2022年江蘇省常州市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設y1、y2是二階常系數線性齊次方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，C1、C2為兩個任意常數，則下列命題中正確的是A.A.C1y1+C2y2為該方程的通解

B.C1y1+C2y2不可能是該方程的通解

C.C1y1+C2y2為該方程的解

D.C1y1+C2y2不是該方程的解

2.

3.A.A.e2/3

B.e

C.e3/2

D.e6

4.設()．A.A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

5.

6.

7.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

8.

9.

10.平面π1：x－2y＋3z＋1＝0，π2：2x＋y＋2＝0的位置關系為（）．A.A.垂直B.斜交C.平行D.重合11.A.1B.0C.2D.1/212.A.A.

B.

C.

D.

13.

14.平面的位置關系為()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

15.

16.A.A.1

B.

C.m

D.m2

17.

18.

19.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

20.設函數y=(2+x)3，則y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

二、填空題(20題)21.

22.過點(1，-1，0)且與直線平行的直線方程為______。

23.

24.

25.二階常系數線性微分方程y-4y＋4y=0的通解為__________．

26.27.28.y=ln(1+x2)的單調增加區間為______．

29.

30.設函數f(x)有一階連續導數，則∫f'(x)dx=_________。

31.32.已知當x→0時，-1與x2是等價無窮小，則a=________。33.

sint2dt=________。

34.

35.曲線y=1-x-x3的拐點是__________。

36.37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．43.44.證明：45.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則46.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

47.

48.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．49.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．50.51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.

53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．54.

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．58.求微分方程的通解．59.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

60.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.判定y=x-sinx在[0，2π]上的單調性。

67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.平面x+y一3z+1=0與平面2x+y+z=0相互關系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.B

3.D

4.D

5.A

6.D

7.C

8.D解析：un、vn可能為任意數值，因此正項級數的比較判別法不能成立，可知應選D。

9.C解析：

10.A本題考查的知識點為兩平面的關系．

兩平面的關系可由兩平面的法向量n1，n2間的關系確定．

11.C

12.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

13.D

14.A本題考查的知識點為兩平面的關系。兩平面的關系可由兩平面的法向量，n1，n2間的關系確定。若n1⊥n2，則兩平面必定垂直．若時，兩平面平行；

當時，兩平面重合。若n1與n2既不垂直，也不平行，則兩平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，應選A。

15.D解析：

16.D本題考查的知識點為重要極限公式或等價無窮小量代換．

解法1

解法2

17.A

18.A

19.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

20.B本題考查了復合函數求導的知識點。因為y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

21.22.本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，-1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

23.

24.

本題考查的知識點為隱函數的微分．

解法1將所給表達式兩端關于x求導，可得

從而

解法2將所給表達式兩端微分，

25.26.3(x－1)－(y＋2)＋z＝0(或3x-y＋z＝5)．

本題考查的知識點為平面與直線的方程．

由題設條件可知應該利用點法式方程來確定所求平面方程．

所給直線z的方向向量s＝(3，－1，1)．若所求平面π垂直于直線1，則平面π的法向量n∥s，不妨取n＝s＝(3，－1，1)．則由平面的點法式方程可知

3(x－1)－[y－(－2)]＋(z－0)＝0，

即3(x－1)－(y＋2)＋z＝0

為所求平面方程．

或寫為3x-y＋z－5＝0．

上述兩個結果都正確，前者3(x－1)－(y＋2)＋z＝0稱為平面的點法式方程，而后者3x-y＋z－5＝0

稱為平面的－般式方程．

27.28.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區間為(0，+∞)．

29.0

30.f(x)+C

31.32.當x→0時，-1與x2等價，應滿足所以當a=2時是等價的。

33.

34.

35.(01)

36.37.由可變上限積分求導公式可知

38.1/61/6解析：

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.由等價無窮小量的定義可知

46.

47.

48.

列表：

說明

49.函數的定義域為

注意

50.

51.

52.

則

53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

54.由一階線性微分方程通解公式有

55.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

56.

57.

58.59.由二重積分物理意義知

60.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

61.

62.

63.

64.

65.

66.因為在[02π]內y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-