上海市浦東新區陸行中學2022年高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則等于．A．

B．C．

D．參考答案：A略2.設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β D．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β參考答案：B【考點】平面與平面之間的位置關系．【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α與β相交或平行；在D中，α與β相交或平行．【解答】解：由設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，則α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正確；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，則α與β相交或平行，故C錯誤；在D中，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α與β相交或平行，故D錯誤．故選：B．3.12名同學合影，站成前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排(這樣就成為前排6人，后排6人)，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是()A.210

B.180

C.840

D.420參考答案：C4.若命題“p∨q”為真，“﹁p”為真，則（

）(A)

p真q真

(B)p假q假

(C)p真q假

(D)p假q真參考答案：D略5.已知，，則“”是“表示橢圓”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】先要理解橢圓方程的基本形式，再利用兩個命題的關系即可得出必要不充分。【詳解】當且時，表示圓，充分性不成立；當表示橢圓時，且，必要性成立，所以“”是“表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．【點睛】本題考查了橢圓方程的基本形式，以及命題之間的關系。6.若函數在R上為減函數，則實數a的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：A7.已知函數f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，則下列結論正確的是（）A．函數f（x）在區間[]上為增函數B．函數y=f（x）+g（x）的最小正周期為2πC．函數y=f（x）+g（x）的圖象關于直線x=對稱D．將函數f（x）的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數g（x）的圖象參考答案：C【考點】二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】將f（x）與g（x）分別化簡，再對A，B，C，D四個選項逐一分析即可．【解答】解：∵f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，y=sinx在[0，]上單調遞增，在區間[，π]上單調遞減，∴f（x）=sin2x在區間[]上單調遞減，故A錯誤；又g（x）=2cos2x=1+cos2x，∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴其周期T=π，由2x+=kπ+（k∈Z）得，x=+，k∈Z，當k=0時，x=；故B錯誤，C正確；對于D，f（x）=sin2xf（x﹣）=sin[2（x﹣）]=﹣sin2x≠1+cos2x=g（x），故D錯誤．綜上所述，只有C正確．故選C．8.若A、B兩點的坐標分別是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），則||的取值范圍是（） A． B． C．（1，5） D．參考答案：B【考點】空間向量的夾角與距離求解公式． 【專題】三角函數的圖像與性質；空間向量及應用． 【分析】根據兩點間的距離公式，結合三角函數的恒等變換，求出||的取值范圍． 【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1）， ∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2 =9+4﹣12（cosacosb+sinasinb） =13﹣12cos（a﹣b）； ∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1， ∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25， ∴||的取值范圍是． 故選：B． 【點評】本題考查了空間向量的應用問題，也考查了三角函數的恒等變換與應用問題，是基礎題目． 9.執行下面的程序框圖，如果輸入的n是4，則輸出的p是()A．8

B．5C．3

D．2參考答案：C10.若焦點在y軸上的橢圓+=1的離心率為，則m的值為（）A． B．C． D．以上答案均不對參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據題意，由橢圓的標準方程分析可得a2=2，b2=m，由橢圓的幾何性質計算可得c的值，進而由離心率公式可得有e===，計算可得m的值，即可得答案．【解答】解：由題意，橢圓的方程為+=1，其焦點在y軸上，其中a2=2，b2=m，則c2=2﹣m，又由其離心率為，則有e===，解可得m=；故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則△ABC的面積為__________.參考答案：【分析】本題首先應用余弦定理，建立關于的方程，應用的關系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點睛】本題涉及正數開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算．12.已知雙曲線=1（a＞b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求出雙曲線的右頂點A（a，0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點及準線方程，根據已知條件得出①及=2c②，求出a=b，即可得雙曲線的離心率．【解答】解：∵右頂點為A，∴A（a，0），∵F為拋物線x2=2py（p＞0）的焦點，∴F（0，），∵|FA|=c，∴①拋物線的準線方程為y=﹣，代入雙曲線的方程得x=±，∴=2c②，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴雙曲線的離心率為．故答案為：．【點評】熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質是解題的關鍵．13.拋擲紅、藍兩個骰子，事件A=“紅骰子出現點”，事件B=“藍骰子出現的點數是偶數”，求參考答案：1/6略14.如圖，；，，；，,二面角的大小為

。參考答案：15.已知集合M={（x，y）|}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠?，則實數a的最大值為

．參考答案：﹣作出函數y=sinx（x≥0）的圖象，以及不等式組表示的可行域，由直線x﹣2y+a=0與y=sinx相切時，設切點為（m，sinm），求出導數和直線的斜率，解方程可得切點和此時a的值，由圖象可得a的最大值．解：作出函數y=sinx（x≥0）的圖象，以及不等式組表示的可行域，當直線x﹣2y+a=0與y=sinx相切時，設切點為（m，sinm），即有cosm=，解得m=，切點為（，），可得a=2×﹣=﹣，由題意可得a≤﹣，即有M∩N≠?，可得a的最大值為﹣，故答案為：﹣．16.為了了解我校今年報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數為12，則報考飛行員的學生人數是

.參考答案：略17.(幾何證明選講)如圖,圓的半徑為1,、、是圓周上的三點,滿足,過點作圓的切線與的延長線交于點,則__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上（含85分）的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（Ⅱ）根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數；（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？參考答案：解：（Ⅰ）其它組的頻率為（0．01+0．07+0．06+0．02）×5=0．8，所以第四組的頻率為0．2，頻率/組距是0.04

頻率分布圖如圖：

（Ⅱ）設樣本的中位數為，則

解得

所以樣本中位數的估計值為（Ⅲ）依題意良好的人數為人，優秀的人數為人抽取比例為1/8，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人法1：記從這5人中選2人至少有1人是優秀為事件M將考試成績優秀的三名學生記為A,B，C，考試成績良好的兩名學生記為a,b

從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab共10個基本事件

事件M含的情況是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9個所以

法2：P=略19.已知函數。（1）過點是否存在曲線的切線?請說明理由；（2）設，求證：存在極小值。參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）設切點坐標為，求得切線方程，將代入得，把方程有解，等價于過點作曲線的切線存在，令，利用導數求得函數單調性與最值，即可求解．（2）由，求得，且，得到函數單調遞增函數，再利用零點的存在定理，即可求解．【詳解】（1）假設存在切線，設切點坐標，則切線方程為，即，將代入得，方程有解，等價于過點作曲線的切線存在，令，所以.當時，，所以當時，，函數在上單調遞增；當時，，在上單調遞減．所以當時，，當時，，所以方程有解；當時，方程無解，綜上所述，當時存在切線；當時不存在切線．（2）由，即則，所以，則，所以函數單調遞增函數，又由，可知存在，使得，即函數存在極值點．【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用，以及利用導數判定函數的極值點問題，其中解答中正確求解函數的導數，合理利用導數與原函數的關系是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．

20.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1上中點，F是AB中點，AC=1，BC=2，AA1=4．（1）求證：CF∥平面AEB1；（2）求三棱錐C﹣AB1E的體積．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（1）取AB1的中點G，聯結EG，FG，由已知條件推導出四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB1E．（2）由=，利用等積法能求出三棱錐C﹣AB1E的體積．【解答】（1）證明：取AB1的中點G，聯結EG，FG∵F，G分別是棱AB、AB1的中點，∴又∵∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF不包含于平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E．（2）解：∵AA1⊥底面ABC，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥CB，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥面ACE，∴點B到平面AEB1的距離為BC=2，又∵BB1∥平面ACE，∴B1到平面ACE的距離等于點B到平面ACE的距離，即為2，∴===．【點評】本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．21.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，、分別是、的中點．求證：（Ⅰ）直線平面．（Ⅱ）平面平面．參考答案：見解析（Ⅰ）證明：∵、分別是、的中點，∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，又平面平面且平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．22.（本小題滿分14分）設數列的前項和為，已知（，、為常數），，，．（1）求、的值；（2）求數列的通項公式；（3）是否存在正整數，，使得成立？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）解：，

……（1分）解答

．

…………（3分）（2）由（1）知，