武漢市屆高中畢業生四月調研考試數學試卷武漢市教育科學研究院命制本試題卷共4頁，題，全卷滿分分．考試用時分鐘．★祝考試順利★注意事項：．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效．．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效．．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.，B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出交集即可.【詳解】由，可得，解得，所以，所以或，所以或.故選：C.2.數列的通項公式為，為其前n項和，則的最小值為（）A.B.C.D.第1頁/共20頁【答案】D【解析】【分析】令，可求得，計算可求得的最小值.【詳解】令，因為，所以解得，所以數列的前3項為負，從第4項起為正，所以的最小值為.故選：D.3.已知向量，滿足，，，則與夾角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直，利用數量積運算可得，即，代入已知條件，求得，所以，得解【詳解】因為，所以所以又，，，,所以，故選：C．4.隨著Deepseek的流行，各種AI大模型層出不窮，現有甲、乙兩個AI大模型，在對甲、乙兩個大模型進610確的是（）評委編號123456模型名稱甲7.09.38.39.28.98.9第2頁/共20頁乙8.19.18.58.68.78.6A.甲得分的平均數大于乙得分的平均數B.甲得分的眾數大于乙得分的眾數C.甲得分的中位數大于乙得分的中位數D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】A【解析】【分析】根據已知數據分別應用中位數，眾數，平均數及方差定義分別計算判斷各個選項.【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，甲得分的中位數大于乙得分的中位數，故C正確；甲得分的眾數，乙得分的眾數為，甲得分的眾數大于乙得分的眾數，故B正確；甲得分的平均數，乙得分的平均數A錯誤；甲方差，乙的方差為故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：A.5.若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】正切值即可求解.第3頁/共20頁【詳解】由，可得，即，解得，所以.故選：A.6.在ABC的對邊分別是abc，，面積為D為邊AB上一點，CD是的角平分線，則（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，結合面積可求和，利用，可得，進而可求得.【詳解】在中，，由余弦定理可得，所以，所以，又面積為，所以，所以，所以，所以，因為CD是的角平分線，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B.7.已知正四棱錐的側棱長為，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（）第4頁/共20頁A.1B.C.2D.3【答案】D【解析】，，利用導數說明函數的單調性，即可求出函數的極大值點，從而求出.【詳解】設底面邊長為，則高，由，所以，所以體積，設，，則，所以當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；所以當時取得極大值，即為最大值，此時該棱錐的體積最大，此時.故選：D．8.已知連續型隨機變量服從正態分布，記函數，則的圖象（）A.關于直線對稱B.關于直線對稱C.關于點成中心對稱D.關于點成中心對稱【答案】C【解析】服從正態分布第5頁/共20頁正誤.【詳解】由連續型隨機變量服從正態分布，可得，可得，所以正態密度曲線關于對稱，即，由，可得在時增加較快，在時增加越來越慢，所以無對稱軸，故AB錯誤；，所以關于點成中心對稱，故C正確，D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.若復數，則（）A.B.C.z在復平面內對應的點位于第四象限D.復數滿足，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】A.利用復數的除法化簡判斷；B.結合A得到共軛復數，再求模判斷；C.利用復數的幾何意義判斷；D.利用復數的模的幾何意義判斷.【詳解】復數，，故A錯誤；，，故B正確；z的實部為4大于零，虛部為-1，小于零，則z在復平面內對應的點位于第四象限，故C正確；第6頁/共20頁因為復數滿足，設在單位圓上，則表示和點z之間的距離，其最大值為z到原點的距離加半徑，最大值為，故D正確，故選：BCD10.已知數列滿足，的前n項和為，則（）A.B.數列是等比數列C.，，構成等差數列D.數列前100項和為【答案】AD【解析】【分析】令，計算可判斷A，當，可得，兩式相減可得，進而逐項計算可判斷BCD.【詳解】對于A，當時，可得，故A正確；對于B，當時，，兩式相減可得，所以，當，適合上式，所以；由不是常數，所以數列不是等比數列，故B錯誤；對于C，由可知，，所以是以2為首項，1為公差的等差數列，所以，所以，，，又，所以，所以，，不構成等差數列，故C錯誤；第7頁/共20頁對于D，，所以，故D正確.故選：AD.已知曲線，為曲線C上任一點，則下列說法中正確的有（）A.曲線C與直線恰有四個公共點B.曲線C與直線相切C.是關于的函數D.是關于的函數【答案】BD【解析】【分析】對于A，構造，利用導數討論其在上零點個數為3后可判斷其BCD數判斷函數的單調性后可得其正誤.【詳解】對于A，由消元法可得，所以，當或時，或，故此時無解，下面考慮上方程的解的個數，設，其中，設且，則的解為，，而，故當或時，，當時，，故在，上為減函數，在上為增函數，第8頁/共20頁而，且，，而，故，故，，故在有3個不同的實數根，故A錯誤；對于B，由可得，故，對兩邊求關于的導數，則，故當時，有，當，，而直線的斜率為2，故曲線與直線相切，故B正確.對于C，取，考慮即方程的解的個數，設，則，，，，故至少有兩個零點，故有兩個不同的解，故不是關于的函數，故C錯誤；對于D，，則，故為的減函數，且當時，，當時，，故對任意，方程即有唯一解，故是關于的函數，故D正確；第9頁/共20頁故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若雙曲線的離心率為2，則的值為___．【答案】3.【解析】.本題考查的雙曲線的基本知識.關鍵是要把所給的方程與標準方程相對應好.考點：1.雙曲線的標準方程.2.雙曲線的離心率.13.x年底光伏太陽能板的保有量N為飽和度，為初始值，p該地區2024年底的光伏太陽能板保有量約為20萬塊，以此為初始值，以后每年的增長率均為，飽和度為1020萬塊，那么2030年底該地區光伏太陽能板的保有量約__________萬塊．（結果四舍五入保留到整數，參考數據：，，）【答案】【解析】【分析】把已知數據代入模型，求出對應的值即可．【詳解】根據題意，所給模型中，則2030年底該地區光伏太陽能板的保有量為，因為，所以，所以2030年底該地區光伏太陽能板的保有量約36萬塊.故答案為：36.第10頁/共20頁14.在各棱長均相等的正四面體中，取棱上一點T，使，連接，三棱錐的內切球的球心為M的內切球的球心為N與平面的夾角的正弦值是__________．【答案】【解析】【分析】畫出立體圖形和截面圖形，結合題意分別確定的位置，再由幾何關系求出正弦值.【詳解】設三棱錐的內切球分別與面、面相切于兩點，易知平分，平分，易知，取中點為，則在的平分線上，同理三棱錐的內切球球心在的角平分線上，易知面，故，同理，于是為平面與平面的夾角的平面角，設正四面體棱長為，則，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，，，，上的點E滿足第11頁/共20頁．（1）求證：平面；（2）求平面CBE與平面ABE夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）由題意可得平面，可得，結合已知可證平面；（2）建立空間直角坐標系，求得平面和平面，利用向量法可求兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以，又因為，，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，，平面平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，第12頁/共20頁則，設，則，因為，所以，解得，所以，所以，設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面一個法向量為，設平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數．（1）若在處的切線斜率為，求；（2）若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）第13頁/共20頁（2）【解析】1）求出函數的導函數，由計算可得；（2，函數的單調性，求出函數的最小值，即可得解.【小問1詳解】因為，所以，依題意，解得；【小問2詳解】因為的定義域為，又，所以恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調遞增，又，，所以使得，即，，則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即實數的取值范圍為.第14頁/共20頁17.13張大小質地完全相同的卡牌中有八張數字牌，正面標有1~8，此外還有五張字母牌，正面標有A~E，將這十三張牌隨機排成一行．（1）求五張字母牌互不相鄰的概率；（2）求在標有8的卡牌左側沒有數字牌的概率；（3）對于給定的整數，記“在標有k的數字牌左側，沒有標號比k小的數字牌”為事件，求k的式子表示）【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用古典概型概率公式和排列數的計算公式可求解；（2）利用古典概型概率公式和排列數的計算公式可求解；（3）利用古典概型概率公式和排列數的計算公式可求解.【小問1詳解】記五張字母牌互不相鄰為事件為，則；【小問2詳解】記在標有8的卡牌左側沒有數字牌為事件，由于標的牌都在標有的牌的右側，有種排法，所以；【小問3詳解】標號比小的自牌有張，比大的自牌有張，.18.已知集合，集合B滿足．第15頁/共20頁（1）判斷，，，中的哪些元素屬于B；（2）證明：若，，則；（3）證明：若，則．【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】1）根據所給定義判斷元素的倒數是否屬于即可；（2）先證明若，，則，即可得到，從而得證；（3）依題意可得，從而求出，再說明即可.【小問1詳解】因為，所以；因為，所以；因為沒有倒數，所以；因為，所以；綜上可得，.【小問2詳解】先證明：若，，則；設，，為整數，所以，由于，都是整數，所以，當，時，，，所以，所以；第16頁/共20頁【小問3詳解】因為，所以，所以，都是整數，所以為整數，所以，假如，則，則應為的倍數，設為整數，若，則不是的倍數；若，則不是的倍數；若，則不是的倍數；所以，即.19.，右頂點為，且它們的交點分別為，，，．（1）求與的標準方程；（2）過點作直線MN，交于點M，交于點N，設直線的斜率為，直線的斜率為，第17頁/共20頁求（3）點是上的動點，直線交于點，直線交于點，直線交于點，直線與直線交于點N，求點G坐標，使直線NG與直線NH合）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）首先求出，再代入即可得到答案；（2）設，計算得，結合其在橢圓上，代入化簡即可得，同理，則得到斜率比值；（3）設直線，聯立橢圓方程得到，則得到的坐標，再計算得，，設，計算化簡得，則得到定點坐標.【小問1詳解】由題