青島科技大學數學系應用數值分析

Applied

NumericalAnalysis教材

《應用數值分析》王明輝等編，化學工業出版社參考書目

NumericalAnalysis(SeventhEdition)

數值分析（第七版影印版）

RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）有關新課程的說明一．有關課程本身的幾個問題；二．有關教學過程的一些想法。一．有關課程本身的幾個問題：

１．開設本課程的目的：使學員學習與掌握數值分析基本理論與方法,建立起科學計算的良好數學基礎為后續課程作準備，培養和增強學員用數學知識解決問題的習慣和本領，使學員具備一定的分析問題和解決問題的能力。２．本課程在數學中的位置：它在數學眾多分支中，屬于計算數學。３．本課程與已學課程的聯系：與高等數學、線性代數最緊密。二．教師有關教學過程的一些想法：

教學過程是師生間的一種雙邊活動，它是一種特殊的認識過程（所討論的知識對教師而言是已知的,而對學員來說是未知的）。在這過程中，我的想法是：

１．在討論數值分析基本理論與方法的過程中,學員要向會學習、會思考、會研究、會創造、會應用的目標靠攏。

２．在教學活動中，講授的重點在思路、方法與培養能力上。

３．希望學員能以積極、主動的姿態參與到教學活動中,將教學過程變成研究、創造與培養能力的過程。

４．不要迷信書本與教師，要敢于懷疑，敢于研究，敢于創造。課程特點及學習要求具有較強的自學能力和一定的應用實踐能力考核——平時(30%)和期末筆試(70%)

平時：點名和作業，少一次扣3分，上限30分理論性強、實踐性與理論并重、內容廣、系統化和綜合性、涉及到多方面知識教學方式：課堂講授與上機實習;學習方法：預習、聽課、練習、思考、總結。

提問：數值分析是做什么用的？數學建模

構造算法程序設計上機計算求出結果實際問題近似解

數值分析計算機輸入復雜問題或運算第一章科學計算簡介Therearethreegreatbranchesofscience:theory,experimentandcomputation.Thefundamentallawofcomputerscience:Asmachinesbecomemorepowerful,theefficiencyofalgorithmsgrowsmoreimportant,notless.—L.N.Trefethen一、研究對象數值分析（NumericalAnalysis），也稱數值方法、計算方法或計算機數學，是計算數學的一個主要部分，計算數學是數學科學的一個分支，它研究用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其理論與軟件實現，是用公式表示數學問題以便可以利用算術和邏輯運算解決這些問題的技術。二、學科特點

算法能在計算機上實現，并有好的計算復雜性；

面向計算機，提供切實可行的有效算法；

有可靠理論，對算法進行誤差分析，并能達到精度要求；

通過數值實驗

證明算法行之有效；§1數值分析簡介三、學習理由1數值方法能夠極大地覆蓋所能解決的問題類型；2學習數值分析可以讓用戶更加智慧地使用“封裝過的”軟件；3很多問題不能直接用封裝的程序解決，如果熟悉數值方法并擅長計算機編程的話，就可以自己設計程序解決問題；4數值分析是學習使用計算機的有效載體，對于展示計算機的強大和不足是非常理想的；5數值分析提供了一個增強對數學理解的平臺.§2誤差一.來源與分類

從實際問題中抽象出數學模型——模型誤差

通過測量得到模型中參數的值——觀測誤差

求(數學表達的)近似解——方法誤差(截斷誤差)

模型的準確解與用數值方法求得的準確解之差稱為“截斷誤差”。

機器字長有限——舍入誤差簡化…實際算法:有限、四則運算化…（理論計算誤差）大家一起猜？11/e解：將作Taylor展開后再積分S4R4取則稱為截斷誤差|

舍入誤差

|=0.747……由截去部分引起由留下部分引起二、誤差的定義

絕對誤差其中x為精確值，x*為x的近似值。，例如：上常記為，稱為絕對誤差限，一般地，的上限記為

由于通常準確值x是不知道的，所以誤差e*

的準確值也不可能求出，但根據具體情況，可事先估計出誤差的范圍——誤差絕對值不能超過某個正數，我們把叫做誤差絕對值的“上界”，或稱“誤差限”。≤≤≤工程注：e*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負。e*>0時，x*稱為強近似值，e*<0時，x*稱為弱近似值e*>0不唯一，當然e*越小越具有參考價值。x的相對誤差限常定義為注：從的定義可見，實際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴格的說法是，與是否反映了同一數量級的誤差？關于此問題的詳細討論可見教材p5。實際計算中，相對誤差通常取為：相對誤差三、有效數字

若近似值x*的誤差限是某一位的半個單位,該位到x*

的第一位非零數字共有n位,就說x*有n位有效數字.例:問：有幾位有效數字？請證明你的結論。43注：0.2300有4位有效數字，而0.0023只有2位有效數字。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字。

數字末尾的0不可隨意省去！用科學計數法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規則），則有n位有效數字，精確到。注：關于有效數字有以下幾點說明：1、用四舍五入法取準確值的前n位作為近似值，則x*必有n位有效數字；2、有效數字位數相同的兩個近似數，絕對誤差限不一定相同；3、將任何數乘以10m(m為整數)，等于移動該數的小數點，并不影響它的有效數字的位數；4、準確值被認為具有無窮位有效數字.有效數字與相對誤差的關系

有效數字

相對誤差限已知x*有n位有效數字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數字。例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數字？解：假設*取到n

位有效數字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應取*=3.14159。§3

誤差的傳播一、誤差估計特別地，由上式可得和、差、積、商之誤差及相對誤差公式注：函數值的絕對誤差等于函數的全微分，自變量的微分即為自變量的誤差；函數值的相對誤差等于函數的對數的全微分。例.)871.030.1(~005.00022.00005.030.1871.0sin005.030.1871.0cos)~(sincos49543.030.1871.0cos)871.030.1(~

22能有二位有效數字，所以而，由于，解：fuuxyyfxyxffu=<?′+′?-=??-=???==e二、病態問題與條件數三、算法的數值穩定性(NumericalStability)例：蝴蝶效應

——青島的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的紐約就刮起臺風來了？！QFNY以上是一個病態問題關于本身是病態的問題，我們還是留給數學家去頭痛吧！例：計算

公式一:注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!發生了什麼?!考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩定的算法迅速積累,誤差呈遞增走勢.可見初始的小擾動

公式二:注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取

我們很幸運！考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩定的算法。

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩定性會是一個非常重要的話題。§4數值誤差控制1.避免相近二數相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數字。

幾種經驗性避免方法：當|x|<<1時：2.避免小分母:分母小會造成舍入誤差增大3.避免大數吃小數例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即1的指數部分須變為1010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數吃小數

x3.81574

y0.0001==38157.4

x3.81574

y+y0.0001+0.00001==34688.5算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094.先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。再如秦九韶算法補充材料

20世紀十大算法在世紀之交，經過科學家的評選和投票，20世紀的十大算法得到了國際學術界的公認。現在按照時間順序列于下。本課程將討論其中一部分。Monte-Ca