1三角函數系的正交性函數展開成傅里葉級數問題的提出第七節傅里葉(Fourier)級數2一、問題的提出在自然界和人類的生產實踐中,周而復始的現象,周期運動是常見的.如行星的飛轉,飛輪的旋轉,蒸氣機活塞的往復運動,物體的振動,聲、光、電的波動等.數學上,用周期函數來描述它們.最簡單最基本的周期函數是諧函數周期振幅時間角頻率初相

簡諧波

簡諧振動正弦型函數3如矩形波不同頻率正弦波除了正弦函數外,常遇到的是非正弦周期函數,較復雜的周期現象逐個疊加分解456789設想一個較復雜的周期運動(如矩形波)分解為簡諧振動的迭加.會給分析問題帶來方便.

是把一個復雜的周期函數f(t)反映在數學上,的迭加,表示為各類正弦函數諧波分析或再利用三角恒等式,變形為即10

三角級數？函數f(t)滿足什么條件,系數才能展為如何確定?

為簡便計,先來討論以為周期的函數f(x),解決上述問題起著關鍵作用的是:三角函數系的正交性(orthogonality).三角級數?11三角函數系二、三角函數系的正交性的正交性是指:其中任何兩個不同的函數的乘積在一個周期長的區間

而任一個函數的自乘(平方)在即有12131.傅里葉系數利用三角函數系的正交性兩邊積分三、函數展開成傅里葉級數14利用三角函數系的正交性15利用三角函數系的正交性16傅里葉系數由這些系數作成的三角級數則17稱為函數f(x)(誘導出)的傅里葉級數,f(x)

注f(x)的傅里葉級數不見得收斂；即使收斂，級數的和也不一定是f(x).不能無條件的下面的傅里葉級數收斂定理回答了我們.所以,把符號“”它的傅里葉級數收斂，記為當f(x)滿足什么條件時，并收斂于f(x)本身?換為“=”.182.狄利克雷(Dirichlet)充分條件狄利克雷(德)1805-1859(收斂定理)19當x是f(x)的連續點時當x是f(x)的間斷點時當時由定理可知:在f(x)的連續點處,都收斂到f(x)自身即使有間斷點,函數也有傅氏級數,間斷點上級數不收斂到函數值,只不過在而是收斂到間斷點處左右極限的算術平均值即:20(1)函數展開成傅里葉級數的條件比展開成(2)周期函數的三角級數展開是唯一的,就是常說把f(x)在上展開成傅氏級數.(3)要注明傅氏級數的和函數與函數f(x)相等注冪級數的條件低得多;其傅里葉級數,的區域.就是函數在一個周期內的平均值;21周期函數的傅里葉級數解題程序:并驗證是否滿足狄氏條件(畫圖目的:驗證狄氏條件;由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數的工作量);(2)求出傅氏系數;(3)寫出傅氏級數,并注明它在何處收斂于f(x).(1)畫出f(x)的圖形,22解

計算傅里葉系數例1將

f(x)展開為傅里葉級數.

f(x)的圖象2324故

f(x)的傅里葉級數25由于f(x)滿足狄利克雷充分條件,由收斂定理得2627上有定義;(3)F(x)可展為傅氏級數;注作法對于非周期函數,如果f(x)只在區間上有定義,并且滿足狄氏充要條件,也可展開成傅氏級數.(1)f(x)在(周期延拓);級數收斂于28解例2

將函數展開為傅氏級數.拓廣的周期函數的傅氏級數展開式在

計算傅里葉系數所給函數在區間滿足狄氏充要條件,收斂于f(x).29偶函數奇函數30所求函數的傅氏展開式為31基本概念(三角級數、三角函數系的正交性)函數展開成傅里葉級數(傅里葉系數、傅里葉級數、按狄利克雷收斂定理寫出傅里葉級數的和)傅里葉級數的意義