1第一類(對弧長)第二類(對坐標)兩類之間的關系標準形式物理意義計算方法相似處不同處曲線積分L指曲線AB1.都是化曲線積分為定積分計算。2.都要把曲線表示式代入被積函數。積分下限<

上限L方向：從AB積分下限為起點A的t值上限為終點B的t值此處下限是

,上限是....2第一類(對面積)第二類(對坐標)兩類之間的關系標準形式物理意義計算方法曲面積分指空間曲面為有向曲面...“一代二換三投影”“一代二投三定號”3（解決平面的曲線積分與二重積分的聯系問題）3.格林公式LDDLl(逆)(順)則有其中L是

D

的整個正向邊界曲線.若：特殊情況(D是復連通的)下，格林公式成為：注：(逆)(逆)44.平面曲線積分的四個等價命題.曲線積分和曲面積分的應用:填空.....⌒⌒6一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統一積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終7(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關的等價條件;(3)利用Green公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用Stokes公式;(5)利用兩類曲線積分的聯系公式.2.基本技巧8oxyA(-1,0)B(0,1)C(1,2)解類型：I型曲線積分其中，...解:化為參數方程則它在第一象限部分為利用對稱性,得提示:解:,圓的形心在原點,故利用形心公式oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)解類型：II型曲線積分方法I：

直接計算.1..⌒⌒也可以用下面的方法：oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解類型：II型曲線積分

貼補，用格林公式.1.

先x..⌒方法II：提示:故提示:解:添加輔助線如圖,利用格林公式.解方法：21xyoL用格林公式..0t2C..解:令則有可見,在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關.思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點的單連通區域內積分與路徑無關！內容小結2425第一類曲線積分和第二類曲線積分的關系特殊情形282930解...(1)(2)..證:令則可知存在原函數或判別:求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關的條件.1.求原函數

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.全微分方程解:因為故這是全微分方程.則有因此方程的通解為法1法2此全微分方程的通解為,則有兩邊對y求導得④⑤由④得與⑤比較得因此方程的通解為解:∴這是一個全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或提示:第四節提示:二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉化二重積分(1)選擇積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關坐標面思考題1)二重積分是哪一類積分?答:

第一類曲面積分的特例.2)設曲面問下列等式是否成立?

不對!

對坐標的積分與的側有關2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3)兩類曲面積分的轉化解:

在xOy

面上的投影為

故oxyz解類型：II型曲面積分由第一卦限和第二卦限中的錐面1和2構成.其上側在yOz平面的投影為負；其上側在yOz平面的投影為正.hyzohz=yDyzDyz圖形？.12...也可以用下面的方法：oxyz解類型：II型曲面積分需貼補側面（右側）和半圓頂面半圓（下側）.hhDxy圖形？.方法II:

貼補，用高斯公式..半圓利用高斯公式計算二類曲面積分注意：１．加的面不要太多．２．所得三重積分易算．解:提示:

然后用高斯公式.53解:

取足夠小的正數,

作曲面則第二項添加輔助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!得56解57根據對稱性可知解:利用對稱性用重心公式利用對稱性可知解:利用重心公式解分析:

若將曲面分為前后(或左右)兩片,則計算較繁.則解:

取曲面面積元素解:取

則思考: