第四章系統的瞬態響應與誤差分析一、典型輸入信號二、一階系統的時間響應三、二階系統的時間響應※四、高階系統的時間響應五、誤差分析和計算六、穩定性分析

本章主要內容重點：二階系統的時域響應及其性能指標。難點：二階系統時域響應的數學表達式。教學目的：1.掌握一階、二階系統在典型輸入信號作用下的時域響應和時域性能指標。2.了解高階系統時域響應的特點。3.掌握系統誤差的概念和計算穩態誤差的方法。4.掌握系統穩定的概念和分析、判別系統穩定的方法。時間響應

任一系統的時間響應都是由瞬態響應或穩態響應兩部分組成。

瞬態響應：系統受到外加作用力激勵后，從初始狀態到最終狀態的響應過程。

穩態響應：時間趨于無窮大時，系統的輸出狀態。

瞬態響應反映了系統動態性能，而穩態響應偏離系統希望值的程度可用來衡量系統的精確程度。§4.1

典型輸入信號

在時間域進行分析時，為了比較不同系統的控制性能，需要規定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統的典型輸入信號。

時域分析的目的

在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統的控制性能。優點：直觀、簡便

一、典型輸入信號二、對典型輸入信號的要求能夠反映系統工作在最不利的情形；形式簡單，便于解析分析；實際中可以實現或近似實現。

常用的典型輸入信號的數學表達Asint

正弦信號

1(t)，t=0單位脈沖信號

單位加速度信號

t，

t0單位速度(斜坡)信號

1(t)，t0單位階躍信號

復數域表達式

時域表達式

名

稱

保證典型輸入信號與實際輸入信號有著良好的對應關系，且代表最惡劣的輸入情況，因此，當系統的設計基于典型信號來進行時，那么在實際輸入的情況下，系統響應特性一般是能夠滿足要求的。

注意：對于同一系統，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統本身的性能不會改變。三、典型輸入信號的選擇原則脈沖信號：模擬系統突遭脈動電壓、機械碰撞、敲打沖擊等；階躍信號：實際系統的輸入具有突變性質，例：模擬電源突然接通、負荷突然變化、指令突然轉換等；速度信號：實際系統的輸入隨時間逐漸變化（勻速變化）。§4.2

一階系統的時間響應一階系統：一、一階系統的單位階躍響應極點（特征根）：-1/T凡是能夠用一階微分方程描述的系統。典型形式：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T一階系統單位階躍響應的特點

響應分為兩部分

表示系統輸出量從初態到終態的變化過程（動態/過渡過程）

表示t時，系統的輸出狀態。

xo(0)=0，xo()=1無穩態誤差；隨時間的推移，xo(t)

指數增大，且無振蕩。

xo(T)=1-e-1=0.632，即經過時間T，系統響應達到其穩態輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環節的時間常數T；

時間常數T反映了系統響應的快慢。通常工程中當響應曲線達到并保持在穩態值的95%～98%時，認為系統響應過程基本結束。從而慣性環節的過渡過程時間為3T~4T。tln[1-xo(t)]0將一階系統的單位階躍響應式改寫為：即ln[1-xo(t)]與時間t成線性關系。

該性質可用于判別系統是否為慣性環節，以及測量慣性環節的時間常數。二、一階系統的單位速度響應一階系統單位速度響應的特點

經過足夠長的時間(穩態時，如：t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

系統響應誤差為：三、一階系統的單位脈沖響應0一階系統單位脈沖響應的特點

瞬態響應：(1/T)e–t/T；穩態響應：0；

xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數衰減；對于實際系統，通常應用具有較小脈沖寬

度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈

沖代替理想脈沖信號。

一階系統的時間響應1.單位階躍響應2.單位速度響應3.單位脈沖響應時間響應：系統在典型輸入信號的作用下之輸出。四、線性定常系統時間響應的性質

系統時域響應通常由穩態分量和瞬態分量共同組成，前者反映系統的穩態特性，后者反映系統的動態特性。

注意到：即：系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號響應的導數。系統對輸入信號積分的響應等于系統對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質對任何線性定常系統均成立。§4.3

二階系統的時間響應二階系統：其中：T為時間常數，也稱為無阻尼自由振蕩周期。

稱為阻尼比；n＝1/T

為系統的無阻尼固有頻率。一、二階系統的特征方程：極點（特征根）：（凡是能夠用二階微分方程描述的系統）1.欠阻尼二階系統（振蕩環節）：

0<<1具有一對共軛復數極點：2.臨界阻尼二階系統：

＝1具有兩個相等的負實數極點：3.過阻尼二階系統：

>1具有兩個不相等的負實數極點：4.零阻尼二階系統：＝0具有一對共軛虛極點：5.負阻尼二階系統：<0極點實部大于零，響應發散，系統不穩定。1.欠阻尼（0<<1）狀態

輸入信號：單位階躍1(t),其拉氏變換為：由傳遞函數的定義可得到二階系統的輸出為：二、二階系統的單位階躍響應

式中，欠阻尼二階系統的單位階躍響應

欠阻尼二階系統單位階躍響應曲線=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t欠阻尼二階系統單位階躍響應的特點

xo()=1，無穩態誤差；

瞬態分量為振幅等于的正弦振蕩。

振蕩幅值隨

減小而加大。其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率為：10txo(t)

特點●單調上升，無振蕩、無超調；

●

xo()=1，無穩態誤差。2.臨界阻尼（

=1）狀態具有兩個相等的負實數極點：3.過阻尼（>1）狀態3.過阻尼（>1）狀態

特點單調上升，無振蕩，過渡過程時間長。

xo()=1，無穩態誤差。該分量影響大當大于

1.25時，可忽略。4.無阻尼（=0）狀態210txo(t)特點頻率為n的等幅振蕩。幾點結論1.二階系統的阻尼比

決定了其振蕩特性：▲

<0時，階躍響應發散，系統不穩定；▲

1時，無振蕩、無超調，過渡過程長；▲

0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快。▲

=0時，出現等幅振蕩。

工程應用中，除了有些場合不允許產生振蕩（如指示和記錄儀表系統等）外，通常采用欠阻尼系統，且阻尼比通常選擇0.4～0.8之間，以保證系統的快速性同時又不至于產生過大的振蕩。

一定時，n越大，瞬態響應分量衰減越迅速，即系統能夠更快達到穩態值，響應的快速性越好。三、二階系統的單位脈沖響應

>1：

=1：

0<<1：

=0：四、二階系統的單位速度響應

>1：

=1：

0<<1：

=0：高階系統的時間響應

高階系統的單位階躍響應

考慮系統：參考內容假設系統極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數；

bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數有關的常數。通過拉氏反變換，其輸出為：

高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的響應函數疊加而成。§3.4

二階系統的性能指標

一、控制系統的時域性能指標

控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，是定量分析的基礎。

系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：〇上升時間tr〇峰值時間tp〇調整時間ts〇最大超調量Mp〇振蕩次數N

1.上升時間tr

響應曲線從零時刻出發首次到達穩態值所需時間。對無超調系統，上升時間一般定義為響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。二、欠阻尼二階系統的時域性能指標的計算

根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統的階躍響應為：顯然，一定時，n越大，tr越小；

n一定時，

越大，tr

越大。tx0(t)tr12.

峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

2.峰值時間tp可見，峰值時間等于有阻尼振蕩周期的一半。一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp

越大。3.最大超調量

Mp定義：響應曲線的最大峰值與穩態值之差。3.

最大超調量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。越大，Mp

越小，系統的平穩性越好，當

=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分數表示:00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二階系統Mp—

圖4.調整時間ts對于欠阻尼二階系統，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩態分量1的指數曲線：響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的2%或5%）內所需的時間。單位階躍響應：

當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。當一定時，n越大，ts越小，系統響應越快。當0<<0.7時，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：t5.振蕩次數

N

N僅與有關。與Mp

一樣直接說明了系統的阻尼特性。越大，N越小，系統平穩性越好。x0(t)ts±⊿%響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的2%或5%）內所需的時間。實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。

二階系統的動態性能由n和決定。結論

通常根據允許的最大超調量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整n以獲得合適的瞬態響應時間。

一定，n越大，系統響應快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調量Mp和振蕩次數N，但系統快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系統響應快速性Mp

、N

反映系統響應平穩性一、控制系統的誤差考慮圖示反饋控制系統H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E

(s)G(s)

誤差信號E(s)E(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)誤差信號E(s)定義為系統輸入Xi(s)與系統主反饋信號B(s)之差，即：§4.5

誤差分析和計算二、穩態誤差及其計算穩態誤差：系統的期望輸出與實際輸出在穩定狀態（t）下的差值，即誤差信號e(t)

的穩態分量：

當sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據拉氏變換的終值定理，有：

顯然，系統穩態誤差決定于輸入Xi(s)和開環傳遞函數G(s)H(s)，即決定于輸入信號的性質及系統的結構和參數。G(s)H(s)—G(s)H(s)—107年考題例1某系統方框圖如圖所示，當系統輸入的控制信號為：

求系統的穩態誤差。

三、穩態誤差系數1.穩態誤差系數的概念（1）穩態位置誤差系數單位階躍輸入時系統的穩態系數稱為穩態位置誤差系數。令：對于單位反饋系統，（2）穩態速度誤差系數單位速度輸入時系統的穩態誤差稱為穩態速度誤差系數。其中，對于單位反饋系統，易知：（3）穩態加速度誤差系數單位加速度輸入時系統的穩態誤差稱為穩態加速度誤差系數。其中，結論：當輸入信號形式一定后，系統是否存在穩態誤差取決于系統的開環傳遞函數。

對于單位反饋系統，易知：2.系統類型將系統的開環傳遞函數寫成如下形式：

根據系統開環傳遞函數中積分環節的多少來定義系統的類型，當r=0,1,2,…時，系統分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統。0型系統：I型系統：Ⅱ型系統：3.

不同類型系統的穩態誤差系數及穩態誤差(1)0型系統單位負反饋0型系統只能跟蹤階躍信號，且有穩態誤差。(2)I型系統單位負反饋

I型系統準確地能跟蹤階躍信號，也能跟蹤速度信號，但有穩態誤差。不能跟蹤加速度信號。(3)Ⅱ型系統單位負反饋

Ⅱ型系統準確地能跟蹤階躍信號、速度信號，也能跟蹤加速度信號，但有穩態誤差。表1、系統的穩態誤差系數及穩態誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩態誤差穩態誤差系數系統類型注意k0、k1、k2為系統的開環增益。幾點結論不同類型的輸入信號作用于同一控制系統，其穩態誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統，其穩態誤差也不同。

系統的穩態誤差與其開環增益有關，開環增益越大，穩態誤差越小。在階躍輸入作用下，0型系統的穩態誤差為定值，常稱為有差系統；I型系統的穩態誤差為0，常稱為一階無差系統；在速度輸入作用下，II型系統的穩態誤差為0，常稱為二階無差系統。習慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩態位置偏差。系統在多個信號共同作用下總的穩態偏差（誤差）等于多個信號單獨作用下的穩態偏差（誤差）之和。如果輸入量非單位量時，其穩態偏差（誤差）按比例增加。如：總的穩態偏差：(a)(b)

解：如果系統的輸入是階躍函數、速度函數、加速度函數三種輸入的組合，即：

可根據線性疊加原理，系統的穩態誤差為：(1)系統(a)的開環傳遞函數的時間常數表達式為：(2)系統(b)的開環傳遞函數的時間常數表達式為：表1、系統的穩態誤差系數及穩態誤差00K2II型00K1I型00K00型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩態誤差穩態誤差系數系統類型注意k0、k1、k2為系統的開環增益。四、

擾動引起的穩態誤差和系統總誤差擾動輸入作用下的偏差傳遞函數1.控制輸入作用下，系統的誤差：2.擾動輸入作用下，系統的誤差：3.系統的總誤差：時間響應系統輸出隨時間變化的特性。時間響應由穩態分量和瞬態分量組成。1.一階系統的時間響應單位