..控制系統計算機輔助設計實驗報告____學院：自動化學院專業：自動化2013-11實驗一一、實驗要求：1、用matlab語言求下列系統的狀態方程、傳遞函數、零極點增益、和部分分式形式的模型參數,并分別寫出其相應的數學模型表達式：<1><2>2、用歐拉法求下面系統的輸出響應y<t>在0≤t≤1上,h=0.1時的數值。y'=-y,y<0>=1要求保留4位小數,并將結果與真解y<t>=e-t比較。3、用二階龍格庫塔法求解2的數值解,并于歐拉法求得的結果比較。二、實驗步驟：1、求〔1的M文件如下：clear;num=[172424];den=[110355024];sys=tf<num,den>[A,B,C,D]=tf2ss<num,den>[Z,P,K]=tf2zp<num,den>[R,P,H]=residue<num,den>1.1系統系數矩陣A,系統輸入矩陣B,系統輸出矩陣C,直接傳輸矩陣D分別為:所以系統的狀態方程為:x<t>=Ax〔t+Bu〔t；y〔t=Cx〔t1.2零極點增益模型：G〔s=[〔s+2.7306-2.8531i〔s+2.7306+2.8531i〔s+1.5388]/[〔s+4〔s+3〔s+2〔s+1]1.3系統零點向量Z,極點向量P,系數H分別為：部分分式形式：G<s>=4/〔s+4-6/〔s+3+2/〔s+2+1/〔s+12.求〔2的M文件如下：clear;a=[2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75];b=[4;2;2;0];c=[0,2,0,2];d=0;sys=ss<a,b,c,d>[num,den]=ss2tf<a,b,c,d>[Z,P,K]=ss2zp<a,b,c,d>[R,P,H]=residue<num,den>2.1傳遞函數模型參數：G<S>=<4s^3+14s^2+22s+15>/<s^4+4s^3+6.25s^2+5.25s+2.25>2.2系統零點向量Z,極點向量P,系數K分別為：零極點增益模型參數：G<s>=[4〔s+1-1.2247i〔s+1+1.2247i]/[<><s+0.5+0.866is+1.5>]2.3部分分式形式的模型參數：：G〔s=4/〔s+1.5-2.3094i/<s+0.5-0.866i>+2.3094i/<s+0.5+0.866i>3原理：把f<t,y>在[tk,yk]區間內的曲邊面積用矩形面積近似代替M文件如下：cleary=1;h=0.1;j=0;fori=1:11j=j+1;a<j>=yy=y+h*<-y>;endj=0;fori=0:0.1:1f=exp<-i>;j=j+1;b<j>=f;endfigure<1>x=0:0.1:1;abplot<x,a,'y-*'>holdonplot<x,b,'--ro'>得到圖形：使用歐拉法得到的結果和真值對比：歐拉10.90000.81000.72900.65610.59050.53140.47830.43050.38740.3487真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679誤差0-0.0048-0.0007-0.0118-0.0142-0.0160-0.0174-0.0183-0.0188-0.0192-0.0192顯然誤差與h2為同階無窮小,歐拉法具有一階計算精度,精度較低,但算法簡單。4.原理：把f<t,y>在[tk,yk]區間內的曲邊面積用上下底為fk和fk+1、高為h的梯形面積近似代替。M文件如下：clear;y=1;h=0.1;j=0;fori=1:11j=j+1;a<j>=yk1=-y;k2=-<y+0.5*h*k1>;y=y+h*k2;endj=0;fori=0:0.1:1f=exp<-i>;j=j+1;b<j>=f;endfigure<2>x=0:0.1:1;abplot<x,a,'y-*'>holdonplot<x,b,'--ro'>得到圖形：比較歐拉法與二階龍格-庫塔法求解.真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679龍庫10.90500.81900.74120.67080.60710.54940.49720.45000.40720.3685誤差00.00020.00030.00040.00050.00060.00060.00060.00070.00060.0006明顯誤差為h3得同階無窮小,具有二階計算精度,而歐拉法具有以階計算精度,二階龍格-庫塔法比歐拉法計算精度高。三、實驗總結：此次實驗只要平時上課認真聽過課,參考課件和書本便能順利完成實驗。由此實驗也可以總結出很多問題都會有多種解法,我們要通過實踐總結出最佳解法。實驗二實驗內容：用四階龍格-庫塔法求解題2-3數值解,并與前兩題結果相比較。已知二階系統狀態方程為寫出取計算步長為h時,該系統狀態變量的四階龍格-庫塔法遞推關系式。令上式中u〔t=0,用試探法選取參數帶入〔a所得公式,給出仿真圖形。要求選取兩組參數,一組使系統穩定,一組使系統發散。〔注：系統穩定從仿真圖形上看,可視為系統的狀態曲線x〔t趨于一定的值,發散可視為系統的狀態曲線x〔t趨于無窮,當時間t趨于無窮時。實驗步驟：1．求四階龍格-庫塔方法求解函數數值解：M文件：clear;y=1;h=0.1;j=0;fori=1:11j=j+1;a<j>=yk1=-y;k2=-<y+0.5*h*k1>;k3=-<y+0.5*h*k2>;k4=-<y+h*k3>;y=y+h/6*<k1+2*k2+2*k3+k4>;endj=0;fori=0:0.1:1f=exp<-i>;j=j+1;b<j>=f;endfigure<3>x=0:0.1:1;abplot<x,a,'y-*'>holdonplot<x,b,'--ro'>得到圖形：對于四階龍格-庫塔方法：真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679龍庫10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679誤差00000000000四階龍格-庫塔法得到的結果與真值完全重合,所以四階龍格庫塔法求解精度高于二階龍格庫塔法,二階龍格庫塔法求解精度高于歐拉法。2當u〔t=0時：M源程序：clear;h=0.1;i=1;j=1;x=[2;1];A=[-1,0;2,-2]fort=0:h:10disp<x>;k1=A*x;k2=A*<x+k1*h/2>;k3=A*<x+k2*h/2>;k4=A*<x+k3*h>;M<i>=x<1,:>;T<i>=x<2,:>;i=i+1j=j+1m=xx=m+h/6*<k1+2*k2+3*k3+k4>;endeig<A>x=0:h:10;plot<x,M>holdonplot<x,T>得到結果：特征根ans=-3.5616,0.5616圖像：將A改為[-1,0;2,-2]得到：特征根ans=-2,-1圖形為：實驗總結：此次實驗需要耐心調整矩陣A的值,并且h需要設置合適的大小,才能保證圖形的圓滑。實驗三實驗內容：1、針對2-6中問題〔b,對所選取的使系統發散的一組參數,設置控制u〔t=Kx〔t使系統穩定,其中K可以設計為一個常數〔一般而言是個負數或者為一個2*2的矩陣〔一般而言其特征值均為負。2、將上述控制系統在Matlab/Simulink平臺上進行仿真,并選取不同的仿真算法,比較所得的結果。〔注：這里的不同仿真算法是指,在Simulink仿真參數配置對話框中分別選取：定步長和變步長進行仿真,在定步長中又可以分為歐拉法,或其他,變步長中也可以選擇其他算法,并比較不同的仿真算法對仿真結果的影響。二、實驗步驟：。在Simulink下建立系統框圖如下：X[2；1]；A[-1,2；2,-2]；B[1；1]；K=[-1,-1]在Simulink仿真參數配置對話框中分別選取不同算法：定步長的Euler法、Runge-Kutta法；變步長的Adams法、Bogacki-Shampine法、Dormand-Prince法。其中定步長時步長為0.2。變步長模式可以在仿真的過程中改變步長,提供誤差控制和過零檢測。固定步長模式在仿真過程中提供固定的步長,不提供誤差控制和過零檢測。1．1定步長Euler法如圖：1．2定步長Runge-Kutta法：對于定步長分析可知,定步長Runge-Kutta的圖形比較理想,曲線比較平滑。2.1變步長