近世代數模擬試題一一、單項選擇題(本大題共5小題，每題3分，共15分)在每題列出四個備選項中只有一種是符合題目規定，請將其代碼填寫在題后括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設A＝B＝R(實數集)，假如A到B映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B（）A、滿射而非單射 B、單射而非滿射C、一一映射 D、既非單射也非滿射2、設集合A中具有5個元素，集合B中具有2個元素，那么，A和B積集合A×B中具有（）個元素。A、2 B、5C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G所有有解，這個解是（）乘法來說A、不是唯一B、唯一C、不一定唯一D、相似(兩方程解同樣)4、當G為有限群，子群H所含元個數和任一左陪集aH所含元個數（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n階有限群G子群H階必需是n（）A、倍數B、次數C、約數D、指數二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每題空格中填上對旳答案。錯填、不填均無分。1、設集合；，則有---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，所有有ae=ea=a，則e稱為環R--------。3、環乘法一般不互換。假如環R乘法互換，則稱R是一種------。4、偶數環是---------子環。5、一種集合A若干個--變換乘法作成群叫做A一種--------。6、每一種有限群所有有和一種置換群--------。7、全體不等于0有理數對于一般乘法來說作成一種群，則這個群單位元是---，元a逆元是-------。8、設和是環理想且，假如是最大理想，那么---------。9、一種除環中心是一種-------。三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、設置換和分別為：，，鑒定和奇偶性，并把和寫成對換乘積。證明：任何方陣所有可唯一地表到達一種對稱矩陣和一種反對稱矩陣之和。3、設集合，定義中運算“”為ab=(a+b)(modm),則（，）是不是群，為何？證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）設是群。證明：假如對任意，有，則是互換群。2、假定R是一種有兩個以上元環，F是一種包括R域，那么F包括R一種商域。近世代數模擬試題二單項選擇題1、設G有6個元素循環群，a是生成元，則G子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面代數系統（G，*）中，（）不是群A、G為整數集合，*為加法B、G為偶數集合，*為加法C、G為有理數集合，*為加法D、G為有理數集合，*為乘法3、在自然數集N上，下列哪種運算是可結合？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、設、、是三個置換，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），則=（）A、B、C、D、5、任意一種具有2個或以上元半群，它（）。A、不也許是群B、不一定是群C、一定是群D、是互換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每題空格中填上對旳答案。錯填、不填均無分。1、凱萊定理說：任一種子群所有同一種----------同構。2、一種有單位元無零因子-----稱為整環。3、已知群中元素階等于50，則階等于------。4、a階若是一種有限整數n，那么G和-------同構。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是單射又是滿射，則稱為-----------------。7、叫做域一種代數元，假如存在-----使得。8、是代數系統元素，對任何均成立，則稱為---------。9、有限群另一定義：一種有乘法有限非空集合作成一種群，假如滿足對于乘法封閉；結合律成立、---------。10、一種環R對于加法來作成一種循環群，則P是----------。三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、設集合A={1,2,3}G是A上置換群，H是G子群，H={I,(12)}，寫出H所有陪集。設E是所有偶數做成集合，“”是數乘法，則“”是E中運算，（E，）是一種代數系統，問（E，）是不是群，為何？a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、若<G，*>是群，則對于任意a、b∈G，必有惟一x∈G使得a*x＝b。2、設m是一種正整數，運用m定義整數集Z上二元關系：a?b當且僅當m︱a–b。近世代數模擬試題三一、單項選擇題1、6階有限群任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是互換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數元素個數一定等于（）。A、偶數B、奇數C、4倍數D、2正整多次冪4、下列哪個偏序集構成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關系））D、(P(A),)5、設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以和(123)互換所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每題空格中填上對旳答案。錯填、不填均無分。1、群單位元是--------，每個元素逆元素是--------。2、假如是和間一一映射，是一種元，則----------。3、區間[1，2]上運算單位元是-------。4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。5、環Z8零因子有-----------------------。6、一種子群H右、左陪集個數----------。7、從同構見解，每個群只能同構于她/它自己---------。8、無零因子環R中所有非零元共同加法階數稱為R-----------。9、設群中元素階為，假如，那么和存在整除關系為--------。三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、用2種顏色珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不一樣樣項鏈？S1，S2是A子環，則S1∩S2也是子環。S1+S2也是子環嗎？3、設有置換，。1．求和；確定置換和奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一種除環R只有兩個理想就是零理想和單位理想。M為含幺半群，證明b=a-1充足必需條件是aba=a和ab2a=e。近世代數模擬試題四一、單項選擇題(本大題共5小題，每題3分，共15分)在每題列出四個備選項中只有一種是符合題目規定，請將其代碼填寫在題后括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設集合A中具有5個元素，集合B中具有2個元素，那么，A和B積集合A×B中具有（）個元素。A.2 B.5C.7 D.102.設A＝B＝R(實數集)，假如A到B映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B（）A.滿射而非單射 B.單射而非滿射C.一一映射 D.既非單射也非滿射3.設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以和(123)互換所有元素有（）A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S3中所有元素4.設Z15是以15為模剩余類加群，那么，Z15子群共有（）個。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合有關所給運算不作成環是（）A.整系數多項式全體Z［x］有關多項式加法和乘法B.有理數域Q上n級矩陣全體Mn(Q)有關矩陣加法和乘法C.整數集Z有關數加法和新給定乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整數集Z有關數加法和新給定乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每題空格中填上對旳答案。錯填、不填均無分。6.設“～”是集合A一種關系，假如“～”滿足___________，則稱“～”是A一種等價關系。7.設(G，·)是一種群，那么，對于a，b∈G，則ab∈G也是G中可逆元，并且(ab)－1＝___________。8.設σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表到達若干個沒有公共數字循環置換之積)。9.假如G是一種具有15個元素群，那么，根據Lagrange定理知，對于a∈G，則元素a階只也許是___________。10.在3次對稱群S3中，設H＝{(1)，(123)，(132)}是S3一種不變子群，則商群G/H中元素(12)H＝___________。11.設Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6為模剩余類環，則Z6中所有零因子是___________。12.設R是一種無零因子環，其特性n是一種有限數，那么，n是___________。13.設Z［x］是整系數多項式環，(x)是由多項式x生成主理想，則(x)＝________________________。14.設高斯整數環Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中所有單位是______________________。15.有理數域Q上代數元+在Q上極小多項式是___________。三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）16.設Z為整數加群，Zm為以m為模剩余類加群，是Z到Zm一種映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，驗證：是Z到Zm一種同態滿射，并求同態核Ker。17.求以6為模剩余類環Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}所有子環，并闡明這些子環所有是Z6理想。18.試闡明唯一分解環、主理想環、歐氏環三者之間關系，并舉例闡明唯一分解環未必是主理想環。四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設G＝{a，b，c}，G代數運算“”由右邊運算表給出，證明：(G，)作成一種群。abcaabcbbcaccab20.設已知R有關矩陣加法和乘法作成一種環。證明：I是R一種子環，但不是理想。21.設(R，＋，·)是一種環，假如(R，＋)是一種循環群，證明：R是一種互換環。近世代數模擬試題一參照答案一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、；2、單位元；3、互換環；4、整數環；5、變換群；6、同構;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、解：把和寫成不相雜輪換乘積：可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換乘積：2、解：設A是任意方陣，令，，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且。若令有，這里和分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必需所有等于0，即：，，因此，表達法唯一。3、答：（，）不是群，由于中有兩個不一樣樣單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、對于G中任意元x，y，由于，因此（對每個x，從可得）。2、證明在F里故意義，作F子集顯然是R一種商域證畢。近世代數模擬試題二參照答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、互換環；3、25；4、模n乘余類加群；5、{2}；6、一一映射；7、不所有等于零元；8、右單位元；9、消去律成立；10、互換環；三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、解：H3個右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，由于（E，）中無單位元。3、解措施一、輾轉相除法。列如下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.因此p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明設e是群<G，*>幺元。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。因此，x＝a－1*b是a*x＝b解。若x∈G也是a*x＝b解，則x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。因此，x＝a－1*b是a*x＝b惟一解。2、輕易證明這樣關系是Z上一種等價關系，把這樣定義等價類集合記為Zm，每個整數a所在等價類記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a≡b(m)。當m=2時，Z2僅含2個元：[0]和[1]。近世代數模擬試題三參照答案一、單項選擇題1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每題空格中填上對旳答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特性；9、；三、解答題（本大題共3小題，每題10分，共30分）1、解在學群論前我們沒有一般措施，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。2、證由上題子環充足必需條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：由于S1，S2是A子環，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因此a-b,ab∈S1∩S2，因此S1∩S2是子環。S1+S2不一定是子環。在矩陣環中很輕易找到反例：3、解：1．，；2．兩個所有是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、證明：假定是R一種理想而不是零理想，那么a，由理想定義，因此R任意元這就是說=R，證畢。2、證必需性：將b代入即可得。充足性：運用結合律作如下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，因此b=a-1。近世代數試卷一、鑒定題（下列命題你認為對旳在題后括號內打“√”，錯打“×”；每題1分，共10分）1、設和所有是非空集合，那么。（）2、設、、所有是非空集合，則到每個映射所有叫作二元運算。（）3、只要是到一一映射，那么必有唯一逆映射。（）4、假如循環群中生成元階是無限，則和整數加群同構。（）5、假如群子群是循環群，那么也是循環群。（）6、群子群是不變子群充要條件為。（）7、假如環階，那么單位元。（）8、若環滿足左消去律，那么肯定沒有右零因子。（）9、中滿足條件多項式叫做元在域上極小多項式。（）10、若域特性是無限大，那么具有一種和同構子域，這里是整數環，是由素數生成主理想。（）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一種對旳答案，并將其號碼寫在題干背面括號內。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每題1分，共10分）1、設和所有是非空集合，而是到一種映射，那么（）①集合中兩兩所有不相似；②次序不能調換；③中不一樣樣元對應象必不相似；④一種元象可以不唯一。2、指出下列那些運算是二元運算（）①在整數集上，；②在有理數集上，；③在正實數集上，；④在集合上，。3、設是整數集上二元運算，其中（即取和中最大者），那么在中（）①不適合互換律；②不適合結合律；③存在單位元；④每個元所有有逆元。4、設為群，其中是實數集，而乘法，這里為中固定常數。那么群中單位元和元逆元分別是（）①0和；②1和0；③和；④和。5、設和所有是群中元素且，那么（）①；②；③；④。6、設是群子群，且有左陪集分類。假如6，那么階（）①6；②24；③10；④12。7、設是一種群同態映射，那么下列錯誤命題是（）①同態核是不變子群；②不變子群逆象是不變子群；③子群象是子群；④不變子群象是不變子群。8、設是環同態滿射，，那么下列錯誤結論為（）①若是零元，則是零元；②若是單位元，則是單位元；③若不是零因子，則不是零因子；④若是不互換，則不互換。9、下列對旳命題是（）①歐氏環一定是唯一分解環；②主理想環必是歐氏環；③唯一分解環必是主理想環；④唯一分解環必是歐氏環。10、若是域有限擴域，是有限擴域，那么（）①；②；③；④。三、填空題（將對旳內容填在各題干預備橫線上，內容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）1、設集合；，則有。2、假如是和間一一映射，是一種元，則。3、設集合有一種分類，其中和是兩個類，假如，那么。4、設群中元素階為，假如，那么和存在整除關系為。5、凱萊定理說：任一種子群所有同一種同構。6、給出一種5-循環置換，那么。7、若是有單位元環由生成主理想，那么中元素可以表達為。8、若是一種有單位元互換環，是一種理想，那么是一種域當且僅當是。9、整環一種元叫做一種素元，假如。10、若域一種擴域叫做一種代數擴域，假如。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤地方劃線，并將對旳內容寫在預備橫線上面。指出錯誤1分，改正錯誤2分。每題3分，共15分）1、假如一種集合代數運算同步適合消去律和分派律，那么在里，元次序可以掉換。2、有限群另一定義：一種有乘法有限非空集合作成一種群，假如滿足對于乘法封閉；結合律成立、互換律成立。3、設和是環理想且，假如是最大理想，那么。4、唯一分解環兩個元和不一定會有最大公因子，若和所有是和最大公因子，那么必有。5、叫做域一種代數元，假如存在所有不等于零元使得。五、計算題（共15分，每題分標在小題后）1、給出下列四個四元置換構成群，試寫出乘法表，并且求出單位元及和所有子群。2、設是模6剩余類環，且。假如、，計算、和和它們次數。六、證明題（每題10分，共40分）1、設和是一種群兩個元且，又設階，階，并且，證明：階。2、設為實數集，，令，將所有這樣變換構成一種集合，試證明：對于變換一般乘法，作成一種群。3、設和為環兩個理想，試證和所有是理想。4、設是有限可互換環且具有單位元1，證明：中非零元不是可逆元就是零因子。近世代數試卷參照解答一、鑒定題12345678910××√√×√√√××二、單項選擇題12345678910②④③④①②④③①④三、填空題1、。2、。3、。4、。5、變換群。6、。7、。8、一種最大理想。9、p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。10、E每一種元所有是F上一種代數元。四、改錯題1、假如一種集合代數運算同步適合消去律和分派律，那么在里，元次序可以掉換。結合律和互換律2、有限群另一定義：一種有乘法有限非空集合作成一種群，假如滿足對于乘法封閉；結合律成立、互換律成立。消去律成立3、設和是環理想且，假如是最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解環兩個元和不一定會有最大公因子，若和所有是和最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一種單位因子5、叫做域一種代數元，假如存在所有不等于零元使得。不所有等于零元測驗題填空題（42分）1、設集合和分別有代數運算和，且，則當時，也滿足結合律；當時，也滿足互換律。2、對群中任意元素=；3、設群G中元素a階是n，n|m則=；4、設是任意一種循環群，若，則和同構；若，則和