第3章計算機圖形處理基礎主要內容（共7節）：1、圖形處理的數學基礎（齊次坐標）2、二維圖形幾何變換（基本變換組合變換）3、三維圖形幾何變換（基本變換組合變換）（自學）4、圖形程序庫（設備驅動程序圖形程序庫）5、坐標系（各種坐標系）6、窗口與視區（窗口視區窗口－視區變換）7、圖形的裁減與消隱（裁減消隱）

計算機圖形處理技術——利用計算機通過算法和程序在顯示設備上構造出圖形的一種技術圖形處理技術在CAD技術中發揮著重要的作用，了解和掌握計算機圖形處理技術的一些基礎知識和相關的基本概念與術語，對掌握CAD技術和熟練使用CAD應用軟件是非常有益的計算機圖形系統的基本功能：計算、存儲、輸入、輸出、交互等圖形的基本處理流程：(1)利用圖形輸入設備將圖形輸入到計算機中；(2)對圖形進行各種變換（如幾何變換、投影變換）和運算（如圖形的并、交、差運算等）；(3)將圖形轉換成圖形輸出系統接受的表示形式輸出形體的集合運算復雜形體可通過簡單體素的集合運算（又稱布爾運算）和幾何變換構造而成集合運算提供基本體素的并、交、差運算并——A、B兩個體素之和交——A、B的公共部分差——從A體素中減去B體素（或由B體素中減去A體素）后的剩余部分體素間的并、交、差運算圖形從輸入到輸出貫穿著各種變換：圖形顯示過程——用戶需對圖形進行平移、放大、旋轉等基本的幾何變換操作。圖形的平移、放大、旋轉、縮放、鏡像、錯切等從數學上看都是幾何性質的“變換”，故又稱為圖形的幾何變換圖形的計算機二維屏幕顯示——需要利用投影變換繪圖過程——需要以窗口來選擇顯示的內容，用視區來規定在圖形屏幕上顯示的位置顯示在視區的圖形——需要經過裁剪、消除隱藏線、隱藏面等處理圖形的幾何變換計算機繪圖技術的數學基礎，不僅提供了產生某些圖形的可能而且還可以使繪圖程序簡單化。特別是圖形具有一定規律性，一個圖形可以由另一個圖形通過一定的變換來實現。目前，較為完善的繪圖軟件，都包含有關圖形幾何變換的一些功能從圖形類型分：二維平面圖形的幾何變換、三維立體的幾何變換以及三維立體向二維平面投影變換等從變換性質分：平移、變比例、旋轉、反射和錯切等基本變換，正投影變換、軸測投影變換和透視投影變換等復合變換3.1圖形處理的數學基礎主要內容：齊次坐標計算機繪圖是用形、數結合的方法，對所繪圖形建立數學模型。簡單地說，圖形就是點線的結合。圖形中每個點都有一個位置坐標，平面圖形中的點組成點集坐標矩陣，在一定的拓撲關系下對應某個圖形。因此，圖形的幾何變換可以通過與之對應的矩陣變換來實現

向量——幾何空間中兩點之間的一個有向線段在解析幾何中，點可用向量表示計算機圖形處理技術中通常將點看作一個位置向量（起點位于坐標原點）P1(x，y)P2(x，y)3.1.1向量運算3.1.2矩陣運算單行、單列的矩陣表示一個向量可將矩陣看作行向量或列向量的集合

三維空間一個點→位置向量→矩陣：3.1圖形處理的數學基礎P1(x，y，z)=[xyz]或P1(x，y，z)=用點的集合（點集）表示一個二維或三維圖形：3.1.3齊次坐標用一個n+1維向量表示一個n維向量

n維空間點的位置向量：用非齊次坐標表示時，具有n個坐標分量（P1，P2，……，Pn），且是唯一的用齊次坐標表示時，有n+1坐標分量（hP1，hP2，……，hPn，h），且不唯一。非齊次坐標與齊次坐標是一對多的關系，但不影響圖形的形狀3.1圖形處理的數學基礎

h稱為比例因子。一般取h=1，稱為正常化齊次坐標例1二維空間點[x

y]

齊次坐標：[hx

hy

h]

通常，在實際應用中取h=1，即用三維向量[x

y1]表示二維向量[x

y]，但[x

y1]可看作是z=1平面上的點，亦即圖形落于z=1平面上，但對圖形形狀沒有影響與此類似，三維空間點的齊次坐標表示為[x

y

z1]5.1圖形處理的數學基礎ABC(a)ABCD(b)例2圖形的點集表示二維圖形或三維立體圖，可用一個點集來表示，每個點對應一個行向量，則點集為n×3或n×4階的矩陣：3.1圖形處理的數學基礎采用齊次坐標的優點：⑴提供了用矩陣運算把二維、三維甚至更高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法例如：二維、三維齊次坐標變換矩陣的統一表示形式分別為3.1圖形處理的數學基礎⑵可以表示無窮遠點

n+1維空間中，h=0的齊次坐標實際上表示了一個n維的無窮遠點：二維的齊次坐標[a，b，h]，當h→0，表示ax+by=0的直線，即在y=-(a/b)x上的連續點（x，y）逐漸趨于無窮遠，但其斜率不變在三維情況下，利用齊次坐標表示視點在原點時的投影變換（三維物體→二維圖形表示），其幾何意義更加清晰3.1圖形處理的數學基礎

對于線框圖的變換，通常以點變換為基礎，把圖形的一系列頂點做幾何（圖形）變換后，連接新的頂點系列即可產生新的圖形也就是說，要對二維或三維圖形進行變換，只要將它們對應的矩陣S（點集）乘上一個變換矩陣T，生成的新矩陣就代表變換后的圖形，即S’＝S×T？3.2二維圖形幾何變換圖形系統實現各種編輯功能的數學基礎通過不同的變換矩陣可以實現圖形的平移、旋轉、比例、鏡射等操作主要內容：基本變換矩陣組合變換圖形變換可以看作：（1）坐標系不動而圖形變動，變動后的圖形在坐標系中的坐標值發生了變化（2）圖形不動而坐標系變動，變動后，該圖形在新坐標系下具有新的坐標值其中：產生比例、對稱、旋轉和錯切變換；產生平移變換；產生投影變換；為全比例因子，使圖形產生總體的比例變換，通常取S＝1二維齊次坐標變換矩陣：（1）平移變換（transfer）平移交換操作示意圖變換矩陣：——x方向位移量——y方向位移量t-transfer變換前坐標變換后坐標（2）錯切變換(shear)沿x軸方向的錯切：沿y軸方向的錯切：c=tanαb=tanβ（3）比例變換（scale）基點為原點的比例變換矩陣：——沿x、y方向的比例因子比例變換討論：

(1)a=d=1時圖形不變

(2)a=d>1時圖形沿兩軸方向等比例放大

(3)a=d<1時圖形沿兩軸方向等比例縮小

(4)a<>d時圖形沿兩軸方向作非均勻比例變換BACB’A’C’XYa＝1，d>1A=d=1基點為（，）比例變換矩陣：比例變換變換過程：1、圖形平移，dx=－X0，dy=－Y0，比例變換基點由(X0,Y0)變為原點；2、基于原點的比例變換；3、圖形平移，dx=X0，dy=Y0123？采用坐標系平移時的變換過程？（4）旋轉變換rotate繞原點旋轉的變換矩陣：——旋轉角，逆時針為正繞任意點（，）旋轉的變換矩陣：

旋轉變換變換過程：1、圖形平移，dx=－X0，dy=－Y0，旋轉變換基點由(X0,Y0)變為原點；2、基于原點的旋轉變換；3、圖形平移，dx=X0，dy=Y0。123（5）鏡射交換（symmetry）——對稱變換鏡射變換（，）——鏡射線上一點的坐標變換過程：1、圖形平移，dx=－X0，dy=－Y0，鏡射線通過原點；2、旋轉鏡射線，與X軸重合；3、圖形進行X軸對稱變換；4、反方向旋轉鏡射線；5、圖形平移，dx=X0，dy=Y0。鏡射變換過程12345（，）——鏡射線上一點的坐標——鏡射線的傾斜角，00~1800

，k=tanα變換矩陣如下：1平移2旋轉（順時針）3X軸對稱變換4旋轉5對x軸的對稱變換：00（0，0）對y軸的對稱變換：900（0，0）

對原點的對稱變換：（比例變換取＝－1）對±450的對稱變換：+450：450（0，0）

-450：1350（0，0）

3.3三維圖形幾何變換（自學）

三維空間中，用四維齊次坐標表示三維點，即[xyz1]

三維變換矩陣則采用4×4階矩陣表示，變換矩陣的一般表示為：其中：產生比例、對稱、旋轉和錯切變換；產生平移變換；產生投影變換；為全比例因子，使圖形產生總體的比例變換，通常取S＝1主要內容：基本變換矩陣組合變換3.3.1三維基本變換包括比例變換、對稱變換、平移變換和旋轉變換

基點為原點的比例變換：a、e、j——x、y、z方向比例因子對稱變換：⑴相對于xoy平面xyzo⑵相對于xoz平面⑶相對于yoz平面平移變換：l、m、n——x、y、z方向位移量xyzo旋轉變換——繞坐標軸或任意軸旋轉規定：右手坐標系下，幾何形體繞某坐標軸逆時針旋轉時，旋轉角度為正

⑴繞x軸旋轉α角⑵繞y軸旋轉β角⑶繞z軸旋轉γ角xyzo3.4圖形程序庫圖形處理是CAD系統所具有的基本功能通用圖形處理軟件一般由設備驅動程序和圖形程序庫兩部分組成采用各種高級語言開發的CAD應用程序，通過直接使用設備驅動程序或使用構建在設備驅動程序之上的圖形程序庫來控制圖形的顯示處理

3.4.1

設備驅動程序設備驅動程序是一系列與設備相關的代碼直接控制圖形設備的顯示處理單元（圖形適配卡或顯卡）設備驅動程序是與設備相關的，由各個圖形設備廠家用低級語言（或專用語言）編寫并固化于顯示處理單元中一臺圖形設備的顯示處理單元由一個特定的設備驅動程序驅動主要內容：設備驅動程序、圖形程序庫

直接用設備驅動程序代碼編寫圖形程序的缺點：（1）圖形設備不同，圖形處理程序所使用的設備驅動程序命令也不同，從而造成圖形程序的可移植性差（2）由于圖形處理程序是用低級語言編寫的，程序編寫工作大，且程序的可讀性差直接用設備驅動程序命令編寫圖形處理程序的結構框圖如下圖所示應用程序設備驅動程序輸入/輸出設備為圖形設備加裝一個通用的、與設備無關的圖形程序庫3.4.2圖形程序庫（GraphicLibrary）一種到圖形硬件的軟件接口一種過程性的圖形API（ApplicationProgrammingInterface，應用程序接口）實際上是一系列圖形處理子程序，且每個子程序都具有特定的用途，如某個子程序可以繪直線，另一個子程序可以繪圓等構建在設備驅動程序之上，如下圖所示應用程序設備驅動程序輸入/輸出設備圖形程序庫圖形程序庫中的每個子程序都采用支持它的設備驅動程序命令創建。例如，一個繪圓子程序可以由一系列繪制短直線的設備驅動命令組成

流行的圖形設備廠家的設備驅動程序一般都支持標準及流行的圖形程序庫圖形程序庫中子程序的使用與傳統編程中數學函數庫的使用方式相類似，即由主程序調用所需子程序構造一個統一、標準、能驅動所有圖形設備（或被各圖形設備廠家的設備驅動程序所支持）的圖形程序庫，可大大加強圖形程序的與設備無關性和可移植性

ACM（AssociationforComputingMachinery，美國計算機協會）的SIGGRAPH（SpecialInterestGrouponComputerGraphics，計算機圖形工作組）提出了CORE圖形系統（CoreGraphicsSystem，核心圖形系統）國際標準化組織（ISO）開發出了GKS（GraphicsKernelSystem，圖形核心系統）

CORE、GKS的不足——未考慮動態顯示和通用用戶交互

ISO又推出PHIGS（程序員層次交互式圖形系統）隨后成為工作站的標準圖形程序庫

PHIGS后又被X窗口系統拓展為PEX（即PHIGSExtensiontoX的簡稱）用PEX編寫的程序可在網絡環境下被不同型號的工作站使用

OpenGL是近幾年發展起來的性能卓越的三維圖形標準已成為高性能圖形和交互式視景處理的工業標準3.5坐標系計算機在處理圖形信息時，幾何圖形的定義和圖形的輸入/輸出都是在一定的坐標系下進行的圖形在輸入/輸出的不同階段需要采用不同的坐標系，以方便設計人員的理解和操作，提高圖形處理效率

3.5.1設備坐標系（DeviceCoordinateSystem，DCS）用于在圖形顯示設備上定義圖形或窗口的位置通常由沿水平方向的x軸和沿垂直方向的y軸組成，其坐標原點可以任意選擇圖形顯示是將真實圖形投影于顯示屏幕上，故設備坐標系的z軸垂直于坐標系的xoy平面主要內容：設備坐標系虛擬設備坐標系世界坐標系造型坐標系觀察坐標系坐標變換設備坐標系也是定義像素和位圖的坐標系對于相同的圖形信息，當采用設備坐標系編寫圖形程序時，由于坐標系的原點位置、X和Y坐標軸方向以及圖形窗口的顯示范圍不同，在不同顯示設備上顯示出的圖形是不同的

3.5.2

虛擬設備坐標系（

VirtualDeviceCoordinateSystem，VDCS）

避免由于設備坐標系與設備的相關性影響應用程序的可移植性，在編寫圖形程序時，應采用虛擬設備坐標系

虛擬設備坐標系的原點通常位于顯示器的左下角，其X、Y軸的正方向分別指向右方和上方，且取值范圍均為0～1

用虛擬設備坐標系定義的點，在不同的圖形設備上占據相同的位置而與設備無關，編寫圖形程序時也不必考慮某個特定的設備坐標系XY011當圖形程序在某臺圖形設備上運行時，圖形程序將虛擬設備坐標發送給設備驅動程序，由該程序將虛擬設備坐標轉換成與該設備一致的設備坐標系虛擬設備坐標系也稱之為規格化的設備坐標系（normalizedDeviceCoordinateSystem，NDCS），主要用于定義視圖區

3.5.3

世界坐標系、造型坐標系和觀察坐標系設備坐標系和虛擬設備坐標系提供了在二維顯示屏幕上定義幾何圖形的坐標系三維空間中定義幾何形體時可采用3種坐標系：世界坐標系、造型坐標系和觀察坐標系

1、世界坐標系（

WorldCoordinateSystem，WCS）用于描述現實世界的整體布局，即何種類型的對象存在于我們所描述的世界之中及其如何定位

2、造型坐標系（ModelingCoordinateSystem，MCS）用于描述世界坐標系中每個具體物體的形狀，每個物體均由其自身的造型坐標系定義。當物體的空間位置發生變化時，由造型坐標系定義的物體上各點的坐標值不變。造型坐標系與世界坐標系是整體與局部的關系在許多CAD系統中，用造型坐標系定義基本圖形元素，如圓柱體、球體等。這些基本圖形元素被調用后，應用相關的變換矩陣將其置于世界坐標系的指定位置造型坐標系又稱為局部坐標系，而世界坐標系又稱為整體坐標系？“世界坐標系”、“造型坐標系”與通用繪圖軟件中“用戶坐標系”（UCS）的區別？常見體素（底面兩角點，高度）（底面中心點，半徑，高度）xyz（中心，半徑R2，圓管半徑R）（中心，半徑）（底面兩角點，高度）xyz

3、觀察坐標系如同將現實世界的景物投影到人的視網膜上一樣，為了將三維物體投影到顯示屏幕（或觀察平面）上，需要建立觀察坐標系（ViewCoordinateSystem，VCS）

透視投影

平行投影圖中的xvyvzv坐標系即為觀察坐標系

3.5.4坐標變換不同的坐標系之間通過變換矩陣建立聯系每個造型坐標系的位置和方位可通過變換矩陣由世界坐標系確定

觀察坐標系也可通過世界坐標系定義的一系列數據由與世界坐標系相關的變換矩陣確定，如圖所示為在圖形顯示設備上顯示和觀察所構造的幾何圖形，通常需要進行坐標變換（三維圖形）：首先通過定義世界坐標系和造型坐標系之間相對移動和旋轉的變換矩陣，將造型坐標系下的坐標數據變換為世界坐標系下的坐標數據，該變換稱之為造型變換

其次通過用世界坐標系和觀察坐標系間的變換矩陣，將圖形的世界坐標變換為觀察坐標，該變換稱之為觀察變換

然后通過投影變換將觀察坐標變換為虛擬設備坐標（或規格化的設備坐標），即投影變換。

最后由設備驅動程序將虛擬設備坐標（或規格化的設備坐標）轉換成設備坐標，將圖形顯示在特定的圖形設備上坐標變換通常在圖形程序庫內部完成，應用圖形程序編程人員僅需指明每個變換所必需的信息即可

例為造型變換定義幾何形體按其分布位置所需的平移或旋轉量為投影變換定義投影類型、投影中心位置以及投影屏幕（或投影表面）等

然而，在圖形程序的底層，還需要編程人員為所有這些變換編寫相關代碼3.6窗口與視區“窗口”和“視區”是計算機圖形處理中常用的圖形處理技術，通過窗口操作可將窗口中選定的圖形輸出到視區中，供用戶觀察和進行各種操作

3.6.1窗口工程設計中，為詳細表達圖形的某一部分，而將該部分單獨放大畫出，即所謂的局部視圖

計算機圖形學中，采用窗口技術可將指定的局部圖形從整體中分離出來，并顯示于視區之中，即通過窗口操作觀察感興趣的圖形部分窗口技術應用的典型示例是在各種CAD系統中經常用到的框選放大操作主要內容：窗口視區窗口－視區變換例：人坐在房間里通過窗戶觀察外面的世界，此時所能看到的只是無限世界的一小部分，其余均被窗戶周圍的墻壁所遮擋。在這里，窗戶就是一個窗口窗口是在世界坐標系中定義的、確定顯示內容的一個矩形區域只有在這個區域內的圖形才能在設備坐標系下顯示輸出，而窗口外的部分則被裁剪掉窗口的大小與位置通過矩形左下角和右上角的坐標來定義

3.6.2

視區

視區是在設備坐標系（通常為顯示器的顯示屏幕）中定義的一個用于輸出窗口中的圖形的矩形區域，決定了窗口中的圖形要顯示于屏幕上的位置和大小任何小于或等于屏幕域的區域都可以稱之為視區在同一屏幕上可定義多個視區，以顯示不同的圖形信息或用作各種交互處理的功能選項及信息提示處理也可將視區再劃分成多個子視區，用于表示零件的不同投影顯示，并在需要時進行主、子視區的狀態轉換，如圖5-8所示3.6.3

窗口－視區變換窗口和視區是在不同的坐標系下定義的要將窗口中的圖形信息傳送到視區來輸出顯示，須把世界坐標系中定義的坐標值轉化為設備坐標系下的坐標值——窗口－視區變換假設世界坐標系下窗口大小為：設備坐標系下視區大小為：設（，），（，），（，）分別為某點在世界坐標系、屏幕坐標系、設備坐標系下的坐標值W-worldV-viewingscreenP-plantt-topb-bottoml-leftr-right坐標變換公式如下：比例因子寬：高：求Xv：求Yv：一般由用戶定義的圖形從窗口區到視區的輸出過程：為保證經過窗口一視區變換后的圖形在視區中不產生出失真現象，在定義窗口和視區時要求窗口和視區的高度與寬度之間的比例相同用戶在開辟某些子窗口時是任意的，一些CAD應用軟件常采用一種變通的方法，即根據用戶所開子窗口的大小，視需要以某個方向上的比例（高度或寬度）為默認比例，另一方向自動采用與此相同的比例，以保證圖形的正常顯示3.7圖形的裁剪與消隱圖形的裁剪：為了得到所需要的局部圖形消隱：用于實現三維圖形的真實感顯示以及消除圖形顯示的二義性3.7.1

圖形的裁剪