淺談數學陳述性知識意蘊的挖掘

卜春蘭【Summary】陳述性知識是初中數學內容的核心.陳述性知識的意蘊指的是其所蘊含的理性內涵，包括陳述性知識的價值以及其中所體現的精神與情感.教師在教學的過程中通過追究身份、追溯歷史、進行多種語言互譯來挖掘陳述性知識的意蘊，可以推動學生分析問題、解決問題能力的發展，彰顯數學豐富的人文價值、數學思想與精神，以及數學教學的育人價值.【Key】陳述性知識;意蘊;教學;育人價值數學陳述性知識主要包括概念、法則、性質、定理等數學知識.在初中階段，數學陳述性知識高度凝結著數學家的思維，是數學家們認識客觀事物的思想結晶，蘊含了豐富的育人素材.數學陳述性知識的教學是數學教學的基石，它不僅能夠幫助學生掌握知識，還能讓學生體驗數學家們總結數學概念的心路歷程，領悟數學家們用數學認識世界的思想真諦，所以我們一線教師在進行陳述性知識的教學時，應充分挖掘其中的意蘊，彰顯數學陳述性知識教學的育人價值.一、追究“身份”，建立邏輯整體結構德國數學家大衛·希爾伯特認為，數學知識是一個不可分割的有機整體，它的生命力取決于各部分之間的聯系.數學的本質是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系，而理解數學是用概念思維的，所以建立數學概念的邏輯結構關系是理解數學的重要保障.如分式的教學，教師首先引導學生通過具體情境列代數式，并按自己的規定對所列的代數式進行分類.在分類的過程中，學生產生認知沖突，類比分數提出新知——分式的概念，然后完善與分式有關的概念分類，形成如圖1所示的概念系統.分式被納入原有的認知結構，從而形成了較完整的知識體系.學生通過經歷一次新的概念的總結、概括過程，不僅梳理了分式、整式、有理式、代數式之間的從屬、并列關系，而且認識到分式與整式雖屬并列關系，但分式又是在整式的基礎上進行的，是分母含未知數的兩個整式之比，是代數式領域對整式的擴展與延伸.這實現了從數到式的一大跨越，而且分式與整式的研究方法相同，都要進行性質、運算與應用的研究，這樣學生對分式的學習就融入整個代數式的邏輯系統.這個過程不僅讓學生明確了其中體現的邏輯關系，而且為后面的研究指明了思路與方向，這也是學生在數學的學習過程中需要逐漸掌握的學習方法.教師通過引導學生把基本概念、思想方法、研究問題的策略與思路形成一個整體結構，使概念以一種動態的、聯系的、發展的、辯證的、整體的關系組合在一起，可以不斷發展和完善學生的認知結構，培養學生思維的深刻性和靈活性.[1]二、追溯歷史，增添人文素養在概念、法則、性質、定理的教學中，教師可以利用數學史將數學知識、方法、文化融為一體，這不僅可以幫助學生在新情境下形成對知識的理解能力以及遷移到不同情境中去的能力，而且可以幫助學生了解數學在人類文明發展史中的作用，激發學生學習的興趣，陶冶情操，讓學生感受富有詩意的數學課堂.如學習一元二次方程的解的概念時，教師可以讓學生了解我國古代解一元二次方程x2+bx=c的過程.教師首先引導學生將原方程變形為x（x+b）=c，然后設計問題讓學生經歷我國古代學者對此方程的解法的研究過程.問題1：我們能否構造一個幾何圖形來表示方程中的各個量？教師利用這個問題引導學生構造一個長為（x+b），寬為x的矩形，其面積為c（如圖2）.問題2：我們知道正方形是特殊的矩形，若我們能利用這個矩形拼成一個正方形，就能借助正方形的面積求出x的值.如何利用構造的矩形拼出一個正方形呢？學生的方法有：上面這些方法在我們現在看來似乎并不難，但貴在創造.中國對二次方程的研究遠遠早于國外，《九章算術》《勾股圓方圖注》《大衍歷》《田畝比類乘除捷法》這些書中都有有關一元二次方程的根的記載，學生可以在課后去閱讀此方面的著作，領悟先輩們的創造性想法.上述利用拼圖求解一元二次方程的方法促進了學生對二次方程的認知，加深了其對二次方程的解的理解，而且學生對祖先在如此早期就能想到利用正方形體現配方的數形結合思想嘖嘖稱奇，更是對把二次方程的系數作為直角邊獲得正數解的方法充滿強烈的好奇心.建構矩形的面積作為方程等號右邊的常數，長與寬作為等號左邊積中的兩個因式，是解決代數問題常用的方法，這種方法在七年級學習整式的乘法中也經常遇到，長期的訓練必將使這種思想成為運用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學生的數學修養與解題能力.教師把數學史融入課堂，不應局限在對數學史的簡單介紹上，而應追尋它的根，追溯它的歷史背景，領悟數學先輩們發現數學結論時的心路歷程，讓學生驚嘆于先輩們的睿智，沉浸于絢麗多彩的數學世界中.正如張奠宙教授所言，“學術形態向教育形態的轉化，實現了從‘冰冷到‘火熱這一過程”.如果說數學從發明到呈現在教材上是從“火熱的發明”變成“冰冷的美麗”，那么將數學史融入概念的學習，則是讓書上“冰冷的美麗”呈現出詩意，再把富有詩意的內容融入數學課堂.[2]三、多種語言互譯，培養符號意識符號語言、圖形語言和普通文字語言是數學思維的工具，語言互譯是對陳述性知識的內容進行不同形式的表征.學生通過語言互譯能促進對知識的內化，培養符號意識，增強幾何直觀能力.在此過程中，學生經歷了把分式的基本性質從文字語言轉化到符號語言的過程，還經歷了如何選取字母表示分式，以及如何用字母體現分式的分子與分母同時乘同一個不為零的整式的思考過程，體會用字母可以表示一個數，也可以表示代數式的一般性和代表性的意義和價值，體會用符號表示性質的簡潔性，體現了思維從具體到抽象的發展過程.而把符號語言轉換為圖形語言，學生的思維經歷了需要構造什么圖形來表示分式，分子、分母的變化過程如何利用建構圖形來體現，這個過程體現了學生的思維從抽象到直觀的發展.事實上，教材中的數學概念、性質、定理、法則基本上都能通過文字、符號和圖形這三種語言來表述.四、挖掘數學思想方法，領悟數學精神數學思想是數學的精髓，數學思想是對數學概念、數學結構及數學方法的本質性認識.《新課標》指出，“數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”.教師在教學中要引導學生挖掘數學概念背后隱含的數學思想方法，使生硬的知識變得生動，使學生在生動的知識學習中提升思維，提高興趣.二元一次方程組的解的概念的教學環節經歷了“情境—抽象出數學問題—取值列表—嘗試取值—代入求值—得解—比較—歸納”的過程，體現了問題解決的一般過程與思路，在解決問題的過程中蘊含了豐富的數學思想方法.[3]挖掘數學概念、性質、定理、法則所隱含的意蘊，讓課堂充滿教育智慧，體現了數學新課標提出的“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”的理念，這需要廣大數學教師長期不懈地去努力，方能落實核心素養，彰顯數學的育人價值.【Reference】[1]朱立明，馬云鵬.義務教育階段學生數學符號意識發展水平的實