2023年中考數學難點突破——圓的綜合題1.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O為△ABC的外接圓．(1)如圖1，求證：AD是⊙O的切線；(2)如圖2，CD交⊙O于點E，過點A作AG⊥BE，垂足為F，交BC于點G．①求證：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的長．2.給出如下定義：對于的弦和外一點（，，三點不共線，且，在直線的異側），當時，則稱點是線段關于點的關聯點．圖1是點為線段關于點的關聯點的示意圖．在平面直角坐標系中，的半徑為2．(1)如圖2，，．在，，，三點中，是線段關于點的關聯點的是；(2)如圖3，，，點是線段關于點的關聯點．①的大小為；②在第一象限內有一點，點是線段關于點的關聯點，求點的坐標；③點在直線上，當時，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．3.如圖，在的內接四邊形中，是它的對角線，的中點是的內心．(1)當，重合時，直接寫出，的位置關系，數量關系,直接判斷四邊形的形狀．(2)找出所有與線段相等的線段，并說明理由．(3)求，的面積之比．(4)若，設為，的面積為，求出與之間的函數關系式．4.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為點在軸的正半軸上，且，以點為圓心，1為半徑畫，與軸交于點（點在點的下方），點是的中點，點是上的一個動點，從點開始以5度/秒的速度沿圓周逆時針運動一周，設運動時間為t秒．(1)如圖1，連接，當時，求t的值；(2)如圖2，點P在運動過程中，連接，以為邊在左側作等邊，①當秒時，求點的坐標；②連接，當最大時，求此時t的值和這個最大值．5.如圖1，是半圓O的直徑，是一條弦，的平分線交半圓O于點D．交于點G，于點E，交于點F，連接．(1)求證：；(2)過作的切線交延長線于點，如圖2，當是中點時，求的值；(3)圖1中，若，，求的長．6.如圖1，AB是⊙O的直徑，點P在⊙O上，且PA=PB，點M是⊙O外一點，MB與⊙O相切于點B，連接OM，過點A作AC∥OM交⊙O于點C，連接BC交OM于點D．（1）填空：OD=AC；求證：MC是⊙O的切線；（2）若OD=9，DM=16，連接PC，求sin∠APC的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，延長OB至N，使BN=，在⊙O上找一點Q，使得的值最小，請直接寫出其最小值為．7.如圖1，在平面內點A，B，P，滿足，若，則稱點P，B是點A的直角等腰點；若，則稱點P，B是點A的銳角等腰點．（1）如圖2的網格中，A，B為格點，在圖中分別畫出格點P，使得點P，B是點A的直角等腰點或銳角等腰點．（2）如圖3在平面直角坐標系中，點P在該直線：上點D在x軸上，半徑為3的⊙D與x軸交于點C（在點D的左邊）．①當時，點C的坐標為，若點P，C是原點O的銳角等腰點，求P的坐標．②若時，點C在點A的右邊，點E在⊙D上，在直線l上恰好存在三個點P，使得點P，E是點C的直角等腰點，求P的縱坐標．8.如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長線相交于點，，．是的外接圓，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）在（2）的條件下，當時，求的值．9.已知：△ABC內接于⊙O，過點A作⊙O的切線交CB的延長線于點P，且∠PAB=45°．（1）如圖1，求∠ACB的度數；（2）如圖2，AD是⊙O的直徑，AD交BC于點E，連接CD，求證：ACCD；（3）如圖3，在（2）的條件下，當BC4CD時，點F，G分別在AP，AB上，連接BF，FG，∠BFG=∠P，且BF=FG，若AE=15，求FG的長．10.如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC＝4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF＝，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ＝3x．(1)用關于x的代數式表示BQ＝，DF＝．(2)當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．(3)當點P在點A右側時，作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為2，求AP的長．11.〖特例感知〗（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點D，，，求點D到直線AB的距離．〖類比遷移〗（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點D，過點D作，垂足為點E，探索線段AB，BE，BC之間的數量關系，并說明理由．〖問題解決〗（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內接四邊形，，BD平分，，，求的內心與外心之間的距離．12.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為直徑，連結AC，BD交于點E，弦CF⊥BD于點G，連結AG，且滿足∠1＝∠2．（1）求證：四邊形AGCD為平行四邊形．（2）設tanF＝x，tan∠3＝y，①求y關于x的函數表達式．②已知⊙O的直徑為2，y＝，點H是邊CF上一動點，若AF恰好與△DHE的某一邊平行時，求CH的長．③連結OG，若OG平分∠DGF，則x的值為．13.如圖1，為銳角三角形的外接圓，點D在上，交于點E，點F在上，滿足交于點G，，連結，．設．(1)用含的代數式表示．(2)求證：．(3)如圖2，為的直徑．①當的長為2時，求的長．②當時，求的值．14.綜合實踐：在數學綜合實踐課上，第一小組同學展示了如下的操作及問題：如圖1，同學們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對折后劣弧恰好過圓心，同學們用尺子度量折痕的長約為，并且同學們用學過的知識驗證度量的結果是正確的．驗證如下：如圖1，過點作于點，并延長交虛線劣弧于點，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據勾股定理得，，∴，通過計算：，同學們用尺子度量折痕的長約為是正確的．請同學們進一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點，劣弧沿弦折疊后經過的中點，求弦的長（結果保留根號）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點，若，，求弦的長（結果保留根號）．15.如圖，AB是⊙O的直徑，