指數、對數

指數函數、對數函數太和二中高一2班【復習引入】

⑴在初中,我們學習過的整數指數冪是怎樣定義的？即an=?a0=?a-n=?

a0=

an=1a-n=(a≠0,n∈N*).（a≠0）(n∈N*)答：零的零次冪沒有意義零的負整數次冪沒有意義

(2)整數指數冪的運算性質是：

①am·an=am+n(m,n∈Z)

②(am)n=amn(m,n∈Z)；

③(ab)n=an

bn(n∈Z).注意：

①--③都要遵守零指數冪、負整數指數冪的底數不能等于0的規定.【練一練】1.回答下列各題（口答）：①a2·a3=②(b4)2=③(m·

n)3=.a5b8m3×n31.如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的

；2.如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的

.

一般地，如果一個數的n（n>1,n∈N*）次方等于a，那么這個數又叫做什么呢？

叫做a的n次方根平方根立方根平方根立方根例如，若32=9，則3是9的

；若53=125，則5是125的

.答：【想一想】1.根式的概念

一般地，如果一個數的n次方（n>1,n∈N*）等于a，那么這個數叫做a的n次方根.式子叫做根式，其中

n叫做根指數，a叫做被開方數

注意：若xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N*.也就是說：當n是奇數時，實數a的n次方根用符號表示；當n是偶數時，正數a的n次方根用符號±表示.

【練一練】1、填空：

(1)27的3次方根表示為

，(2)－32的5次方根表示為

,

(3)a6的3次方根表示為

；(4)16的4次方根表示為

，概念的理解（1）、25的平方根是________（2）、27的立方根是________（3）、--32的五次方根是_____（4）、16的四次方根是_______（5）、a6的三次方根是________（6）、0的七次方根是_______⒉方根的性質奇次方根的性質：

在實數范圍內，正數的奇次方根是一個正數；負數的奇次方根是一個負數.

偶次方根的性質：

在實數范圍內，正數的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數；負數的偶次方根沒有意義.

0的任何次方根都是0，記作=0.

例1、求下列各式的值問題：（1）、的含義是什么？結果呢？（2）、的含義是什么？結果呢？三、根式的運算性質：用語言敘述上面三個公式：⑴非負實數a的n次方根的n次冪是它本身.⑵n為奇數時，實數a的n次冪的n次方根是a本身；n為偶數時，實數a的n次冪的n次方根是a的絕對值.⑶若一個根式(算術根)的被開方數是一個非負實數的冪，那么這個根式的根指數和被開方數的指數都乘以或者除以同一個正整數，根式的值不變.()3=，()5=,()2=43

|-3|=3-2

2

27-32【課堂練習】1、下列根式的值為：2、求下列各式的值：|-10|

＝10|3-|=-3|a-b|=a-b(a>b)解：3.化簡下列各式：⑴⑵⑶⑷⑸

－294.計算解：當n是奇數時，原式=（a-b）+（a+b）=2a.當n是偶數時,原式=所以,n是奇數n是偶數5。化簡6。求值⑴.當n為任意正整數時，()n=a;⑵.當n為奇數時，=a；

當n為偶數時，=|a|=;⑶.（a≥0）.

【小結】作業：2：已知:3a=2，3b=5.則32a-b=_____1：3：化簡：4：求的值§3.3.2指數函數規定正數的正分數指數冪的意義：規定正數的負分數指數冪的意義：0的正數次冪等于0，0的負數次冪無意義，0的0次冪無意義。①am·an=am+n(a>0,m,n∈R)；②(am)n=amn

(a>0,m,n∈R)；③(ab)n=anbn(a>0,b>0,n∈R);④am÷an=am-n(a>0,m,n∈R)；⑤(a/b)n=an/bn(a>0,b>0,且n∈R).性質：題型一將根式轉化分數指數冪的形式。（a>0,b>0)1，當有多重根式是，要由里向外層層轉化。

2、對于有分母的，可以先把分母寫成負指數冪。3、要熟悉運算性質。題型二分數指數冪求值，

關鍵先求a的n次方根題型三分數指數冪的運算1、系數先放在起運算。2、同底數冪進行運算，乘的指數相加，除的指數相減。2.100例4計算例5計算題型四根式運算，先把每個根式用分數指數冪表示；題目便轉化為分數指數冪的運算。注意：結果可以用根式表示，也可以用分數指數冪表示。但同一結果中不能既有根式又有分數指數冪，并且分母中不能含有負分數指數冪。例1：化簡2。1。例2：化簡1。2。計算1。2。題型五利用代數公式進行化簡：例1：化簡例2：237183、化簡：解：原式=4、已知x

－3+1=a，求a2

－2ax

－3+x

－6

的值。解法一：a2－2ax－3+x－6

=(x－3+1)2－2(x－3+1)x－3+x－6=x－6+2x－3+1－2x－6－2x－3+x－6=1解法二：由x

－3+1=a得x－3=a－1x－6=(x－3)2=(a－1)2故原式=1由題a－x

－3=1原式=(a－x

－3)2解法3：=1=a2－2a2+2a+a2－2a+1=a2－2a(a－1)+(a－1)2

a2－2ax－3+x－6

學生練習：化簡與求值：（1）（2）(a2

－2+a

－2)÷(a2

－a

－2)（3）已知，求的值題型六分數指數冪或根式中x的定義域問題。例：求下列各式中x的范圍測試題

1.

已知那么x等于

（A）8（B）（C）（D）2.對任意實數a,下列等式正確的是（A）（B）（C）（D）

3.6.已知,其中a>0，,將下列各式分別用u表示出來：（1）（2）5.4.9.設求的值

10.

已知且a>0，

求的值．

7.8.11.12.對數學習目標什么是對數?學會指數和對數互化.對數的公式有那些?利用對數的公式計算引例:假設1995年我國的國民生產總值為1億元，如每年平均增長8%，那么經過多少年國民生產總值是1995年的2倍？對數的概念:一般地，如果a（a>0且a1）的b次冪等于N,

就是ab=N，那么數b叫做a為底N的對數，記作logaN=b，a叫做對數的底數，N叫做真數。ab=N底數:a>0且a1冪:N>0指數:bRlogaN=b底數:a>0且a1真數:N>0對數性質:(1)負數與零沒有對數;(2)1的對數是0;即loga1=0(3)底數的對數是1,即logaa=1(4)兩個特殊對數：

以無理數e（e=2.71828‥‥‥)為底的對數叫做自然對數，N的自然對數記作lnN.以10為底的對數叫做常用對數，即N的常用對數記作lgN；指數式與對數式的互化:例1:將下列指數式寫成對數式：

（1）54=625（2）；（3）3a=27；（4）

．例2．將下列對數式寫成指數式：（1）；

（2）；

（3）；（4）

例3:求下列各式的值:(1)log749=____(2)lg100=________(3)log0.351=____(4)(5)log=________(6)lne=_______(8)(9)log2(sin300)=_______積、商、冪的對數運算法則：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：證明：①設由對數的定義可以得：∴MN=即證得上述證明是運用轉化的思想，先通過假設，將對數式化成指數式，并利用冪的運算性質進行恒等變形；然后再根據對數定義將指數式化成對數式。①簡易語言表達：“積的對數=對數的和”……②有時逆向運用公式③真數的取值范圍必須是④對公式容易錯誤記憶，要特別注意：其他重要公式1:證明：設由對數的定義可以得：∴即證得其他重要公式2:證明：設由對數的定義可以得：即證得這個公式叫做換底公式其他重要公式3:證明:由換底公式取以b為底的對數得：還可以變形,得例4

計算（1）（2）講解范例

解

:=5+14=19解

:講解范例

（3）解

:=3例5

講解范例

解（1）解（2）

用表示下列各式：（1）例6計算：講解范例

解法一：解法二：（2）例3計算：講解范例

解：練習

（1）（4）（3）（2）求下列各式的值：對數定義：一般地，如果a（a>0且a1）的b次冪等于N,

就是ab=N，那么數b叫做a為底N的對數，記作logaN=b，a叫做對數的底數，N叫做真數。性質:(1)負數與零沒有對數;(2)1的對數是0;即loga1=0(3)底數的對數是1,即logaa=1(4)小結:積、商、冪的對數運算法則：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：其他重要公式:預習提綱對數函數?對數函數的圖象?對數函數的性質?

對數函數一定義：函數y=logax(a>0,a≠,定義域是(0,+，叫對數函數。判斷：以下函數是對數函數的是（）Ay=log2(3x-2)By=log(x-1)xCy=log1/3x2Dy=lnx二.對數函數的圖象:1.描點畫圖.的變量x,y的對應值對調即可得到y=logax(0<a≠1)的變量對應值表.注意只要把指數函數y=ax(0<a≠1)xY=log2x……1/81/41/21248……-3-2-10123xY=log1/2x…………-31/81/41/21248-2-10123xY=log10x…………0.10.3211.785.6210-1-1/201/41/21xyo12345678123-1-2-3Y=log2x-1112345678910xyY=log10x-1112345678910xyxyo12345678123-1-2-3Y=log1/2x因為指數函數y=ax(0<a≠1)與對數函數2.利用對稱性畫圖.y=logax(0<a≠1)的圖象關于直線y=x對稱.

XYO112233445567Y=log2xY=XY=2x-1-1-2●●●●●●●●●●OXY123456789123-1-2-3Y=log2xY=lgxY=log1/2x三.對數函數的性質:觀察圖象,總結性質.a>10<a<1圖象性質x>0x=1時,y=0x>1時,y>00<x<1時,y<00<x<1時,y>0x>1時,y<0在(0,+上是增函數在(0,+上是減函數x1YOY=logaxxYO1Y=logax其它性質：（1）隨著底數a的增大，圖象在同一象限內的位置按順時針轉。（2）y=logax與y=log1/ax的圖象關于x軸對稱。（3）對數函數是非奇非偶函數。

例一:求下列函數的定義域:(1)y=logax2(2)y=loga(4-x)解:(1)因為x2>0,所以x≠,即函數y=logax2的定義域為-(0,+

(2)因為4-x>0,所以x<4,即函數y=loga(4-x)的定義域為(-4)

(3)y=log(x-1)(3-x)(4)y=log0.5(4x-3)(3)因為3-x>0x-1>0x-1≠所以1<x<3,x≠2即函數y=log(x-1)(3-x)的定義域為(1,2)(4)因為4x-3>0log0.5(4x-3)0x>3/44x-3≤定義域為(3/4,1]例2:比較下列各組中兩個值的大小:

(1)log23,log23.5(2)log0.71.6,logo.71.8解:(1)考察對數函數y=log2x,因為2>1,3<3.5所以log23<log23.5(2)考察對數函數y=log0.7x,因為0.7<1,1.6<1.8所以

log0.71.6>log0.71.8思考題比較大小:(1)log35和log45

(2)log35和log0.50.6

小結

(2)對數函數的圖象和性質.(3)性質的應用.(1)對數函數的定義.注意（2）看見函數式想圖象，結合圖象記性質。(1)類比記憶指數函數和對數函數。

1.

反函數定義域

A值域

C定義域

C值域

A確定唯一確定唯一yxyx方法：反解

逆運算反函數概念2.求反函數反函數概念2.求反函數交換

x，y.復習91

2.

互為反函數的函數圖象間的關系xy0y=xy=2x+1函數y=f(x)的圖象與它的反函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱若函數y=f(x)的圖象上有點（a,b),則反函數y=f-1(x)的圖象上必然有點（b,a)

·(a,b)·(b,a)復習?互為反函數的圖象關于什么對稱？?互為反函數的圖象上，對稱點的坐標有什么關系？提供了畫反函數圖象的一種方法。92

3.

指數式與對數式的關系底數底數指數對數冪真數可互化

b叫以a為底N的對數簡記復習93指數式與對數式的互換例如復習94

1.

指數函數的反函數是什么？定義域是（-∞，+∞）值域是（0,+∞)