2018中考數學試題分類匯編：考點全等三角形一．選擇題（共9小題）1．（2018?安順）如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE訂交于O點，已知AB=AC，現增添以下的哪個條件仍不能夠判斷△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可依據全等三角形判斷定理AAS、SAS、ASA增添條件，逐個證明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A為公共角，A、如增添∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量關系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，由于SSA，不能夠證明△ABE≌△ACD，因此此選項不能夠作為增添的條件．應選：D．2．（2018?黔南州）以下各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左邊△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【解析】依據三角形全等的判斷方法得出乙和丙與△ABC全等，甲與△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；原因以下：在△ABC和圖乙的三角形中，知足三角形全等的判斷方法：SAS，因此乙和△ABC全等；在△ABC和圖丙的三角形中，知足三角形全等的判斷方法：AAS，因此丙和△ABC全等；優選不能夠判斷甲與△ABC全等；應選：B．3．（2018?河北）已知：如圖，點P在線段AB外，且PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直均分線上，在證明該結論時，需增添輔助線，則作法不正確的選項是（）A．作∠APB的均分線PC交AB于點CB．過點P作PC⊥AB于點C且AC=BCC．取AB中點C，連接PCD．過點P作PC⊥AB，垂足為C【解析】利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結論．【解答】解：A、利用SAS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴點P在線段AB的垂直均分線上，吻合題意；C、利用SSS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴點P在線段AB的垂直均分線上，吻合題意；D、利用HL判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴點P在線段AB的垂直均分線上，吻合題意，B、過線段外一點作已知線段的垂線，不能夠保證也均分此條線段，不吻合題意；應選：B．4．（2018?南京）如圖，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長為（）A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c【解析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，優選∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，應選：D．5．（2018?臨沂）如圖，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD=3，BE=1，則DE的長是（）A．B．2C．2D．【解析】依據條件能夠得出∠E=∠ADC=90°，進而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2應選：B．優選6．（2018?臺灣）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，則∠BAE的度數為什么？（）A．115B．120C．125D．130【解析】依據全等三角形的判斷和性質得出△ABC與△AED全等，進而得出∠B=∠E，利用多邊形的內角和解答即可．【解答】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，應選：C．7．（2018?成都）如圖，已知∠ABC=∠DCB，增添以下條件，不能夠判斷△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠DB．∠ACB=∠DBCC．AC=DBD．AB=DC【解析】全等三角形的判斷方法有SAS，ASA，AAS，SSS，依據定理逐個判斷即可．【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，吻合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤；優選B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，吻合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不吻合全等三角形的判斷定理，即不能夠推出△ABC≌△DCB，故本選項正確；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，吻合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤；應選：C．8．（2018?黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，則四邊形ABCD的面積為（）A．15B．12.5C．14.5D．17【解析】過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，判斷△ACD≌△AEB，即可獲得△ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，依據S△ACE=×5×5=12.5，即可得出結論．【解答】解：如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE=×5×5=12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.5，應選：B．優選9．（2018?綿陽）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的極點A在△ECD的斜邊DE上，若AE=，AD=，則兩個三角形重疊部分的面積為（）A．B．3C．D．3【解析】如圖設AB交CD于O，連接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想方法求出△AOB的面積．再求出OA與OB的比值即可解決問題；【解答】解：如圖設AB交CD于O，連接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵OD均分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，∴S△AOC=2×=3﹣，應選：D．二．填空題（共4小題）優選10．（2018?金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE訂交于點F，請增添一個條件，使得△ADC≌△BEC（不增添其余字母及輔助線），你增添的條件是AC=BC．【解析】增添AC=BC，依據三角形高的定義可得∠ADC=∠BEC=90°，再證明∠EBC=∠DAC，爾后再增添AC=BC可利用AAS判斷△ADC≌△BEC．【解答】解：增添AC=BC，∵△ABC的兩條高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案為：AC=BC．11．（2018?衢州）如圖，在△ABC和△DEF中，點B，F，C，E在同素來線上，BF=CE，AB∥DE，請增添一個條件，使△ABC≌△DEF，這個增添的條件能夠是AB=ED（只要寫一個，不增添輔助線）．【解析】依據等式的性質可得BC=EF，依據平行線的性質可得∠B=∠E，再增添AB=ED可利用SAS判斷△ABC≌△DEF．【解答】解：增添AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，優選∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案為：AB=ED．12．（2018?紹興）等腰三角形ABC中，頂角A為40°，點P在以A為圓心，BC長為半徑的圓上，且BP=BA，則∠PBC的度數為30°或110°．【解析】分兩種情況，利用全等三角形的性質即可解決問題；【解答】解：如圖，當點P在直線AB的右邊時．連接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，當點P′在AB的左邊時，同法可得∠ABP′=40，°∴∠P′BC=40+70°°=110°，故答案為30°或110°．13．（2018?隨州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．給出以下判斷：①AC垂直均分BD；②四邊形ABCD的面積S=AC?BD；③按次連接四邊形ABCD的四邊中點獲得的四邊形可能是正方形；優選④當A，B，C，D四點在同一個圓上時，該圓的半徑為；⑤將△ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，當BF⊥CD時，點F到直線AB的距離為．此中正確的選項是①③④．（寫出全部正確判斷的序號）【解析】依據AB=AD=5，BC=CD，可得AC是線段BD的垂直均分線，故①正確；依據四邊形ABCD的面積S=，故②錯誤；依據AC=BD，可得按次連接四邊形ABCD的四邊中點獲得的四邊形是正方形，故③正確；當A，B，C，D四點在同一個圓上時，設該圓的半徑為r，則r2（﹣）2+42，=r3得r=，故④正確；連接AF，設點F到直線AB的距離為h，由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依據S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，進而得出EF=，再依據S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可獲得h=，故⑤錯誤．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，∴AC是線段BD的垂直均分線，故①正確；四邊形ABCD的面積S=，故②錯誤；當AC=BD時，按次連接四邊形ABCD的四邊中點獲得的四邊形是正方形，故③正確；當A，B，C，D四點在同一個圓上時，設該圓的半徑為r，則r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正確；將△ABD沿直線BD對折，點A落在點E處，連接BE并延長交CD于點F，以下列圖，連接AF，設點F到直線AB的距離為h，由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，∴AO=EO=3，∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，∴DF==，優選∵BF⊥CD，BF∥AD，∴AD⊥CD，EF==，∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，解得h=，故⑤錯誤；故答案為：①③④．三．解答題（共23小題）14．（2018?柳州）如圖，AE和BD訂交于點C，∠A=∠E，AC=EC．求證：△ABC≌△EDC．【解析】依據兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等進行判斷．【解答】證明：∵在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．15．（2018?云南）如圖，已知AC均分∠BAD，AB=AD．求證：△ABC≌△ADC．【解析】依據角均分線的定義獲得∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判斷即可．【解答】證明：∵AC均分∠BAD，優選∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．16．（2018?瀘州）如圖，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求證：∠F=∠C．【解析】欲證明∠F=∠C，只要證明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】證明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．17．（2018?衡陽）如圖，已知線段AC，BD訂交于點E，AE=DE，BE=CE．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當AB=5時，求CD的長．【解析】（1）依據AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是對頂角，利用SAS證明△AEB≌△DEC即可．（2）依據全等三角形的性質即可解決問題．【解答】（1）證明：在△AEB和△DEC中，，優選∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．18．（2018?通遼）如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF=CD，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．【解析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，既而結合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判斷全等；（2）依據AB=AC，且AD是BC邊上的中線可得∠ADC=90°，由四邊形ADCF是矩形可得答案．【解答】證明：（1）∵E是AD的中點，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）連接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，優選∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四邊形ADCF是矩形．19．（2018?泰州）如圖，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB訂交于點O．求證：OB=OC．【解析】由于∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），因此AB=CD，證明△ABO與△CDO全等，因此有OB=OC．【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，BO=CO．20．（2018?南充）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E．【解析】由∠BAE=∠DAC可獲得∠BAC=∠DAE，再依據“SAS可”判斷△BAC≌△DAE，依據全等的性質即可獲得∠C=∠E．【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，優選∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．21．（2018?恩施州）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求證：AD與BE相互均分．【解析】連接BD，AE，判斷△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依據AB∥DE，即可得出四邊形ABDE是平行四邊形，進而獲得AD與BE相互均分．【解答】證明：如圖，連接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AD與BE相互均分．22．（2018?哈爾濱）已知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD訂交于點E，且AC⊥BD，作BF⊥優選CD，垂足為點F，BF與AC交于點C，∠BGE=∠ADE．（1）如圖1，求證：AD=CD；（2）如圖2，BH是△ABE的中線，若AE=2DE，DE=EG，在不增添任何輔助線的狀況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADE面積的2倍．【解析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，依據∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）設DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，據此知S△ADC=2a2=2S△ADE，證△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分別求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，進而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）設DE=a，則AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a2，∵BH是△ABE的中線，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，則S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），優選∴BE=AE=2a，∴S△ABE=AE?BE=?（2a）?2a=2a2，S△ACE=CE?BE=?（2a）?2a=2a2，S△BHG=HG?BE=?（a+a）?2a=2a2，綜上，面積等于△ADE面積的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．23．（2018?武漢）如圖，點E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF與DE交于點G，求證：GE=GF．【解析】求出BF=CE，依據SAS推出△ABF≌△DCE，得對應角相等，由等腰三角形的判斷可得結論．【解答】證明：∵BE=CF，BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．24．（2018?咸寧）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D；（2）如圖2，畫一條射線O′A，′以點O′為圓心，OC長為半徑間弧，交O′A于′點C′；（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所而的弧交于點D′；（4）過點D′畫射線O′B'，則∠A'O'B'=∠AOB．依據以上作圖步驟，請你證明∠A'O'B′=∠AOB．優選【解析】由基本作圖獲得OD=OC=O′D′=O′，C′CD=C′D，′則依據“SSS可“證明△OCD≌△O′C′，D′爾后利用全等三角形的性質可獲得∠A'O'B′=∠AOB．【解答】證明：由作法得OD=OC=O′D′=O，′C′D=C′D，′在△OCD和△O′C′中D′，∴△OCD≌△O′C′，D′∴∠COD=∠C′O′，D′即∠A'O'B′=∠AOB．25．（2018?安順）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AF=DC；（2）若AC⊥AB，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．【解析】（1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；（2）依據平行四邊形的判斷得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，依據菱形的判斷得出即可；【解答】（1）證明：連接DF，∵E為AD的中點，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AFE和△DBE中，，優選∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF=BE，∵AE=DE，∴四邊形AFDB是平行四邊形，∴BD=AF，∵AD為中線，∴DC=BD，∴AF=DC；（2）四邊形ADCF的形狀是菱形，原因以下：∵AF=DC，AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵AD為中線，∴AD=BC=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形；26．（2018?廣州）如圖，AB與CD訂交于點E，AE=CE，DE=BE．求證：∠A=∠C．【解析】依據AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是對頂角，利用SAS證明△ADE≌△CBE即可．【解答】證明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C（全等三角形對應角相等）．優選27．（2018?宜賓）如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求證：CB=CD．【解析】由全等三角形的判斷定理AAS證得△ABC≌△ADC，則其對應邊相等．【解答】證明：如圖，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC與△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．28．（2018?銅仁市）已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：AE∥BF．【解析】可證明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【解答】證明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，優選∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；29．（2018?溫州）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求證：△AED≌△EBC．（2）當AB=6時，求CD的長．【解析】（1）利用ASA即可證明；（2）第一證明四邊形AECD是平行四邊形，推出CD=AE=AB即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AD∥EC，∴∠A=∠BEC，∵E是AB中點，∴AE=EB，∵∠AED=∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD=EC，∵AD∥EC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴CD=AE，∵AB=6，∴CD=AB=3．30．（2018?菏澤）如圖，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．請寫出DF與AE的數目關系，并證明你的結論．優選【解析】結論：DF=AE．只要證明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：結論：DF=AE．原因：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．31．（2018?蘇州）如圖，點A，F，C，D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求證：BC∥EF．【解析】由全等三角形的性質SAS判斷△ABC≌△DEF，則對應角∠ACB=∠DFE，故證得結論．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF．∴在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．32．（2018?嘉興）已知：在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F，且DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．優選【解析】只要證明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D為AC的中點，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形．33．（2018?濱州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE=AF；（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請利用圖②說明原因．【解析】（1）連接AD，依據等腰三角形的性質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，依據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再依據全等三角形的性質即可證出BE=AF；（2）連接AD，依據等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，依據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再依據全等三角形的性質即可得出BE=AF．【解答】（1）證明：連接AD，如圖①所示．∵∠A=90°，AB=AC，優選∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵點D為BC的中點，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）