在空域中恢復該函數，則沿兩個方向上的采樣點數應分別為：其中表示函數在空域中覆蓋的面積，表示函數在頻域中覆蓋的面積。而在空域中的采樣點數至少為；

空間—帶寬積定義為函數在空域和頻域所占面積的乘積。表示成:當是復函數時，每一個采樣值都是復數，它應由兩個實數值確定，即是評價系統性能的重要參數，既可用以描述圖像的信息容量，又可用來描述系統的信息傳遞和處理能力。一幅圖像的也決定了其可分辨像元的數目（稱為圖像的自由度）。它是一個不變量。成像系統的空間—帶寬積就等效于有效視場和系統截止頻率所確定的通帶面積的乘積。課后思考：

超過臨界采樣間隔采集數據會有哪些后果？欠采樣的情況又如何？下一節課內容：

標量衍射中的基爾霍夫衍射理論，請注意預覽請注意回顧和預習...

本章重點

1.δ函數的意義和運算特性

2.卷積與相關運算

3.傅里葉變換諸定理及常用變換對

4.線性空間不變系統的特性

習題課

主要圍繞上述重點作技能訓練，要求熟練掌握。

課堂示范講解:1.2(4)(5）(6);1.5(1);1.10;1.11。

課外作業:1.2(2)(3);1.4;1.5(2);1.6;1.9第一章習題課解題示例1.2（4）試證明：[解]：由積分公式：

易得：所以故該函數符合函數的定義，可作為定義函數的原函數之一。又有而對于任一函數

有1.2(5)試證明：[解]：利用1.2(4)的結果有：故得證畢。1.2（6）試證明：[解]:利用1.2(5)的結果，并由復指數公式展開得：證畢。1.5(1)

用圖解分析法計算圖X1.2所示二函數的卷積。[解].（1）當時（附圖1.1左圖）有附圖1.1習題1-5(1)卷積過程

圖X1.2習題1-5(1)圖示的二函數（2）當時（附圖1.1右圖），有1.10證明：[解].式中稱為拉普拉斯算子。證畢。1.11利用Parseval定理分別計算下列積分：[解].由Parseval定理式（1.6.9）、（1.6.10）有：第二章標量衍射理論衍射的意義：“不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離”。衍射規律是光傳播的基本規律。衍射分為矢量衍射和標量衍射兩類。其中心問題是計算衍射光場的分布，即用確定邊界的復振幅分布來表達光場中任一觀察點的復振幅分布，若邊界上復振幅分布相同，即使光振動方向不同，其結果也應相同。標量衍射理論的發展(簡介)：惠更斯原理惠更斯-菲涅耳原理基爾霍夫公式(幾何作圖法）(引入干涉的思想）(應用格林定理）本章從基爾霍夫衍射公式開始,討論兩類典型的衍射，并用空間頻譜的觀點來分析衍射現象。本章講授內容第一講基爾霍夫衍射理論第二講衍射規律的頻域表達式第三講菲涅耳衍射與夫瑯和費衍射第四講夫瑯和費衍射計算實例第五講菲涅耳衍射計算實例習題課

1.亥姆霍茲方程：

第一講 基爾霍夫衍射理論

U(P)稱為相幅矢量,包含了光波空間結構的信息。一.預備知識

對頻率為的單色光波，有u(P,t)滿足標量波動方程：由此得(亥姆霍茲方程

)上式即格林定理。其中令為單色光場的復振幅，而G是一個輔助函數,稱為格林函數。必須慎重選擇格林函數和封閉面S,才能將該定理直接應用到衍射問題上來。

2.格林定理：設函數

單值連續可導，則有3.基爾霍夫積分定理表示從觀察點指向點的矢量的長度，則必有：圖2.2.1積分曲面的選擇令觀察點為，S代表包圍點的任意封閉面。要求用封閉面上的光繞動值來表示在點的光繞動。同頻率的單位振幅的球面波，即點向外擴展的與選擇為由為了排除在點的不連續性，用小球面包住點。于是在體積V’內，格林定理左端有從而格林定理簡化為在S面上有或(A)

代入式（A），令再通過運算、簡化，最后得此即基爾霍夫積分公式。積分面選取有很大的靈活性。在面上,。遂有圖2.2.2平面屏衍射的基爾霍夫理論推導二.平面屏衍射的基爾霍夫公式選擇封閉面由兩部分組成(右圖）：

在S2面上，

（在上一致有界）顯然有說明：基爾霍夫邊界條件具有不自洽性,可通過選擇別的格林函數予以改善。最后得:⑵在孔徑陰影區內,光場分布及其導數恒等于零。則面上的整個積分隨R趨于無窮大而消失。在面上的積分,應用基爾霍夫邊界條件:

根據索末菲輻射條件

⑴在孔徑上,光場分布U及其導數

與沒有屏幕時完全相同。三.菲涅耳—基爾霍夫衍射公式

圖2.2.3單色點光源照明孔徑

對孔徑采取具體的照明方式后,基爾霍夫衍射公式會有更具體的形式。設孔徑由點的單色點光源照明從而由于，則(2.2.20）上式稱為菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。最后得代入由基爾霍夫邊界條件導出的公式討論:1).光源位置與觀察點位置是對稱的（互易定理）。

2).說明倒退波是不可能的。(2.2.21)如果把菲涅耳衍射公式改寫成其中則可把式(2,2,21)解釋為惠更斯-菲涅耳原理，其中稱為傾斜因子，若點在與入射方向相同一側，則在近軸條件下，無倒退波。四.衍射公式與疊加積分其中(2.2.25)(2.2.24)

表示脈沖響應，而(2.2.24)式則具有疊加積分的意義。光波由點傳播到點的過程實際上是一個衍射過程,該過程將變換成,這等效于一個“系統”的作用，由于滿足疊加積分，故此系統還是線性系統，

表征了它的全部特性。，將(2.2.20)式寫成：注意到課后思考：

基爾霍夫邊界條件具有不自洽性，如何改善？下一節課內容：

衍射規律的頻域表達式，請注意預覽…

請注意回顧和預習...

一.衍射規律的頻域描述

圖2.3.1計算角譜用的坐標系

第二講 衍射規律的頻域表達式上式把分解成各種空間頻率指數基元的結合。令則處求值。利用亥姆霍茲方程得：

上式為二階線性齊次常微分方程，其特征根只取+號得一基本解（另一解表示倒退波）：即

其復振幅就是在初始邊界條件：

故得衍射規律的頻域表示式:或

函數稱為擾動的角譜。公式①表示了角譜的傳播。①zz討論：這對應于沿某一確定方向傳播的平面波。（2）.（3）.其對應指數基元相當于傳播方向垂直于軸的平面

波。這些隱失波并不把能量從孔徑帶走。此波沿方向按指數急速衰減，稱為隱失軸方向的凈能流為零。波，它在z（1）.得二.傳遞現象作為一種線性空間濾波器由

能求出傳遞函數這個事實表明，與自由傳播等效的系統是一個線性空間不變系統，并且該系統的傳遞函數相當于一個低通濾波器。其截止空間頻率為

圖2.3.2傳遞函數相當于一個低通濾波圓孔該濾波器的作用是阻止高頻信息進入衍射光場。例如在分析一幅圖像結構時，比波長還小的精細結構或者空間頻率大于的信息，在單色光照明下不能沿z方向傳播。三.衍射孔徑對角譜的效應

首先引入衍射屏的屏函數或透過率函數(圖2.3.3)：圖2.3.3衍射屏的屏函數則有其頻譜關系當時，有故當用一定大小的孔徑限制入射光場時，其效果是使入射光場的頻譜展寬。孔徑越小，頻譜展寬越顯著。

顯然，如果光波不通過衍射屏，則其角譜只有一個由此可見孔徑限制入射光場,導致其頻譜展寬了。例如對矩孔則課后思考：

如何理解孔徑對頻譜的展寬效應?下一節課內容：

菲涅耳衍射與夫瑯和費衍射，請注意預覽…

請注意回顧和預習...一.普遍公式的初步近似圖2.4.1討論衍射用的幾何示意圖

第三講菲涅耳衍射與夫瑯和費衍射用普遍形式下的標量衍射理論來計算具體的衍射問題時，數學上非常困難。因此有必要討論某些近似。按照近似條件的不同，可以分其為菲涅耳近似和夫瑯和費近似兩種，從而有菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射。①

由衍射公式

初步近似的基礎，是假設：②

則①式化為：的最大線度⑴.

但指數中的值不能簡單換為z，而必須采用更高一級的近似。⑵.近軸近似:，上式分母中的二.菲涅耳衍射

由于

菲涅耳近似(只取前兩項)：得到菲涅耳衍射公式：③討論：1).菲涅耳衍射的卷積表示則這表明菲涅耳衍射過程可視為一個線性空間不變系統,因此，它必然存在一個相應的傳遞函數，也就是:

④

令2).菲涅耳衍射的傅里葉變換關系由式指數展開，并令③，則有上式可看作是傅里葉變換形式的菲涅耳衍射公式。稍后將看到：當照明衍射屏的是會聚球面波時，變換式中的指數因子可能被消去，而直接成為傅里葉變換形式。

④三.夫瑯和費衍射則菲涅耳衍射公式便化為下式,稱為夫瑯和費衍射。夫瑯和費衍射公式的直觀形式:夫瑯和費近似：令采用會聚透鏡可在近距離內實現夫瑯和費衍射。夫瑯和費衍射區：夫瑯和費衍射區包含在菲涅耳衍射區之內。但夫瑯和費近似從形式上破壞了菲涅耳衍射的卷積關系(空間不變特性)，故不存在專門的傳遞函數。不過，由于菲涅耳衍射區包含了夫瑯和費衍射區，故其衍射過程的傳遞函數也適用于夫瑯和費衍射。四.

夫瑯和費衍射與菲涅耳衍射的關系菲涅耳衍射區:圖2.4.2

按傳播距離劃分的衍射區課后思考：

夫瑯和費衍射和菲涅耳衍射有何區別與聯系？下一節課內容：

夫瑯和費衍射計算實例，請注意預覽…

請注意回顧和預習...下面就以此約定為基礎，計算各種衍射光場。第四講夫瑯和費衍射計算實例由于緊貼衍射屏前后表面的光場和屏的透過率之間滿足下列關系：因此，影響衍射現象的因素主要包括照明光波的性質和孔徑的特點。為了能夠從衍射圖樣直接了解衍射物的性質,約定采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏(孔徑)，則其透射光場等于透過率函數。觀察屏上的光場分布：[例1].矩孔和單縫●矩孔:透過率函數：光強分布:

由此求得主瓣寬度：軸上第一個零點的位置由下列二式確定：在圖2.5.1矩孔夫瑯和費衍射沿軸的強度分布圖2.5.2矩孔夫瑯和費衍射花樣顯然，光束在衍射屏上的什么方向受到限制，則其衍射圖樣就沿著該方向擴展?！駟慰p單縫衍射。其衍射光場和光強度分布各為：軸上的條紋無法分辨時,就形成了當致使圖2.5.3單縫夫瑯和費衍射花樣

透射率函數：圖2.5.4多縫的透過率[例2].多縫衍射衍射光場：圖2.5.5多縫的夫瑯和費衍射花樣(d=3a)是多光束干涉經單縫衍射調制后的結果。當干涉因子分母變為0時，由洛畢達法則求得其極大值為N2,且fx=0,1/d,2/d,…。各值fx稱為多縫的傅里葉頻譜。求得條紋主極大寬度又由光強度：[例3].圓孔衍射透過率函數:光場分布:其中圖2.5.6圓孔的夫瑯和費衍射該圖中央艾里斑的半徑為:或其半角寬度為:（2.5.13）（2.5.14）由此可見：由于衍射效應，截面有限而又絕對平行的光束是不可能存在的。[計算實例].He-Ne激光器沿管軸發射定向光束，其出射窗口的直徑約為,波長，求激光束的衍射發散角。[解]:由于光束受到出射窗口限制，它必然會有一定的衍射發散角，即：

半徑為!外接收此光束，則由式（2.5.13）算得光斑若在[例4].正弦振幅光柵(把孔徑概念推廣到一般透明物體)其中光場分布:透過率:

圖2.5.10正弦型振幅光柵的夫瑯和費衍射花樣圖2.5.9正弦型振幅光柵的透過率函數當

時,即可保證三個sinc函數不重疊,故得正弦振幅光柵的色散和分辨本領：2.分辨本領—

表征分辨兩個波長很靠近的譜線的能力。由瑞利判據：剛好能分辨的情況為一個波長的+1級極大值正好落在另一個波長的+1級極小值處，故有即正弦振幅光柵的分辨本領R由光柵的總條紋數決定，而與觀察距離z無關。線色散1.色散—

表征光柵將不同波長的同級主極大在空間分開的程度。由+1級極大值的位置●故線色散與觀察距離及光柵頻率有關。透過率:(1)

[例5].正弦位相光柵由貝塞爾恒等式：光場分布:

則得

可見，全部衍射級次都有可能出現(圖2.5.11)。但當m/2是對應階貝塞爾函數(例如)的根時，則該級衍射分量消失，能量可轉移到其他衍射級上。對于已確定的m值，q增大到一定程度后，總有

趨近于0，所以會限制任意高階衍射級的使用。由，代入(1)式并令圖2.5.12對于q的3個數值，Jq2(m/2)對m/2的關系

圖2.5.11正弦型位相光柵的夫瑯和費衍射圖樣的截面圖(m=8)

課后思考：

正弦振幅光柵和正弦位相光柵的衍射有何異同？下一節課內容：

菲涅耳衍射計算實例，請注意預覽…

請注意回顧和預習...設一維周期性物體的透過率函數為：[例1].傅里葉成像(泰保效應)則觀察屏上的光場分布為(菲涅耳衍射的卷積表示)轉換到頻域分析會更方便：第五講 菲涅耳衍射計算實例時，其中最后得:當滿足條件圖2.6.1泰保效應示意圖從而，在此特殊情況下由變換公式可得：遂在的整數倍距離上可觀察到物體的像。此即泰保效應。稱為泰保距離。[例2].衍射屏被會聚球面波照明時的衍射

圖2.6.2夫瑯和費衍射像面接收裝置

為求觀察面上的光場分布，首先要確定衍射屏上的光場復振幅分布。按光路可逆性原理，照明光波在孔徑前表面的復振幅可視為由會聚點發出的反向球面波傳播到該表面造成的。利用菲涅耳近似有在衍射屏后表面上的光場為

衍射屏前表面上的光場為是衍射屏的屏函數。其中故觀察屏上的光場為故當用會聚球面波照明衍射屏時，會聚中心所在平面上的菲涅耳衍射和以平行光垂直照明衍射屏時的夫瑯和費衍射一樣，只是衍射花樣中心在會聚波的中心。此光路系統在頻譜分析和光信息處理中具有重要應用。最后結果可表示為:其中光強分布為三.衍射的巴俾涅原理1.互補屏的概念一個屏的開孔部分正好與另一個屏的不透明部分對應，反之亦然。圖2.7.1互補屏2.巴俾涅原理：

兩個互補屏在觀察點處產生的衍射光場，其復振幅之和等于光波自由傳播時在該點的復振幅:1).若，則。2).若，則。即在處的那些點和的位相差，而其強度卻相等。光波自由傳播時通常滿足幾何光學定律。故巴俾涅原理為研究一些衍射問題提供了一種輔助方法。例如求解兩類互補屏(圓孔和圓屏,單縫和細絲)的衍射光場。

[例1]設用單位振幅的單色平面波垂直照明下列衍射屏：(1）直徑為d的圓孔；（2）直徑為d的不透明圓屏；試求出各衍射屏后表面上光場復振幅的頻譜。[解]:(1).對圓孔，有：（1）、（2）顯然是一對互補屏，除中心點外，兩種情況的光強分布相同。且小圓屏衍射中心總是一個亮點！

(2).對不透明小圓屏，有：課后思考：

應用巴俾涅原理還可以解決哪些衍射問題？下一節課內容：

透鏡的傅里葉變換性質，請注意預覽…

請注意回顧和預習...

本章重點

1.空域與頻域的基爾霍夫衍射公式

2.經簡化后的兩類典型的衍射計算公式

3.一些典型孔徑的夫瑯和費衍射計算實例

4.泰保效應和采用會聚球面波照明孔徑時形成的衍射

習題課主要圍繞以上重點作技能訓練。課堂示范講解:2.1;2.6;2.8;2.10

課外作業:2.5;2.7;2.11;2.12;2.13幅的單色球面波給定（圖X2.1）,第二章習題課解題示例2.1為消除基爾霍夫衍射公式中理論的不自恰性，索1）求G+(P1)在衍射屏上的法向導數；2）需要什么樣的邊界條件？3）求U(P0)的表達式。各自發出的同位相的單位振其對衍射屏的鏡像對稱點即圖X2.1習題2.1圖示施加邊界條件。例如，可以選擇

同時由觀察點及末菲選用新的格林函數,使其不必同時對將上述結果代入式（2.2.16）得：[解]：由題設有最后得這時只需對應用邊界條件。當時，則有2.6設用單位振幅的單色平面波垂直照明圖X2.2所示雙矩孔，求其夫瑯和費衍射圖樣的強度分布，并畫出衍射強度沿軸和

軸的截面圖。設z是觀察距離，是照明光波長。圖X2.2雙矩孔[解]:雙矩孔的透過率函數為其透射光場為:觀察平面上的衍射光場為其極小值位置（附圖2.2）：代入，最后算得衍射強度分布:將當時，由題設條件算得附圖2.2習題2.6圖示之一附圖2.3習題2.6圖示之二及決定，即：其極小點位置（附圖2.3）由又時有圖X2.4習題2.8圖示2.8如圖X2.4所示，邊長為的正方形孔徑內再放置一個邊長為

的正方形掩模，其中心落在(,)點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求觀察面上夫瑯和費衍射圖樣分布。光強分布[解]:圖X2.4的透過率函數為觀察面上光場分布為將它們按條紋方向正交密著疊放在一起（圖X2.5）。當用單位振幅單色平面波垂直照明時，求夫瑯和費衍射斑的方向角。圖X2.5密著正交光柵2.10兩個正弦振幅光柵的透過率函數分別為：和[解]:由題設有：比較可知，它們分別代表九個頻率的衍射波，其方向角由角譜定義知各為將這9項與在

平面上傳播的平面波的表達式0級的級的級交叉項的級第三章光學成像系統的頻率特性

傳統的像質評價方法:鑒別率板法和星點檢驗法—其優點是簡便易行，缺點是未量化，人為因素較大。隨著空間頻譜分析方法被引入光學系統成像分析中(P.M.Duffieux)，誕生了光學傳遞函數理論(H.H.Hopkins)，產生了像質評價新方法—頻譜分析方法，使像質評價方法有了很大的改進。透鏡是光學成像系統和頻譜分析系統的基本元件，其傅里葉變換特性是光學信息處理的基礎。本章就從討論透鏡的位相調制作用、傅里葉變換性質和成像性質開始，討論光學系統的頻率特性。本章講授內容第一講透鏡的傅里葉變換性質第二講光學成像系統的一般分析第三講衍射受限相干成像系統的傳遞函數第四講衍射受限非相干成像系統的傳遞函數第五講相干成像與非相干成像系統的比較習題課

圖3.1.1透鏡對入射光波面的作用一.薄透鏡的位相調制作用

第一講透鏡的傅里葉變換性質（球面波二次曲面近似）稱為透鏡作用因子。透鏡的透過率函數為應用光路可逆原理其中P(x,y)稱為孔徑函數或光瞳函數，定義為圖３.1.3正透鏡和負透鏡對垂直入射平面波的位相調制其對入射平面波的位相調制作用如圖3.1.3所示。稱為透鏡的位相變換函數，而二.透鏡的傅里葉變換性質

根據光的傳播過程產生的菲涅耳衍射，可把全過程

圖3.1.4透鏡的一般變換關系分為3個部分：最后得：產生了位相彎曲。綜合：暫令Ｐ(x,y)=1,并設，簡化得（習題3.2）(多了一個位相因子)(準確的傅里葉變換)

(1)物置于透鏡前焦面時：

(2）物緊貼透鏡前表面時：討論幾種特殊情況：

而其中P(x’,y’)是物所在平面處的光斑孔徑。(3)物置于透鏡后：這時按光路可逆原理有(仍以L的口徑為準）由于圖3.1.5物置于透鏡后的變換（物面被照明部分的孔徑函數）

從物的后表面傳播到后焦面的過程可視為菲涅耳衍射，故后焦面上的光場分布為：其積分表達式為：可見，在透鏡Ｌ后焦面上總是獲得輸入函數的頻譜。后一種方法還具有一定的靈活性。綜合：暫令，則經簡化得：

由于透鏡孔徑的限制，沿某些方向傳播的物空間頻率不能完全通過透鏡，后焦面上不能得到準確的物頻譜。這給傅里葉變換帶來誤差。頻率越高，誤差就越大。這種現象稱為漸暈效應。三.透鏡孔徑的影響漸暈效應

圖3.1.6透鏡的孔徑效應

圖3.1.7漸暈效應圖示

[例1]設物函數中含有從低頻息，物被直徑為d=2cm的圓孔所示，將它放在直徑D=4cm、焦

前焦面上。今用波長=600nm的單色光垂直照射該物，并測量透鏡后焦面上的光強分布。問①物函數中什么頻率范圍內的頻譜可以通過測量得到準確值？②什么頻率范圍內的信息被截止？y到高頻的各種結構信限制。如圖3.1.7所距

的透鏡

[解]:①由于漸暈效應，僅當某一方向上的平面波分量完全通過透鏡時，在后焦面上相應會聚點測得的強度才可以準確代表物相應空間頻率的傅里葉譜的模的平方。由圖3.1.6(a)可知其相應空間頻率為：故可準確測量的最高空間頻率為：②當沿某一方向傳播的平面波分量完全被透鏡邊框阻擋時，在后焦面上就沒有該空間頻率成分，測得其頻譜為零。由圖3.1.6(b)可知，此時相應的截止空間頻率為：

課后思考：

透鏡的傅里葉變換是如何實現的？下一節課內容：

光學成像系統的一般分析，請注意預覽…

請注意回顧和預習...一.成像系統的普遍模型

圖3.2.1成像系統的普遍模型

第二講 光學成像系統的一般分析3.光束限制的共軛原理。4.成像系統的普遍模型。1.孔徑光闌、入射光瞳和出射光瞳的意義。2.入射光瞳、孔徑光闌和出射光瞳三者相互共軛。二.衍射受限系統的點擴展函數

成像系統分為兩大類，即衍射受限系統和有像差系統。前者不考慮像差的影響。由疊加積分：其中（脈沖響應）任意的物函數都可視為由許多面元組成。因此，只要能夠確定成像系統對點光源（面元）的脈沖響應函數，就能完備地描述該成像系統的性質。下面將單透鏡光學系統推廣到復合成像系統。。在上講推導透鏡的一般變換(圖3.1.3)對應的關系式中令即單色光照明時，衍射受限系統的脈沖響應就是系統光瞳函數的傅里葉變換，其中心在則經與上講類似推導可得P(x,y)視為出射光瞳函數,代表出瞳至像面的距離,

現作坐標變換：則有：表明該系統是線性空間不變系統。

即當不考慮出瞳的有限大小時，系統對物體成理想的像，該像與原物準確相似。討論:(1).若

(孔徑充分大),則(幾何光學的點像)代入疊加積分式,在幾何光學近似下,可得像函數為即像面上光場的復振幅分布等于幾何光學的理想像與系統脈沖響應函數的卷積。換言之，當考慮了衍射效應后，像不再是物體的準確復現了，而是物體的平滑變形。這將使物體中細微結構的空間頻率信息受到強烈衰減甚至損失，從而使所生成的像產生相應失真。(2).若考慮光瞳的有限大小，則由疊加積分得(1)

(3)

3.最后求逆變換：分析步驟（如圖3.2.2）：準單色光條件這時三.準單色光照明時物像關系分析(2)

2.再應用疊加積分：求關于變量t的傅里葉變換：1.先對圖3.2.2準單色光照明時物像關系框圖

最后求光強度分布:其中這樣，就把疊加積分公式推廣到了準單色光情形。將式（2）代入式（3）便得輸出像函數：2.非相干照明(如漫射擴展光源)：光擾動統計無關。

按照明方式，可分為相干照明和非相干照明兩類：1.相干照明(如激光,點光源)：物平面上任意兩點光擾動之間的位相差恒定，可令其平均值等于1。遂得即相干系統對光場復振幅是線性空間不變系統。即非相干系統對光強度的變換是空間不變的。課后思考：

相干光照明與非相干光照明的兩種成像系統有何差異？下一節課內容：

衍射受限相干成像系統的傳遞函數，請注意預覽…

請注意回顧和預習...稱為相干傳遞函數（CTF）。一.相干傳遞函數的定義相干成像系統是光場復振幅變換的線性空間不變系統。故有第三講衍射受限相干成像系統的傳遞函數其中其頻譜關系為二.相干傳遞函數與系統物理性質的聯系:由此得：截止頻率：考慮到光瞳的圓對稱性，可寫成：質量優劣的重要參數之一。由此可見，截止頻率是檢驗光學成像系統顯然,對衍射受限相干成像系統,存在一個有限通頻帶,在此通頻帶內,系統允許每一頻率分量無畸變地通過;在通頻帶外,頻率響應突然變為零,即通帶以外的所有頻率分量統統都被衰減掉（相當于一個低通濾波器）。圖3.3.1光瞳對高級衍射分量的限制

像差將引起波面變形（產生波像差）?？稍O想在出瞳內有一塊虛擬的移相板。于是得廣義光瞳函數：像差的存在并不影響相干傳遞函數的通頻帶寬度，僅在其內引入了位相畸變,影響成像系統的保真度。三.像差對系統傳遞函數的影響圖3.3.2出瞳為正方形時系統的CTF

[例1].有一出射光瞳為正方形的衍射受限系統，正方形的邊長為，試計算該系統的相干傳遞函數。四.相干傳遞函數計算舉例

對于衍射受限系統，相干傳遞函數直接由光瞳函數的形狀、大小和位置確定。故光瞳的選擇對成像過程有重大影響，也是計算的關鍵。系統的相干傳遞函數是：[解]:該系統出瞳的透過率函數可以用一個二維矩形函數來描述，如圖3.3.2（a）所示。系統的最大截止頻率在與x軸成角方向，即其函數圖形如圖3.3.2(b)。顯然，沿

軸和y軸方向的空間截止頻率都是：

[例2].設衍射受限系統的出射光瞳為一圓孔，其直徑為D，試計算該系統的相干傳遞函數。[解]:圓孔的光瞳函數為：相應的相干傳遞函數為：圖3.3.3出瞳為圓形時系統的CTF其函數圖形如圖3.3.3所示。顯然，根據出瞳的圓對稱性，該系統在一切方向的截止頻率均為：例如，當D=1cm,時，其截止空間頻率線對/mm。

相干傳遞函數和光瞳函數課后思考：下一節課內容：

衍射受限非相干成像系統的傳遞函數，請注意預覽…

請注意回顧和預習...是如何聯系起來的？且

一、光學傳遞函數的定義第四講衍射受限非相干成像系統的傳遞函數衍射受限非相干成像系統遵從光強度卷積積分：其頻譜關系為令（1）則由式（1）有：（2）（3）；（取其中對應的正頻率項與負頻率項相加）對式（2）取逆傅里葉變換：由于光強度不可能是負的，余弦分量的負值必然截止在零頻率分量A(0,0）上，故總和仍然是正的值。令是一個正值實數。則有表示零頻無位相因子。通常可將OTF表示成：人眼或儀器對圖像的視覺效果取決于像所攜帶的信息與直流背景的相對比值。故對零頻分量歸一化得最后得：H0(fx,fy)稱為系統的光學傳遞函數(OTF),反映非相干成像系統傳遞信息的頻率特性。

其模稱為調制傳遞函數，幅角稱為位相傳遞函數。二.OTF與CTF的關系而故得：即光學傳遞函數等于相干傳遞函數的歸一化自相關。由于三.光學傳遞函數的一般性質和意義2.3.令注意：雖然OTF在零頻下其值恒為1，但這并不意味著像和物的本底絕對強度水平相同。OTF定義中所用的歸一化已經消除了關于絕對強度水平的一切信息。1.（對零頻分量總是百分之百地傳遞)4.(也相當于低通濾波器)其中OTF的一般意義：

●，則：令時，必有僅當Vi>Vc時，像的結構才能被分辨。與此對比度閾值Vc相對應的空間頻率，就是成像系統的分辨極限。

因此系統存在一截止頻率，相應地存在一個對比度閾值

Vc。

。這MTF描述系統對各種頻率分量對比度的傳遞能力,而PTF體現了像強度相對于物強度分布所產生的位移。當就意味著，只要空間頻率大于系統的截止頻率，不論物強度頻譜的對比度有多大，像強度頻譜的對比度總是等于零。四.衍射受限系統OTF的計算由于故有遂有令；則上式化為：；。只取圖3.4.1衍射受限系統的OTF計算顯然,光學傳遞函數也是光瞳函數的歸一化自相關。上式給出了OTF的一種幾何解釋：由于0和1兩個實數值，故其分母代表光瞳的總面積而分子表示兩個錯開光瞳的相互重疊的面積故可對OTF作出如下幾何解釋：（非負實數）據此，光學傳遞函數的計算步驟可歸納為：1.計算出瞳總面積：2.計算出瞳面至像平面間距離：3.計算兩出瞳的重疊面積：4.最終計算得到：對于形狀復雜的出瞳，可以用計算機或面積儀求出H0(fx,fy)在一系列分立頻率上的值。圖3.4.2出瞳為正方形的系統的OTF計算

[例1].出瞳為正方形

OTF計算舉例：●[例2].出瞳為圓形截止頻率:圖3.4.3出瞳為圓形的系統的OTF計算

最后算得：弓形ABC的面積=

像差的存在會使光學系統的調制傳遞函數下降，像面光強度分布的各個空間頻率分量的對比度降低。但其截止頻率相同（在同樣光瞳下）。

五.像差對OTF的影響總可歸結為波面對理想球面波的偏離。其廣義光瞳為故得可以證明：在光瞳內在光瞳外[例1].試計算存在聚焦誤差時的OTF。[解]為求得，應先確定波像差如圖

圖3.4.4光學系統聚焦誤差方形光瞳邊緣上的最大光程差為

其中表征離焦的程度：在出瞳內或在出瞳外由于而故廣義光瞳函數可寫為上式中的指數因子可化為：而兩個錯開光瞳的重疊面積為：所以遂由傅里葉變換相似性定理得到代入上式，經整理化簡后得：將上式就表示調焦不準對OTF的影響。圖3.4.5（a)畫出時的曲線。當時，其對成像質量影響不大，從而可把作為離焦的容限。當時，OTF在某些區域出現負值，對應頻率成分產生相移，這表明該區域的對比度發生了翻轉（如圖3.4.5(b)所示)。這種現象稱為偽分辨。

圖3.4.5正方形光瞳系統有離焦像差時的OTF課后思考：

光學傳遞函數具有哪些性質？如何理解光學傳遞函數的物理意義？下一節課內容：

相干成像與非相干成像系統的比較，請注意預覽…

請注意回顧和預習...1.兩個物點間的分辨率

就