第十五章虛位移原理理論力學

§15–1約束?虛位移?虛功

§15–2虛位移原理第十五章虛位移原理動力學第十五章虛位移原理2在這本章，將介紹普遍適用于研究任意質點系的平衡問題的一個原理，它應用功的概念分析系統的平衡問題。從位移和功的概念出發，得出任意質點系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，是解決靜力學平衡問題的另一途徑；不僅如此，將它與達朗伯原理相結合，組成了動力學普遍方程，為求解復雜系統的動力學問題提供了另一種普遍方法，構成了分析力學的基礎。

動力學第十五章虛位移原理3動力學第十五章虛位移原理§15-1約束?虛位移?虛功平面單擺曲柄連桿機構例如：即限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束。表示這些限制條件的數學方程稱為約束方程。（1）幾何約束和運動約束1．約束及其分類下面從不同角度對約束分類。如圖所示，質點M在固定曲面上運動，其曲面方程就是該質點的約束方程，即限制質點或質點系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構中的限制條件都是幾何約束。動力學第十五章虛位移原理5動力學第十五章虛位移原理當約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。如圖所示，車輪作純滾動。幾何約束運動約束當約束條件與時間有關，并隨時間變化時，這類約束稱為非定常約束。（2）定常約束和非定常約束約束條件不隨時間改變的約束為定常約束。定常約束方程中不顯含時間，前面的例子中約束條件都是定常約束。例如右圖，重物M由一條穿過固定圓環的細繩系住。初始時擺長

l0,勻速v拉動繩子。約束方程為動力學

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非定常約束定常約束（3）其他約束若約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動約束），而且方程不可能積分為有限形式，即約束方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，這類約束稱為非完整約束。一般非完整約束方程只能以微分形式表達。動力學第十五章虛位移原理反之，若約束方程中不包含坐標對時間的導數，或者約束方程中的微分項可以積分為有限形式，這類約束稱為完整約束。例如上述做純滾動的車輪的約束就是完整約束。

完整約束的一般形式為(1)幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。(2)非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。

式中n

為質點系的質點數，s為完整約束的方程數。8如下圖，剛性桿限制了質點M沿桿拉伸和壓縮方向的位移，這類約束稱為雙側約束（或固執約束）。若剛性桿改為繩，則只限制質點或質點系單一方向運動，該類約束稱為單側約束（或非固執約束）。顯然雙側約束方程為等式，單側約束方程為不等式。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l2本章只討論定常的雙側幾何約束，其方程一般形式為式中n為質點系的質點數，s為完整約束的方程數。動力學第十五章虛位移原理9

確定一個受完整約束的質點系的位置所需的獨立坐標的數目，稱為該質點系的自由度的數目，簡稱為自由度。例如,前述曲柄連桿機構例子中,確定曲柄連桿機構位置的四個坐標xA、yA、xB、yB須滿足三個約束方程,因此有一個自由度。2．自由度、廣義坐標一般地，受到s個約束的、由n個質點組成的質點系，其自由度為用來確定質點系位置的獨立參數，稱為廣義坐標。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可取線位移（x,y,z,s

等）也可取角位移（如q,,

等）。在完整約束情況下，廣義坐標的數目就等于自由度數目。動力學

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10某瞬時，質點系中的質點發生的為約束允許的任意無限小位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號表示虛位移。3．虛位移如圖，系統中質點在平衡時本來是不動的，但我們設想在約束允許條件下，給某個質點一個任意的、極其微小的位移。動力學

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M11動力學

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實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發生的。

實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。

實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。實位移與虛位移的區別對于非定常約束，如圖所示，由于實位移與時間有關，而虛位移是將時間固定后，約束允許的位移，此時實位移不再是虛位移之一。*質點系中各質點的實虛位移之間存在著一定的關系,確定這些關系通常有兩種方法：(1)幾何法。由運動學知，質點的位移與速度成正比，可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。動力學

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(2)解析法。質點系中各質點的坐標可表示為廣義坐標的函數（q1,q2,……,qk），廣義坐標分別有變分，各質點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為動力學

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14[例1]

分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移的關系。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標。幾何法動力學

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15將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標的函數，得解析法對廣義坐標求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：動力學

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16動力學

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力在質點發生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。4．虛功虛功有正功和負功，它盡管和實位移中的元功采用了同一符號dW，但它們之間有本質區別，虛功是假象的，不是真實發生的。在靜止質點系或機構中，力沒有做任何功，但力可以有虛功。如果在質點系的任何虛位移上，所有約束力所做虛功的和等于零，稱這種約束為為理想約束。質點系受有理想約束的條件：

5．理想約束*在動能定理一章中已分析過光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿、不可伸長的柔索、固定端等約束均為理想約束。現從虛功的角度分析，這些約束也為理想約束。動力學

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18§15-2虛位移原理如圖，設一質點系靜止平衡，任取一質點，則該質點也處于靜止平衡狀態，有若給某一質點一虛位移，則作用在該質點上力的虛功之和為對質點系所有質點，都可以得到上面同樣的等式，把這些等式相加，得動力學

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19動力學

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如果質點系具有理想約束，則約束力在虛位移中所作的虛功和為零，即可以證明，上式不僅是質點系平衡的必要條件，也是充分條件，所以可得結論：對于具有理想約束的質點系，其平衡的充分必要條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和為零。這個結論稱為虛位移原理，也稱虛功原理，上式又稱虛功方程。該方程也可寫成解析式：*上面的推導證明了虛位移原理的必要性，下面給出其充分性：

在方向上產生實位移，取，則對質點系：而理想約束下與前題條件矛盾故時質點系必處于平衡。動力學

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充分性：即質點系滿足，質點系一定平衡。若，而質點系不平衡，則至少有第i個質點不平衡。即21

*虛位移原理的應用1、系統在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；2、求系統在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構架內二力桿的內力。注意:虛位移原理的條件是質點系應具有理想約束，但也可以用于非理想約束的情況，只要把非理想約束力當作主動力，在虛功方程中計入非理想約束力所作的功即可。動力學

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[例2]

圖示橢圓規機構，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力大小P1和P2之間的關系。解：研究整個機構。系統的所有約束都是完整、定常、理想的。動力學

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231、幾何法：給A以虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得虛功方程：由的任意性，得動力學

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24

2、解析法由于系統為單自由度，可取為廣義坐標。由于任意，故動力學

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25ABFF'2l如圖所示，在螺旋壓榨機的手柄AB上作用一在水平面內的力偶（F，F

'），其力偶矩等于2Fl。設螺桿的螺距為h，求平衡時作用于被壓榨物體上的壓力。動力學

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[例4]動力學

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研究以手柄、螺桿和壓頭組成的平衡系統。若忽略螺桿和螺母間的摩擦，則約束是理想的。計算所有主動力在虛位移中所作虛功的和，列出虛功方程給系統以虛位移，將手柄按螺紋方向轉過極小角δj，于是螺桿和壓頭得到向下位移δs。作用于平衡系統上主動力為：作用于手柄上的力偶(F，F')，被壓物體對壓頭的阻力FN。FNABFF'FN2lδφδs解：動力學

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將上述虛位移δs與δj

的關系式代入虛功方程中，得由機構的傳動關系知：對于單頭螺紋，手柄AB轉一周，螺桿上升或下降一個螺距h，故有即解得因δj

是任意的，故所求的壓力與阻力的大小相等、方向相反。FNABFF'FN2lδφδs動力學

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29[例6]

多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應的約束反力。動力學

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30動力學

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31例7：如圖所示為連續梁。載荷F1=800N，F2=600N，F3=1000N，尺寸a=2m，b=3m，求固定端A的約束力。aaaaaabABCDEFGHF1F2F3動力學

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動力學

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動力學

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用幾何法求各點的虛位移。由圖可知：

1.為了求出固定端A的約束力偶MA，可將固定端換成鉸鏈，而把固定端的約束力偶視作為主動力。(a)解：EABCDFGHF1F2F3δjjδyF1δyB1δyG1δyD1δyH1yMA設桿系的虛位移用廣義坐標的獨立變分δj

表示，有動力學

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因廣義坐標的獨立變分δj

為任意微量代入式(a)得故動力學

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EABCDFGHF1F2F3δjjδyF1δyB1δyG1δyD1δyH1yMA

2.為了求出固定端A的約束力FA，應將A端約束換成鉛直滾輪，而把固定端的鉛直約束力FA視作為主動力。(b)用幾何法求各點的虛位移。因桿AB只能平動，故：設桿系的虛位移用廣義坐標的獨立變分δyA表示ABCDEFGHF1F2F3yδyAδyF2δyB2δyG2δyD2δyH2FA動力學

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代入式（b）得因，故動力學

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ABCDEFGHF1F2F3yδyAd

yF2δyB2δyG2δyD2δyH2FA例8桿OA可繞O轉動，通過滑塊B可帶動水平桿BC，如圖所示。忽略摩擦及各構件重量，求平衡時力偶矩M與水平拉力F之間關系。MθOACBFxhxC動力學

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給桿OA以虛位移δθ，點C有相應虛位移δrC

，虛功方程為注意，且由虛速度之比等于虛位移之比，有由圖示幾何關系，解出以OA為動系，B為動點