?電動力學第三版?chapter4_7高斯光束§4.7高斯光束內容概要1.亥姆霍茲方程的波束解

2.高斯光束的傳播特性由于波動的特點,波束在傳播過程中一般不能保持截面不變,因而波束寬度一般是z的函數.當波束變寬時,場強也相應減弱,因此波幅一般也為z的函數.以u(x,y,z)代表電磁場的任一直角分量,考慮到上述這些特點,我們設u具有如下形式：如果電磁波具有確定的沿z軸方向的波矢量,eikz就是唯一的依賴于z的因子.但是具有確定波矢量的電磁波是廣延于全空間的平面波,因此任何有限寬度的射束都不能具有確定的波矢量.代表沿z軸方向的傳播因子

是限制束的空間寬度的因子,由于射束不能有完全確定的波矢量,因此束的寬度應為z的緩變函數.因子g(z)主要表示波的振幅,同時也含有傳播因子中與純平面波因子eikz偏離的局部.令(x,y,z)是z的緩變函數.因此,射束只能有大致確定的傳播方向,而因子eikz表示依賴于z的主要因子.電磁場的任一直角分量u(x,y)滿足亥姆霍茲方程所謂緩變是相對于eikz而言的.因子eikz當z時已有顯著變化,我們假設(x,y,z)當z~時變化很小,因此在它對z的展開式中可以忽略高次項.把代入,忽略2/z2項,得那么式中撇號表示對z的導數.上式應對任意x,y成立,因此兩方括號內的量應等于零.由此得f(z)和g(z)滿足的方程假設這兩方程有解,就得到我們所設的嘗試解.這解與橫截面坐標x,y有關的局部完全含于高斯函數中,其他因子僅為z的函數.(A為積分常數)(u0為積分常數)A一般是復數.但A的虛數局部可以用一項(2i/k)z0抵消,即我們總可以選z軸的原點,使A為實數.取A為實數,可以把f(z)寫為令那么f(z)可寫為嘗試解的高斯函數為函數g(z)的表示式可寫為最后得光束場強函數現在討論光束場強函數式的意義波束寬度由(z)代表.由光束場強函數式,在z＝0點波束具有最小寬度,該處稱為光束腰部.離腰部愈遠處波束的寬度愈大.2.高斯光束的傳播特性

式中因子ei是相因子,其余的因子表示各點處的波幅.是限制波束寬度的因子.因子u00/是在z軸上波的振幅.u0是波束腰部的振幅.因子0/表示當波束變寬后振幅相應減弱.波的相位為,波陣面是等相位的曲面,由方程=常數確定.當z=0時=

0,因此z=0平面是一個波陣面.即在光束腰部處,波陣面是與z軸垂直的平面.由于當z2>>x2＋y2時,距腰部遠處,當遠處等相面時可略去項.遠處等相面方程為時,/2,因此在討論等相面方程可寫為或因此,在遠處波陣面變為以腰部中點為球心的球面.波陣面從腰部的平面逐漸過渡到遠處的球面形狀

.在遠處(z>>k02)

注意當0愈小時,發散角愈大.因此如果要求有良好的聚焦(0小),那么發散角必須足夠大;如果要求有良好的定向(小),那么寬度0不能太小.例：0=1000時,=(103/)rad.波束的發散角由tan=/z確定,由上式得以上我們分析了一種最簡單的波模.射束還可以有其他波模.有些波模的徑向分布不是簡單高斯函數,另一些波模不具有軸對稱性.這些波模的特點都是在橫截面上含有一些波節(場強為零之點),因而在橫截面上光強顯示出明暗相間的圖樣.正如在波導中的一般波動詩歌中波模的疊加一樣,一般射束也可以分解為各種波模的疊加.具體情況系下產生的射束的形狀由激發條件決定.

偏離軸向的波矢橫向分量為kk

,滿足k