2022年河南省新鄉市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設f(x)為區間[a，b]上的連續函數，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。A.

B.

C..

D.不能確定

2.

3.A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.以上都不對

4.設z=x3-3x-y，則它在點(1，0)處

A.取得極大值B.取得極小值C.無極值D.無法判定

5.

6.設y=cos4x，則dy=（）。A.

B.

C.

D.

7.f(x)在x=0有二階連續導數，則f(x)在x=0處()。A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.以上都不對

8.設區域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，（）.A.1B.2C.3D.4

9.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

10.

11.

12.

13.

14.設函數f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

15.當x→0時，x2是x-ln(1+x)的()．

A.較高階的無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.較低階的無窮小

16.

17.（）。A.3B.2C.1D.018.A.A.

B.e

C.e2

D.1

19.

20.

二、填空題(20題)21.22.

23.

24.

25.

26.27.28.29.微分方程y'+9y=0的通解為______．

30.

31.

32.函數f(x)=2x2+4x+2的極小值點為x=_________。

33.34.35.36.37.38.設z=x2y+siny，=________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

43.

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.

46.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

47.48.證明：49.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．51.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．52.53.求微分方程的通解．54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．55.56.

57.

58.求曲線在點(1，3)處的切線方程．59.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

60.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.62.63.在曲線y=x2(x≥0)上某點A(a，a2)處作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12．試求：(1)切點A的坐標((a，a2)．(2)過切點A的切線方程．

64.

65.

66.67.68.69.求，其中D為y=x-4，y2=2x所圍成的區域。

70.

五、高等數學(0題)71.

在x=0處()。A.間斷B.可導C.可微D.連續但不可導六、解答題(0題)72.(本題滿分10分)求由曲線y＝3－x2與y＝2x，y軸所圍成的平面圖形的面積及該封閉圖形繞x軸旋轉－周所成旋轉體的體積．

參考答案

1.B本題考查的知識點為定積分的幾何意義。由定積分的幾何意義可知應選B。常見的錯誤是選C。如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤。

2.D

3.D極限是否存在與函數在該點有無定義無關.

4.C

5.C

6.B

7.B；又∵分母x→0∴x=0是駐點；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0處取極大值

8.D的值等于區域D的面積，D為邊長為2的正方形面積為4，因此選D。

9.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

10.C解析：

11.C解析：

12.A

13.A

14.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應選B．

15.C解析：本題考查的知識點為無窮小階的比較．

由于

可知當x→0時，x2與x-ln(1+x)為同階但不等價無窮小．故應選C．

16.A

17.A

18.C本題考查的知識點為重要極限公式．

19.A解析：

20.C解析：

21.3/2本題考查了函數極限的四則運算的知識點。22.

本題考查的知識點為定積分計算．

可以利用變量替換，令u＝2x，則du＝2dx，當x＝0時，u＝0；當x＝1時，u＝2．因此

23.1/21/2解析：

24.

25.(03)(0,3)解析：

26.e-227.1

28.29.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

30.

解析：

31.

32.-133.0．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

34.35.對已知等式兩端求導，得

36.

37.38.由于z=x2y+siny，可知。

39.

40.ln|1-cosx|+Cln|1-cosx|+C解析：

41.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

42.由二重積分物理意義知

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

列表：

說明

50.

51.

52.

53.54.函數的定義域為

注意

55.

56.由一階線性微分方程通解公式有

57.

則

58.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

59.由等價無窮小量的定義可知

60.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

61.

62.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示－個數值”的性質．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．63.由于y=x2，則y'=2x，曲線y=x2上過點A(a，a2)的切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲線y=x2，其過點A(a，a2)的切線及x軸圍成的平面圖形的面積

由題設S=1/12，可得a=1，因此A點的坐標為(1，1)．過A點的切線方程為y-1=2(x-1)或y=2x-1．解析：本題考查的知識點為定積分的幾何意義和曲線的切線方程。本題在利用定積分表示平面圖形時，以y為積分變量，以簡化運算，這是值得注意的技巧。

64.

65.

66.

67.解：對方程兩邊關于x求導，y看做x的函數，按中間變量處理

68.

69.

70.

71.D①∵f(0)=0，f-(0)=0，f+(0)=0；∴f(x)在x=0