從一道題看奧賽所涉及的解題方法和技巧題目：設湖岸MN是一條直線，有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成α＝15°角的方向勻速向湖中駛去，有一個人自A點同時出發，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度為v1=4m/s，在水中游泳的速度為v2＝2m/s，試求小船的速度至多為多大時，這人才能追上小船？MNAVmax=?α方法1：微元法如圖，設人在D點入水并在B點剛好能追上小船，這表明：此時人追上小船所用時間最少，對應的小船速度最大.FEθCBαMNAD現設C、E是D點兩側附近無限靠近D點的兩點，并設分別從C、E點入水追小船所用總時間相等.

現在BC段截取BF=BE，那么∠BFE＝90°.由于從C、E點入水追小船所用總時間相等，所以，人在CE段走與在CF段游泳所用時間相等.D點兩側各有入水點C和E，使得在該處入水追船所用時間相等.于是所以因為C、E兩點無限靠近D點，所以∠BDN＝θ＝60°.FDAαEθCMNBK作BK⊥BD交MN于K，于是DK=2BD.又因為v1=2v2,則人游DK段與走DK段所用時間相等.所以人自出發經D點再到B點與人由A點一直走到K點所用時間相同，并都等于小船從A到B所用的最少時間.即有在⊿ABK中，用正弦定理可得：那么FDAαEθCMNBK方法2：類比法BβD設想MN為甲和乙兩種介質的分界面，光在甲中的速度為v1，在乙中的速度為v2，據費馬原理可知，B→D→A是光從B傳到A費時最少的路徑，而β是臨界角.這可類比本題人從A經D到B的追船情況.由此得：下面解法與方法1相同.最后可得：MA乙甲N方法3：圖解法MNEAK如圖，設人開始運動就一直游泳，那么他能到達的區域是以A為圓心、以v2t為半徑的半圓中的任何一點，若他一直沿湖岸走，那么他在t時間內可以到達AK＝v1t中的任何一點，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t時間內到達圖中⊿AEF中的任何一點.所以，他若能追上船，船也必須在t時間內到達這區域.Bα由于題設小船沿α角的方向運動，所以沿此方向的直線與EK線的交點B是船以最大速度運動且又能被人追上的地點.BαMNEAK在Rt⊿AEK中，因為AK=2AE，所以∠AKE＝30°，于是，∠ABK＝180°－15°－

30°＝135°在⊿ABK中,據正弦定理得：而所以方法4：矢量圖解法設人先沿岸走一段，再入水追船，以船為參考系，由于人和船是同時由A點出發的，則人在沿岸走時，船看到人正在由船所在位置逐漸“離去”，離去的相對速度為：KMNA要人能追上船，即人能回到船上，則其返回的相對速度必須沿的反方向，返回的相對速度為：αC作圖：(1)以MN線上的A點為起點作矢量得K點；(2)以A點為圓心，以v2的大小為半徑作圓;(3)作直線AC，使它與MN線的夾角為α＝15°；EBMNAαCK設K點與圓上的任一點E的連線與AC線的交點為B，則AB表示船速，BK表示人相對船的“離開”速度，而BE表示人相對船的“返回”速度.顯然，當KE與圓相切時，AB線最長，表示船速最大，由此有作圖步驟:由于AK=AE，所以，∠AKF＝30°，∠ABE＝45°.因而⊿ABE為等腰直角三角形，那么（4）作KE與圓相切于E點，并與AC相交于B點.方法5：等效法αMNAB設人在B點追上船，則人到達B點可能有很多途徑，如A→C→B，A→D→B,A→E→B等,這些途徑中耗時最少的途徑對應著允許的最大船速，作∠NAP＝30°，并分別作CK,DH,EF垂直AP，其中設BDH為直線，CDEKHFP30°又設想MN線下方也變成湖水區域，則因為AC=2CK,所以人由K點游泳到C點所用時間與人在岸上走由A點到C點所用時間是相等的.故人按題設情況經路徑A→C→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑K→C→B所用時間相等，同理，人按題設情況經路徑A→D→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑H→D→B所用時間相等，人按題設情況經路徑A→E→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑F→E→B所用時間相等，CDEKHFP30°αMNAB顯然，在這些途徑中，因為HDB是直線，因此所用時間最少.由以上分析可知，人沿等效途徑HDB游泳就費時最少地剛好追上船，這對應著最大船速，設為vmax，則有因為⊿AHB是等腰直角三角形，所以故得方法6：極值法（利用三角函數）MNABCDαβθ如圖，設人沿岸走到D點時，船航行到C點，此時人入水游泳就剛好能在B點追上船.在⊿ACD中應用正弦定理得又設此時船速為v，人由A點走到D點耗時為t，則由以上兩式得MNABCDαβθ又在⊿CDB中應用正弦定理得設人游過DB段所用時間為,則由以上兩式得由（1）、（2）式，并注意，可得MNABCDαβθ又由于，要v盡可能大，即需AC/AD盡可能大，而θ越大，則AC越大，θ－α也越大，且（θ－α）為銳角，則sin（θ－α）隨（θ－α）增大而增大，故得sin（θ－α）最大時，θ最大，由于α為恒量，則θ越大，則由（3）式可見，當sin（θ＋β）＝1時，sin（θ－α）有最大值為1/2，此時對應的θ值為，由此得，于是⊿CDB是等腰直角三角形，則有MNABCDαβθ所以，方法7：極值法（利用一元二次函數判別式）如圖，設船出發后經時間t被人追上.則船的位移為s=vt，又設人在岸上走用時為kt（0<k<1)，位移為s1=kv1t,人在湖中游用時為(1－k)t（0<k<1)，位移為s2=(1-k)v2t.那么，據余弦定理有：把s、s1、s2的表達式及v1、v2的值代入并整理可得又于是有NMASBS1S2αD要這方程有實數解，其判別式⊿應滿足：由此可解得：或由本題的物理情景可知只能取：方法8：極值法（利用一元二次函數判別式）如圖，設人在岸上D處入水追船，運動方向與湖岸成θ角,并在B點處追上船，這人由A→D→B用時為t.則上式表明：t與θ有關，且在d、L、v1、v2一定時，由θ決定,研究函數dDMNABθLα兩邊平方得：整理后得：此方程有