第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定（1）相似三角形

對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.

ABCEDF相似的表示方法符號：∽讀作：相似于ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k當時，則△ABC與△A1B1C1相似，記作△ABC∽△A1B1C1.

要把表示對應角頂點的字母寫在對應的位置上.注意

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=k時，ABCA1B1C1則△ABC與△A1B1C1的相似比為

k

.或△A1B1C1與△ABC的相似比為.

想一想:如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關系？

請分別度量l3,l4,l5.在l1上截得的兩條線段AB,

BC和在l2上截得的兩條線段DE,EF的長度,AB：BC與DE：EF相等嗎？任意平移l5

,再量度AB,BC,DE,EF的長度,它們的比值還相等嗎？

????猜想：ABCDEFl3l4l5

l1l2

除此之外，還有其他對應線段成比例嗎？事實上，當l3//l4//l5時，都可以得到，

還可以得到，，

等等.ABCDEFl3l4l5

l1l2

想一想：通過探究，你得到了什么規律呢？三條平行線截兩條直線,所得到的對應線段的比相等.歸納平行線分線段成比例定理：思考如果把圖1中l1

,l2兩條直線相交，交點A剛落到l3上，如圖2所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？

ABCEF

圖2（1）ABCDEFl3l4l5

l1l2（D）

圖1思考如果把圖1中l1,l2兩條直線相交，交點A剛落到l4上，如圖2（2）所得的對應線段的比會相等嗎？依據是什么？

ABCDEFl3l4l5

l1l2

ABCED

圖1

圖2（2）l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

推論新知應用例1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.新知應用

例2如圖所示，如果D，E，F分別在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求證：OD∶OA＝OE∶OB

證明：DF∥AC，EF∥BC，一、平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

（關鍵要能熟練地找出對應線段）二、要熟悉該定理的幾種基本圖形ABCDEFABCDEF課堂小結三、注意該定理在三角形中的應用拓展延伸，作業布置

如圖，ΔABC中，BC=a.(1)若AD1=AB，AE1=AC，則D1E1=

；(2)若D1D2=D1B，E1E2=E1C，則D2E2=

；D2B，E2E3=E2C，則D3E3=

；……Dn-1B，En-1En=En-1C，則DnEn=

.(3)若D2D3=(4)若Dn-1Dn=不經歷風雨，怎么見彩虹沒有人能隨隨便便成功!第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定（2）三條平行線截兩條直線,所得的對應線段的比相等.平行線分線段成比例定理：l2l3l1l3ll

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段的比相等.ABCDEl2ABCDEl1ll

平行線分線段成比例定理的推論如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的關系？∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.邊呢？ADEBC==DE∥BC理解如圖,在△ABC中，

DE//BC,DE分別交AB于D，交AC于E

，△ADE與△ABC有什么關系?說明理由.相似ABCDE證明:在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，過E作EF//AB交BC于F，∵四邊形DBFE是平行四邊形，F∴DE=BF，∴△ADE∽△ABC.探索

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.知識要點平行于三角形一邊的定理ABCDE即在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABCA型你還能畫出其他圖形嗎？歸納

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似.DEOCB延伸即如果DE∥BC，那么△ODE∽△OBC你能證明嗎？X型平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所得的三角形與原三角形________.相似“A”型“X”型（圖2）DEOBCABCDE（圖1）理解思考:有沒有其他簡單的辦法判斷兩個三角形相似?

任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的k倍，度量這兩個三角形的對應角，它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同桌交流一下，看看是否有同樣的結論.探究2思考

是否有△ABC∽△A′B′C′？ABCC′B′A′三邊對應成比例求證:△.∽△ABCDE∴又∴同理

∴∴∥∽∽∴∽∽

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.知識要點判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A′B′C′.即：如果那么A′B′C′ABC

三邊對應成比例，兩三角形相似.邊邊邊SSS√歸納改變k和∠A的值的大小,是否有同樣的結論？探究3邊角邊SAS探究3已知：△ABC∽△A′B′C′.A′B′C′ABC求證：∠A=∠A′

.你能證明嗎？求證:△∽△ABCDE∴又∴∴∴∥∽∽∴∽∽

如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.知識要點判定三角形相似的定理之二兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似.邊角邊SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1，那么歸納不會，因為不能證明構造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考如果這兩個三角形一定會相似嗎？應用

解：（1）∽兩個三角形的相似比是多少？應用

解：（2）與的三組對應邊的比不等，它們不相似.

要使兩個三角形相似，不改變AC的長，A′C′的長應改為多少？

例2已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長.

解:AB=6，BC=4，AC=5，CD=

又∠B=∠ACD，△ABC∽△DCA，AD=應用相似三角形的判定方法有幾種？1.定義判定法3.邊邊邊判定法（SSS）4.邊角邊判定法（SAS）2.平行判定法比較復雜，煩瑣只能在特定的圖形里面使用小結27.2.1相似三角形的判定（3）

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.

三邊對應成比例,兩三角形相似.相似三角形的判定方法

兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似.這兩個三角形的三個內角的大小有什么關系？三個內角對應相等的兩個三角形一定相似嗎？三個內角對應相等.觀察你與老師的直角三角尺(30o與60o),會相似嗎？思考相似探究4

與同伴合作,一人先畫△ABC,另一人再畫△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.比較你們所畫的兩個三角形，∠C=∠C′嗎？對應邊之比

相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？

改變這兩個三角形邊的大小，而不改它們角的大小呢？

如果兩個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.知識要點判定三角形相似的定理之三兩角對應相等，兩三角形相似.角角AAA′B′C′ABC△ABC∽△A′B′C′.即如果那么√∠A=∠A′

，∠B=∠B′

，在△ABC和△A′B′C′中，角邊角ASA角角邊AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能證明嗎？思考已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？可要仔細喲！HLABCA1B1C1Rt△ABC和

Rt△A1B1C1，

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC

和Rt△A1B1C1.例1.弦AB和CD相交于⊙O內一點P.求證:PA·PB=PC·PD.ABCDPO證明:連接AC、BD.∵∠A、∠D都是CB所對的圓周角,⌒∴∠A=∠D.同理:∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.新知應用解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.例2.已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.新知應用拓展延伸在Rt△ABC的斜邊AB上有一點P(點P與點A，B不重合），過點P作直線截得的三角形與△ABC相似，想一想滿足條件的直線共有多少條？試畫出圖形并簡要說明理由.思考：若三角形為任意三角形，點P為三角形任意一邊上的點，則這樣的直線有幾條？

我們來試一試…課堂小結

相似圖形三角形的判定方法：

通過定義平行于三角形一邊的直線三邊對應成比兩邊對應成比例且夾角相等兩角對應相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例（三邊對應成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）27.2.2相似三角形應用舉例走進生活!探索自然!

例1

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m,兩樹的根部相距BD=5m.一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路m從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C?FABCDmFABCDmEEGKH

李巍同學在回家的

路上發現了如圖兩根電線桿AB、CD，分別在高10m的A處和15m的C處有兩根鋼索將兩桿固定,求鋼索AD與鋼索BC的交點M離地面的高度MH.H自主練習Q8

例2

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0<t<5)后,四邊形ABQP的面積為S平方米。①求出面積S與時間t的關系式BCDPA6H┑Q8

例2

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0<t<5)后,四邊形ABQP的面積為S平方米。①求出面積S與時間t的關系式BCDPA6E┓

②探究:在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由。QBACPD③探究:在P、Q兩點移動的過程中，△CPQ與△ABC能否相似？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由。通過本堂課的學習和探索，你學到了什么?

課堂小結老師的小結：1、“數學建模”解決實際問題：構造相似三角形解決實際生活中求線段長問題2、“數學思想”解決綜合題“方程思想”“分類討論思想”1.作業本（1）P13---14

今天作業2.課時作業本P54---55

作業分析

馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節目。蹺蹺板的支柱AB的高度為1.2m.（1）若吊環高度為2m，支點A為蹺蹺板PQ的中點，則獅子能否將公雞送到吊環上？為什么？（2）若吊環高度為3.6m，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板PQ什么位置時，獅子剛好將公雞送到吊環上？

2、已知在△ABC中，∠C=90o,AC=8cm,BC=6cm,點P從點A出發，沿AC以3cm/s的速度向點C移動，點Q從點B出發，沿BA以4cm/s的速度向點A移動。

如果P、Q分別從A、B同時出發，移動時間為ts(0<t<2.5)。

當t為何值時，以Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？ACBPQQACBPACBPQ自主練習回顧舊知相似三角形有哪些性質？A1B1C1ABC（1）相似三角形對應角相等。（2）相似三角形對應邊成比例。（3）相似三角形對應高的比等于相似比。（4）相似三角形對應中線的比等于相似比。（5）相似三角形對應角平分線的比等于相似比。相似三角形的性質kA1B1C1ABC相似三角形的周長有什么關系？A1B1C1ABC相似三角形的面積有什么關系？27.2.3相似三角形的周長與面積

理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，并能用來解決簡單的問題。知識與能力

探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，體驗化歸思想。過程與方法經歷探索相似三角形性質的過程，并在探究過程中發展學生積極的情感、態度、價值觀，體驗解決問題策略的多樣性。

情感態度與價值觀教學重難點

理解并掌握相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方。

探索相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方。A1B1C1ABC（等比性質）C△ABC=AB+BC+CA周長：C△A1B1C1

=A1B1+B1C1+C1A1∵∴∴相似三角形周長的比等于相似比。六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1