第二節一元二次不等式及其解法[主干知識梳理]一元二次不等式的解集二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根與一元二次不等式ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集的關系，可歸納為：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有兩相異實根有兩相同實根無實根x＝x1或x＝x2x＝x1若a<0時，可以先將二次項系數化為正數，對照上表求解．一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}??4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝__________，n＝________． 解析因為|x＋2|<3，即－5<x<1， 所以A＝(－5，1)，又A∩B≠?，所以m<1，B＝(m，2)， 由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.

答案－1

15．(教材習題改編)若不等式－x2＋2x－m＞0，在x∈[－1，0]上恒成立，則m的取值范圍是__________． 解析由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，

x∈[－1，0]的最小值即m＜umin.

又u在[－1，0]上遞增， ∴umin＝－1－2＝－3. ∴m＜－3.

答案(－∞，－3)[關鍵要點點撥]解一元二次不等式應注意的問題：(1)在解一元二次不等式時，要先把二次項系數化為正數．(2)二次項系數中含有參數時，參數的符號會影響不等式的解集，討論時不要忘記二次項系數為零的情況．(3)解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項系數的符號．(4)一元二次不等式的解集的端點與相應的一元二次方程的根及相應的二次函數圖象與x軸交點的橫坐標相同．

[典題導入]

解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．一元二次不等式的解法

[規律方法]1．解一元二次不等式的一般步驟：

(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)計算相應的判別式；

(3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根；

(4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集．2．解含參數的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．

[典題導入]

已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．[聽課記錄]解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數圖象的對稱軸為x＝a.①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.一元二次不等式恒成立問題

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.綜上所述，a

的取值范圍為[－3，1]．

[規律方法]1．對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區間上全部在x軸下方．2．一元二次不等式恒成立的條件：

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要條件是：

a＞0且b2－4ac＜0. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要條件是：

a＜0且b2－4ac＜0.

[跟蹤訓練]2．若關于x的不等式x2－ax－a>0的解集為(－∞，＋∞)，則實數a的取值范圍是________；若關于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，則實數a的取值范圍是________． 解析由Δ1<0，即a2－4(－a)<0，得－4<a<0； 由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.

答案(－4，0)

(－∞，－6]∪[2，＋∞)一元二次不等式的應用

[規律方法]解不等式應用題，一般可按如下四步進行：(1)認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系；(2)引進數學符號，用不等式表示不等關系；(3)解不等式；(4)回答實際問題．

[跟蹤訓練]3．某同學要把自己的計算機接入因特網．現有兩家ISP公司可供選擇．公司A每小時收費1.5元；公司B在用戶每次上網的第1小時內收費1.7元，第2小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算)．假設該同學一次上網時間總是小于17小時，那么該同學如何選擇ISP公司較省錢？【思路導析】

利用新定義化簡出f(x)，并作出圖象分析．【高手支招】

“三個二次”間關系，其實質是抓住二次函數y＝ax2＋