2023年全國初中數學聯合競賽試題說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1．，，那么的值為〔〕A．1.B．.C．.D．.【答】B.由可得，即，即，即，所以．2．△的兩條高線的長分別為5和20,假設第三條高線的長也是整數，那么第三條高線長的最大值為〔〕A．5.B．6.C．7.D．8.【答】B.設△的面積為S，所求的第三條高線的長為h，那么三邊長分別為．顯然，于是由三邊關系，得解得．所以的最大整數值為6,即第三條高線的長的最大值為6.3．方程的解的個數為〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個【答】C.當時，方程為，即，解得，，均滿足．當時，方程為，即，解得，滿足．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第1頁〔共8頁〕綜上，原方程有3個解．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第1頁〔共8頁〕.4．今有長度分別為1，2，…，9的線段各一條，現從中選出假設干條線段組成“線段組〞，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，那么這樣的“線段組〞的組數有〔〕A．5組.B．7組.C．9組.D．11組.【答】C.顯然用這些線段去拼接成正方形，至少要7條．當用7條線段去拼接成正方形時，有3條邊每邊都用2條線段連接，而另一條邊只用1條線段，其長度恰好等于其它3條邊中每兩條線段的長度之和．當用8條線段去拼接成正方形時，那么每邊用兩條線段相接，其長度和相等．又因為，所以正方形的邊長不大于．由于；；；；．所以，組成邊長為7、8、10、11的正方形，各有一種方法；組成邊長為9的正方形，有5種方法。故滿足條件的“線段組〞的組數為1×4＋5＝9．5．如圖，菱形ABCD中，，，，，，那么〔〕A．.B．.C．.D．.【答】D.過F作AB的垂線，垂足為H．∵，，∴，，，又∵，∴，從而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，∴．6．，，，那么的值為〔〕A．1.B．.C．2.D．.【答】C.由等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。代入，得，解得．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第2頁〔共8頁〕所以．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第2頁〔共8頁〕二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．在△ABC中，，，那么．【答】。延長AB到D，使BD＝BC，連線段CD，那么，所以CA＝CD。作于點E，那么E為AD的中點，故，.在Rt△BCE中，，所以，故．2．二次函數的圖象的頂點為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點，與y軸正方向交于C點，假設△ABD和△OBC均為等腰直角三角形〔O為坐標原點〕，那么．【答】2．由，得，，，．過D作于點E，，那么，即，得，所以或．又，所以．又，即，得．3．能使是完全平方數的正整數n的值為．【答】11.當時，，假設它是完全平方數，那么n必為偶數．假設，那么；假設，那么；假設，那么；假設，那么。所以，當時，都不是完全平方數．當時，，假設它是完全平方數，那么為一奇數的平方。設〔k為自然數〕，那么．由于和一奇一偶，所以，于是，故．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第3頁〔共8頁〕4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果，，D為EF的中點，那么AB＝．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第3頁〔共8頁〕【答】24.設，那么．連AD，BC．因為AB為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以．又因為D為Rt△AEF的斜邊EF的中點，∴，∴，∴，∴．在Rt△AEF中，由勾股定理得，即．設，由相交弦定理得，即，∴=1\*GB3①又∵，∴．又，∴，從而．在Rt△ACB中，由勾股定理得，即，∴．②聯立①②，解得．所以．第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕三個不同的實數滿足，方程和有一個相同的實根，方程和也有一個相同的實根．求的值．解依次將題設中所給的四個方程編號為①，②，③，④．設是方程①和方程②的一個相同的實根，那么兩式相減，可解得．……5分設是方程③和方程④的一個相同的實根，那么兩式相減，可解得。2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第4頁〔共8頁〕所以．……10分2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第4頁〔共8頁〕又方程①的兩根之積等于1，于是也是方程①的根，那么。又，兩式相減，得．……15分假設，那么方程①無實根，所以，故．于是．又，解得．……20分二．〔此題總分值25分〕如圖，在四邊形ABCD中，，，，對角線交于點，且，為的中點．求證：〔1〕；〔2〕．證明〔1〕由得，從而四點共圓，為直徑，為該圓的圓心．……5分作于點，知為的中點，所以＝＝，從而．……10分〔2〕作于點，那么．又，∴，……15分∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，故，所以．……25分三．〔此題總分值25分〕為正整數，．設，，，O為坐標原點．假設，且．〔1〕證明：；〔2〕求圖象經過三點的二次函數的解析式．解〔1〕因為，，所以，即．由，得．…5分又2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第5頁〔共8頁〕，2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第5頁〔共8頁〕從而有，即．……10分〔2〕由，知是關于x的一元二次方程=1\*GB3①的兩個不相等的正整數根，從而，解得。又為正整數，故或．………15分當時，方程=1\*GB3①為，沒有整數解．當時，方程=1\*GB3①為，兩根為．綜合知：．………20分設圖象經過三點的二次函數的解析式為，將點的坐標代入得，解得．所以，圖象經過三點的二次函數的解析式為．………25分第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕如圖，在四邊形ABCD中，，，，對角線交于點，且．求證：．證明由得，從而四點共圓，為直徑．設為AC的中點，那么為四邊形ABCD的外接圓的圓心．………5分作于點，那么M為BD的中點,所以＝＝，從而．………10分作于點，那么．又，∴，………15分∴Rt△≌Rt△，∴，又，所以，所以，所以．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第6頁〔共8頁〕………25分2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第6頁〔共8頁〕三．〔此題總分值25分〕為正整數，．設，，，O為坐標原點．假設，且＋＋＝＋＋〕．求圖象經過三點的二次函數的解析式．解因為，，所以，即．由，得．…5分又，從而有，即．………10分又，故是關于x的一元二次方程=1\*GB3①的兩個不相等的正整數根，從而，解得。又為正整數，故或．………15分當時，方程=1\*GB3①為，沒有整數解．當時，方程=1\*GB3①為，兩根為．綜合知：．………20分設圖象經過三點的二次函數的解析式為，將點的坐標代入得，解得．所以，圖象經過三點的二次函數的解析式為．………25分第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕如圖，為銳角△內一點，過分別作的垂線，垂足分別為，為的平分線，的延長線交于點．如果，求證：是的平分線．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第7頁〔共8頁〕證明如圖1，作于點，于點，于點，于點．2023年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第7頁〔共8頁〕設，∵，∴．………5分假設，如圖2，作，分別交于點，那么△∽△，∴，