第二章波函數和薛定諤方程微觀粒子具有波粒二象性與經典物理的粒子概念不同需要不同的描述方式經典物理質點動力學：牛頓方程：初始條件主要結論：位置和動量是狀態量；軌道概念，因果律微觀粒子具有波粒二象性沒有軌道概念了！量子力學中需用

波函數取代位置動量（狀態量）

薛定諤方程取代牛頓方程第1(3)節

薛定諤方程-Schr?dingerEquation

怎樣描述這種波動性？從最簡單情況—自由粒子開始微觀粒子具有波動性并滿足德布羅意關系波動方程需1)線性—能說明干涉衍射現象2)系數不含狀態的參量,E,P,等——否則不能被所有可能的態滿足3)滿足自由粒子的能量-動量關系=>量子力學中描述自由粒子波動性的函數應該為后者。自由粒子P,E常數=>相應波動k,ω常數——平面波。經典物理中這種波動可用下列函數之一描述第1(3)節

薛定諤方程-Schr?dingerEquation自由粒子情況自由粒子情況一般情況Schr?dingerEq.薛定諤方程是量子力學的基本假設。正確性—由實驗檢驗。1、Ψ稱為波函數2、它是非相對論性方程3、因果律4、推廣到多粒子系統5、另一種描述方式Heisenberg描述（1925年）。1887年生、1926年提出、1933年獎第2(1)節

波函數的統計解釋波函數的統計解釋（Born1926年，1954年獎）：粒子在空間中某點r附近dτ體積微元中出現的幾率正比于。注：波動性是與一個粒子聯系，不是多粒子效應。幾率波強度決定粒子出現在空間某處的概率，不能決定它何時處于空間某處。沒有軌道的概念了！波函數它描述系統的狀態，它是復函數幾率密度

Ψ與cΨ（)描述同樣狀態。可歸一性歸一化波函數仍然可差一個常相位因子它滿足標準化條件——單值、有限、連續（包括一階空間導數）第3(2)節

態疊加原理態疊加原理：如果是系統可能的狀態，則它們的線性疊加態也是系統的的一個可能狀態。其中是復數。為了說明干涉、衍射等現象，量子力學中假定態疊加原理成立。注意量子力學的態疊加原理與經典的波疊加原理有差別量子力學的態疊加原理可只涉及一個粒子的波動性。例如一個粒子的態的解釋下面的單光子Mach-Zehnder（馬赫—曾德爾）干涉儀的實驗清楚說明了這一事實！BSBeamSplitter單光子Mach-Zehnder干涉實驗光子計數器單光子經典：2個計數器都有50%概率計數量子：只有A計數器計數附錄Mach-Zehnder干涉儀BSBeamSplitter第4節

粒子流密度(矢量)和粒子數守恒定律Schr?dingerEq.幾率密度隨時間演化由薛定諤方程

幾率守恒方程（連續性方程）幾率流密度矢量波函數標準化條件解釋幾率密度和幾率流連續幾率流有限經典對應：粒子數守恒定律質量守恒定律、電荷守恒定律第5節

定態薛定諤方程習題p522.1和2.2題加Schr?dingerEq.考慮勢能與時間無關情況，即此時，薛定諤方程有分離變量型的解由德布羅意關系知E是系統的能量。t與r是獨立變量=>E是常數=>定態波函數，也稱為定態波函數。定態——由這種波函數描述的狀態，其能量為確定值。定態薛定諤方程決定—定態波函數和E—能量容許值它也稱為能量本征值方程此時的含時薛定諤方程的一般解第5*節——一維定態薛定諤方程的幾個定理一維定態薛定諤方程定理1一維束縛定態非簡并束縛態

粒子不能跑到無限遠去，即簡并、非簡并

以能量本征值方程

為例說明證：定理2若則一維束縛定態有確定的宇稱證：顯然若是定態薛定諤方程的束縛定態解，則也是。因此，由定理1知道逸出功~幾電子伏~幾埃第6節

一維無限深勢阱—求解定態薛定諤方程的例子勢能是物理模型：金屬中的電子忽略：1)多維——容易推廣2)多電子效應3)周期勢——固體物理內容4)室溫時，可認為是無限深勢該簡化模型能夠說明若干量子特征并說明了求解薛定諤方程的一般步驟第6節

一維無限深勢阱—求解定態薛定諤方程的例子勢能是一維定態薛定諤方程粒子不能在阱外，所以時特別地在阱內（），定態薛定諤方程為其一般解是邊界條件歸一化條件

時只有零解和第6節

一維無限深勢阱—求解定態薛定諤方程的例子勢能是定態能量是定態波函數是1）能量量子化基態、激發態、基態能量不為零！2）定態波函數3）駐波條件4）經典對應5）波函數導數不滿足標準化條件第6節

一維無限深勢阱—多維推廣3維推廣定態能量是定態波函數是在時能態數能態密度第6-1節

一維有限深勢阱為什么要畫成對稱形式？分區寫出薛定諤方程是我們現在關心的束縛態情況時只有零解時不是束縛態解波函數有限條件定理若則一維束縛定態有確定的宇稱第6-1節

一維有限深勢阱再注意和滿足在邊界連續=>偶宇稱情況同理得奇宇稱情況因此能量E決定于奇偶第7節

一維線性諧振子—求解定態薛定諤方程的例子諧振子是物理中非常重要的模型1)穩定點附近的運動

2)波色場量子化問題諧振子勢能可寫成化簡：定態薛定諤方程漸近行為波函數有限令和令第7節

一維線性諧振子—求解定態薛定諤方程的例子該方程是標準的方程—結論定態薛定諤方程僅當存在滿足波函數為有限的解n次多項式并且若則第7節

一維線性諧振子—求解定態薛定諤方程的例子結果厄米多項式歸一化常數結論1、能量量子化2、波函數與概率分布3、宇稱4、經典對應—能量、概率分布零點能——量子效應概率分布對稱第7*節

一維線性諧振子—推廣平移注意能量波函數半壁無限高能量波函數第7*節

一維線性諧振子—推廣2維或2自由度能量各向同性、各項異性波函數分離變量方法描述各向同性情況的能級簡并度3維或3自由度各向同性情況的能級簡并度第7*節

一維線性諧振子—推廣最普遍情況——多自由度+交叉項+平移能量旋轉變換正定條件2維或2自由度有交叉項是正定矩陣其中第7*節

一維線性諧振子—推廣基態能量范德瓦爾斯力說明零點能是應該存在的！勢能是定態薛定諤方程經典物理結果全反射全透射第8節

勢壘貫穿—隧道效應—求解定態薛定諤方程例子定態薛定諤方程可寫成與前面束縛態情況的區別量子物理結果完全不同壘外：壘內：解可寫成為物理條件：x>a無反向波先考慮，設第8節

勢壘貫穿—隧道效應—求解定態薛定諤方程例子解定義反射系數和透射系數同理可得在邊界連續隧道效應（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象。它是粒子具有波動性的表現。當然，這種現象只在一定條件下才比較顯著。上圖給出了勢壘穿透的波動圖象。0aV(x)xV0入射波+反射波透射波第8節

勢壘貫穿—隧道效應—求解定態薛定諤方程例子注意這兩種情況都與經典質點的結果不同！近似結果:通常推廣例1:入射粒子為電子。設E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則T≈0.024，可見透射系數迅速減小。質子與電子質量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則T≈2×10-38。可見透射系數明顯的依賴于粒子的質量和勢壘的寬度。量子力學提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功地說明了放射性元素的α衰變現象。例2:入射粒子換成質子。(1)掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項技術上的重大發明，用于觀察表面的微觀結構（不接觸、不破壞樣品）。原理：隧道效應1986年Nobel：魯斯卡（E.Ruska）

1932發明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發明STM隧道效應的應用1991年，恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子拼成了字母IBM，每個字母長5納米！“原子和分子的觀察與操縱”“量子圍欄－掃描隧道顯微術的又一杰作”

48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。(2）金屬電子的場致發射（冷發射）圖（a）欲使金屬發射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發射和光電效應。但是，施加一個外電場，金屬中的電子所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應穿過勢壘漏出，從而導致所謂場致電子發射。圖（b）第2章習題1、(p522.1題)證明在定態中，幾率流密度與時間無關。定態2、若A是常數，計算幾率密度和幾率流密度。3、(p522.2題)由下列定態波函數計算