歷史視角的“無理數(shù)”概念教學(xué)思考

劉洪超周楊【Summary】無理數(shù)概念教學(xué)的淺表化現(xiàn)象普遍存在.通過對其中幾個典型表現(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn)，從歷史視角來分析無理數(shù)概念的認知過程，有助于我們找到有效的教學(xué)路徑.人類認知無理數(shù)的歷史表明，無理數(shù)概念建構(gòu)的關(guān)鍵在于認識它與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.因此，無理數(shù)概念教學(xué)的重點應(yīng)該是讓學(xué)生感受"不可公度量"的存在.【Key】無理數(shù);歷史視角;不可公度;教學(xué)路徑2019年5月，筆者有幸參與了某雜志社主辦的初中數(shù)學(xué)錄像課評比活動的第一輪評審.參賽作品中，有多則課例的教學(xué)內(nèi)容為無理數(shù)的概念，雖然它們可能對應(yīng)不同版本的《數(shù)學(xué)》教材，但是教學(xué)的側(cè)重點都體現(xiàn)了執(zhí)教者對無理數(shù)概念的教學(xué)認識.其中普遍存在的一個問題，是無理數(shù)概念教學(xué)的淺表化，引發(fā)筆者對無理數(shù)概念教學(xué)的一些思考.1無理數(shù)概念教學(xué)幾種淺表化表現(xiàn)及其分析1.1集中精力于“一個定義+三種類型”多數(shù)課例中的“無理數(shù)”教學(xué)其實都可以概括為“一個定義+三種類型”.先通過面積為2的正方形的邊長讓學(xué)生感受2的現(xiàn)實存在，然后在幾次估算的基礎(chǔ)上告知學(xué)生2是一個無限不循環(huán)小數(shù)，再以此為基礎(chǔ)給出無理數(shù)的定義：像……這樣的無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).接下來，為了讓學(xué)生能“識別無理數(shù)”，教學(xué)的重心就轉(zhuǎn)移到“常見的類型”的概括上：含不盡根的、人為構(gòu)造的（比如0.1010010001…）、含π的……分析集中精力于“一個定義+三種類型”，能有效地幫助學(xué)生應(yīng)對無理數(shù)概念考查，確保考試的時候“不吃虧”.初中階段對無理數(shù)概念的直接考查，往往也就是一個選擇題：“下列數(shù)中哪一個不是有理數(shù)”.因此，很多老師在中考復(fù)習(xí)的時候仍然沿用這種方法，只不過此時的類型變成四種（比之前多出“非特殊角的三角函數(shù)”類型）.這種教學(xué)其實主要就是死記“類型”，目的只是為了“會做題”.學(xué)生往往不理解無理數(shù)的概念本質(zhì)，只知道這幾種類型的數(shù)對應(yīng)“無限不循環(huán)小數(shù)”.看似簡單易行，效果顯著，其實是弱化了學(xué)生對無理數(shù)概念本質(zhì)的理解，概念沒有真正建構(gòu).1.2通過擲骰子來“創(chuàng)造”無理數(shù)有執(zhí)教者在無理數(shù)的概念教學(xué)中設(shè)計了操作體驗活動：寫一個小數(shù)，整數(shù)部分為0，小數(shù)數(shù)位上的數(shù)字完全由擲骰子決定.學(xué)生每兩人一組，一名學(xué)生負責(zé)擲骰子，另一個學(xué)生負責(zé)記錄.隨著擲骰子的次數(shù)越來越多，小數(shù)點后的數(shù)位上數(shù)字不斷增加，并且隨機產(chǎn)生，沒有規(guī)律……分析通過擲骰子來“創(chuàng)造”無理數(shù)，目的是幫助學(xué)生理解無理數(shù)的“無限”和“不循環(huán)”特征.通過“擲骰子”結(jié)果的隨機性，可以讓學(xué)生體會到自己所創(chuàng)造的“無理數(shù)”小數(shù)位上的數(shù)字“沒有規(guī)律”.但是筆者發(fā)現(xiàn)，這種操作體驗活動不僅不能幫助學(xué)生理解無理數(shù)“無限不循環(huán)”的原因，反而容易給學(xué)生帶來的認知上的誤導(dǎo).關(guān)于這一點，筆者之前曾做過研究，“擲骰子創(chuàng)造無理數(shù)”之后，很多學(xué)生認同“無理數(shù)的大小是不確定的，小數(shù)點后數(shù)位上的數(shù)字是隨機產(chǎn)生的”.也就是說，“擲骰子創(chuàng)造無理數(shù)”很容易導(dǎo)致學(xué)生把“無限”和“不循環(huán)”錯誤地理解為“不確定”.1.3把夾逼估算無理數(shù)作為重點有執(zhí)教者通過面積為2的正方形邊長來說明2的“客觀存在”，接下來將教學(xué)重點放在“2是一個什么樣的數(shù)”上，用“二分法”不斷地夾逼，逐步確定2的個位、十分位、百分位、千分位……最后歸納總結(jié)：“像2這樣的數(shù)，用二分法可以不斷逼近它，但它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).”分析用夾逼法估算2的值，既可以讓學(xué)生在一定程度上體會無理數(shù)的“無限”“不循環(huán)”，又可以讓學(xué)生掌握一種有效的估算策略（“二分法”逼近）.但是，從無理數(shù)概念理解的角度來看，把夾逼估算無理數(shù)作為重點并不能幫助學(xué)生真正理解無理數(shù)與之前的“有理數(shù)”有什么本質(zhì)區(qū)別，其“無理”究竟表現(xiàn)在哪里.有限次的“夾逼”之后，概念的理解其實仍然歸結(jié)為教師的一個告知——“它是無限不循環(huán)的小數(shù)，被稱為無理數(shù).”從思維策略與思想方法的角度來看，“夾逼法估算無理數(shù)”的具有一定的教學(xué)價值，但它不應(yīng)該是無理數(shù)概念教學(xué)的重點.上述幾種教學(xué)表現(xiàn)，其實都只是在圍繞著無理數(shù)的小數(shù)定義（無限不循環(huán)小數(shù)就是無理數(shù)）“打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”，要么是死記定義，要么就是對定義的字面表述進行解釋或者驗證（幫助學(xué)理解“無限”和“不循環(huán)”）.經(jīng)過這樣的無理數(shù)概念學(xué)習(xí)，學(xué)生只是知道“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”，卻不能很好地理解無理數(shù)與之前所學(xué)的有理數(shù)有什么區(qū)別.為什么要提出無理數(shù)的概念？為什么無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？如果學(xué)生對這些問題完全沒有認識，那么無理數(shù)的概念是不可能有效建構(gòu).有研究者發(fā)現(xiàn)，“近60%的學(xué)生關(guān)于無理數(shù)概念的知識點是孤立的，頭腦中缺乏合理的圖式結(jié)構(gòu)”[1].筆者認為，造成這種狀況的主要原因就在于，教師在無理數(shù)的前期教學(xué)中沒有注重概念的實質(zhì)性建構(gòu)，而在后期教學(xué)中又只關(guān)注了化簡與運算.無理數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)的一個難點.概念建構(gòu)的關(guān)鍵在哪里？教學(xué)的重點應(yīng)當(dāng)放在哪里？學(xué)生理解無理數(shù)的困難是什么？怎樣的布局設(shè)計才能更好地幫助學(xué)生突破這個難點？教師只有對這些問題有深入思考與正確認識，才能避免教學(xué)的淺表化.2歷史視角的“無理數(shù)”教學(xué)再認識美國數(shù)學(xué)史家M·kline認為，“歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，正是學(xué)生也會遇到的學(xué)習(xí)障礙”[1].也就是說，如果我們期望尋找無理數(shù)概念教學(xué)的有效路徑，把握其中的難點與關(guān)鍵，那么人類認識無理數(shù)的歷史進程就是最具有借鑒價值的“范本”.2.1人類認識無理數(shù)的歷程在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)之前，人類對數(shù)的認識最具代表性的當(dāng)屬畢達哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”，即自然界中的一切數(shù)量都可以歸結(jié)為整數(shù)或者整數(shù)之比（即有理數(shù)）[2].然而，該學(xué)派的希伯索斯卻發(fā)現(xiàn)了不可公度量的存在.所謂“不可公度”，就是無論如何都找不到一個長度單位，使得兩個線段（比如正方形的對角線與一邊）的長度都表示為整數(shù).這就意味著這兩個線段的長度之比，無法表示成分數(shù).這個發(fā)現(xiàn)直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)基礎(chǔ)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機.其后很長的一段時間，無理數(shù)對人們而言始終如一團迷霧.起初，數(shù)學(xué)家們承認（不得不承認）不可公度量的存在，但是不認為無理數(shù)是“數(shù)”（即將“數(shù)”與“量”分離）[1].直到16世紀(jì)，無理數(shù)才開始被人們接受和使用.但是，一直到18世紀(jì)人們也沒有完全認清無理數(shù)的性質(zhì)，因此對于無理數(shù)本身無法抽象出一個合理的表述方式[3].后來，隨著穩(wěn)定的十進位小數(shù)的表達形式逐漸形成以及超越數(shù)的發(fā)現(xiàn)與證明，人們對無理數(shù)的認識逐漸清晰.19世紀(jì)后期，在數(shù)學(xué)公理化力量的推動下，柯西、康托爾、戴德金等數(shù)學(xué)家分別從不同角度定義了無理數(shù)，使得實數(shù)理論體系趨于完備.在此基礎(chǔ)上，斯托爾茲于1886年證明了“每一個無理數(shù)均可表示成不循環(huán)小數(shù)”，并用這一事實來定義無理數(shù)[4].20世紀(jì)50年代以后，“無限不循環(huán)小數(shù)”定義被教科書廣泛采用[5].2.2無理數(shù)歷史對教學(xué)的啟示歷史上，從無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)到實數(shù)集合的建立，經(jīng)歷了2500多年.由此可以想見，初中學(xué)生在認知無理數(shù)時所需要面對的困難.在無理數(shù)概念發(fā)生與發(fā)展的過程中，一些看似偶然的“關(guān)鍵事件”其實體現(xiàn)了必然的認識順序，這個認識順序可概括如圖1所示.這個漫長而曲折的認識過程給教學(xué)帶來如下啟示：圖1（1）對有理數(shù)本質(zhì)特征的充分認識，是建構(gòu)無理數(shù)概念的基礎(chǔ).無理數(shù)與有理數(shù)最終將一同建構(gòu)為“實數(shù)”的下位概念，學(xué)生原有的“有理數(shù)”概念在此充當(dāng)新概念的“固著點”.如果學(xué)生還沒有認識到有理數(shù)的本質(zhì)特征（可以表示為兩個整數(shù)之比），那么學(xué)生就無法認識到無理數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.（2）不可公度量是無理數(shù)概念的認知起點.歷史上無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是從不可公度量開始的，由“量”到“數(shù)”的過程體現(xiàn)的是從直觀到抽象的認識順序.雖然沒有直接的證據(jù)表明希伯索斯最早是從正方形的邊長和對角線發(fā)現(xiàn)不可公度量的，但是類似根號2這樣的“不盡根”，相比其它無理數(shù)確實具有更簡單的直觀背景，能夠很好地降低推理論證難度，便于學(xué)生理解和接受.（3）邏輯上的證實（比如分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系以及不可公度性的證明）對于初中生來說雖然存在一定的困難，但是推理論證對概念建構(gòu)的促進作用不容忽視.因為邏輯上的支撐，畢達哥拉斯學(xué)派即使將希伯索斯扔進大海，也阻擋不了第一次數(shù)學(xué)危機的到來.回避邏輯論證的無理數(shù)教學(xué)，必然會有太多的告知成份，不僅影響學(xué)生對無理數(shù)的認識信念，也是一種數(shù)學(xué)文化角度的價值流失.（4）無理數(shù)的小數(shù)定義是實數(shù)理論體系完備之后新出現(xiàn)的定義，它對概念建構(gòu)的促進作用不是很大，因為它所反映的無理數(shù)的本質(zhì)是內(nèi)隱的[6].小數(shù)定義的優(yōu)點是使具體的無理數(shù)具有數(shù)量上的直觀性，與數(shù)軸直接對應(yīng)，便于比較和近似計算[3].無理數(shù)的表示定義（不能表示為分數(shù)的數(shù)）雖然沒有被教材作為定義使用，但是它在知識建構(gòu)中起到關(guān)鍵作用.綜上所述，筆者認為無理數(shù)概念教學(xué)建構(gòu)的關(guān)鍵在于理解無理數(shù)與有理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，感受不可公度量的存在（包括從邏輯上確認）應(yīng)該是無理數(shù)概念教學(xué)的重點.小數(shù)角度的無理數(shù)定義具有更高的“實用價值”，但是從概念建構(gòu)的角度來看，它只能在概念建構(gòu)后期，作為概念的多角度理解.3對應(yīng)的教學(xué)路徑及難點突破基于以上認識，筆者認為無理數(shù)概念教學(xué)應(yīng)該按照以下順序展開：第①步：揭示有理數(shù)的本質(zhì)特征.這項工作應(yīng)該在之前的有理數(shù)教學(xué)中（比如章小結(jié)的時候）完成.揭示有理數(shù)的本質(zhì)特征，不只是強調(diào)“整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”這個定義，更重要的是要讓學(xué)生認識到將有理數(shù)分為整數(shù)與分數(shù)是完備的.第②步：研究面積為2正方形的邊長.在還沒有學(xué)習(xí)勾股定理的情況下，這個正方形可以由兩個面積為1的正方形剪拼而成（如圖2）.從操作和直觀開始，讓學(xué)生感受到不可公度量的客觀存在.圖2第③步：探討平方為2的正數(shù)（即2）是一個什么樣的數(shù).由有理數(shù)的分類自然想到分類討論：是整數(shù)嗎？為什么？是分數(shù)嗎？為什么？邏輯上的確認在這里是必要的，也是可能的.第④步：反向定義無理數(shù)（不能表示成兩個整數(shù)比的數(shù)稱為無理數(shù)，等同于“不是有理數(shù)的數(shù)是無理數(shù)”）.由此可以認識到數(shù)系擴充的必要性.第⑤步：從小數(shù)角度研究平方為2的正數(shù)（即2）的大小.這里可以引入逼近法，但是最終要引導(dǎo)學(xué)生思考：小數(shù)表示的結(jié)果會不會是有限的？會不會循環(huán)？（與之前有理數(shù)教學(xué)呼應(yīng)）第⑥步：給出無理數(shù)的小數(shù)定義.同時為之前接觸過的超越數(shù)π“確認身份”.在這個認知過程中，存在兩個難點：第一個難點，是有理數(shù)本質(zhì)特征的揭示.因為學(xué)生頭腦中已經(jīng)有了小數(shù)概念，于是將有理數(shù)分為整數(shù)與分數(shù)就必須把“小數(shù)”建構(gòu)進去.學(xué)生當(dāng)前認識到的小數(shù)主要是有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)，兩者與分數(shù)是等價的，可以相互轉(zhuǎn)化.為了便于學(xué)生理解后續(xù)的無理數(shù)定義（指小數(shù)定義），這里既要說明有限小數(shù)與循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，又有必要說明每個分數(shù)都可以轉(zhuǎn)化有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù).考慮到學(xué)生的接受能力，有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分數(shù)，只能具體舉例讓學(xué)生感受（嚴(yán)格證明需要用到級數(shù)求和公式）;任何分數(shù)都能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)或者循環(huán)小數(shù)，可以從除法的角度進行說理：兩個整數(shù)相除，如果除得盡，那就是有限小數(shù);如果除不盡，那么余數(shù)一定比分母小.比分母小的整數(shù)個數(shù)必定是有限的，于是對應(yīng)余數(shù)也是有限的.在余數(shù)有限的情況下無限次除下去，必然會出現(xiàn)余數(shù)相同的情況，一旦余數(shù)相同，就是循環(huán)節(jié)的出現(xiàn).筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在小學(xué)階段除法的經(jīng)驗非常豐富.通過這樣的正向舉例加反向論證，大部分學(xué)生是能理解和接受的.第二個難點，是讓學(xué)生理解無理數(shù)（比如2）不可以表示為分數(shù).教材中往往只采取不完全歸納的方法直接得到結(jié)論，推理論證通常只作為課后的“閱讀材料”.由于教材中所采用的反證法（此略）需要用到“只有偶數(shù)的平方才能為偶數(shù)”，學(xué)生理解起來比較困難.相比而言，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（C.Davies，1798～1876）的證明方法更容易讓初中學(xué)生領(lǐng)會：首先證明平方為2的數(shù)不是整數(shù)（12=1，22=4于是平方為2的正數(shù)介于1和2之間）;然后考慮它是否為分數(shù)，假設(shè)它是分數(shù)，并且可以表示為既約分數(shù)mn，這里m，n互質(zhì)，n≠1，于是m2n2=2.m和n互質(zhì)，那么m2和n2也互質(zhì)，因為m2n2與mn的分子、分母所含的因數(shù)是相同的（只是重復(fù)一次）.這說明m2n2不可能約分得到2，于是之前假設(shè)是錯誤的[5].以上過程中的說理與論證，目的不是要讓學(xué)生掌握相應(yīng)的證明方法，而是讓學(xué)生更好地理解和接受新概念，堅定無理數(shù)的認識信念，感悟無理數(shù)歷史中蘊含的數(shù)學(xué)精神.4結(jié)語匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的兒童應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷.”荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也有類似觀點：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了.”[7]從數(shù)學(xué)史的角度分析與認識數(shù)學(xué)概念，能夠有效地幫助我們理解學(xué)生概念學(xué)習(xí)過程中的實際困難，進而有助于我們找準(zhǔn)教學(xué)著力點，提高教學(xué)的有效性.Reference[1]龐雅麗，李士锜.初三學(xué)生關(guān)于無理數(shù)的信念的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（04）：38-41.[2]潘亦寧.