第三章一元函數(shù)積分學(xué) 引言積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分。不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問(wèn)題提出的，而定積分是作為微分的無(wú)限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計(jì)算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。1/6/20231第三章一元函數(shù)積分學(xué) 引言12/11/本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理（牛頓萊—布尼茨公式）,解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡(jiǎn)單研究廣義積分。1/6/20232本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭本章主要內(nèi)容：第3.1節(jié)不定積分第3.2節(jié)不定積分的計(jì)算第3.3節(jié)定積分第3.4節(jié)定積分的計(jì)算第3.5節(jié)廣義積分1/6/20233本章主要內(nèi)容：第3.1節(jié)不定積分12/11/20223.1不定積分3.1.1不定積分的概念一、不定積分定義在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過(guò)逆運(yùn)算：如：加法的逆運(yùn)算為減法乘法的逆運(yùn)算為除法指數(shù)的逆運(yùn)算為對(duì)數(shù)1/6/202343.1不定積分3.1.1不定積分的概念12/11/微分法：積分法：互逆運(yùn)算1/6/20235微分法：積分法：互逆運(yùn)算12/11/20225原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1在某一區(qū)間上F(x)

f(x)，則稱(chēng)F(x)為f(x)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例： (x2)2x (sinx)cosx所以 x2是2x的一個(gè)原函數(shù) sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)1/6/20236原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1不定積分因?yàn)?x2)

2x，(x21)2x，

(x2ln2)2x設(shè)F(x)、G(x)都是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則：[G(x)F(x)]

G(x)F(x)

f(x)f(x)0從而G(x)F(x)

C即G(x)

F(x)C定理1如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則：f(x)的所有原函數(shù)可表示為F(x)C。1/6/20237不定積分因?yàn)?x2)2x，(x21)不定積分定義定義2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱(chēng)為f(x)的不定積分。記作：如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則由定義有積分號(hào)積分變量被積函數(shù)積分表達(dá)式積分常數(shù)1/6/20238不定積分定義定義2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱(chēng)為f(因?yàn)閤2,sinx分別是2x,cosx的一個(gè)原函數(shù)，所以求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法稱(chēng)為不定積分法或簡(jiǎn)稱(chēng)積分法。積分法是微分法的逆運(yùn)算。1/6/20239因?yàn)閤2,sinx分別是2x,cosx的一個(gè)二、不定積分的幾何意義f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形,稱(chēng)為f(x)的積分曲線。yF(x)yF(x)Cx0yox其斜率都是f(x),所以積分曲線上橫坐標(biāo)相同處切線彼此平行。表示一族積分曲線。1/6/202310二、不定積分的幾何意義f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形,3.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分的基本公式由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。因此，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式。1/6/2023113.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分的基本公不定積分的基本公式1/6/202312不定積分的基本公式12/11/202212不定積分性質(zhì)1.(f(x)dx)

f(x)或df(x)dx

f(x)dx2.F(x)dx

F(x)C或dF(x)

F(x)C1/6/202313不定積分性質(zhì)1.(f(x)dx)f(x)或二、不定積分的運(yùn)算法則1.af(x)dx

af(x)dx2.[f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx1/6/202314二、不定積分的運(yùn)算法則1.af(x)dxaf(例3.1.11/6/202315例3.1.112/11/2022153.2不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計(jì)算不定積分，有時(shí)很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法：換元積分法與分部積分法1/6/2023163.2不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接3.2.1換元積分法

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,使復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的積分,稱(chēng)為換元積分法1/6/2023173.2.1換元積分法 通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,使復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)一、第一類(lèi)換元積分法（湊微分法）例3.2.11/6/202318一、第一類(lèi)換元積分法（湊微分法）例3.2.112/11/20第一類(lèi)換元積分法步驟如下：1/6/202319第一類(lèi)換元積分法步驟如下：12/11/202219例3.2.21/6/202320例3.2.212/11/202220解61/6/202321解612/11/202221解71/6/202322解712/11/202222解81/6/202323解812/11/202223解91/6/202324解912/11/202224續(xù)1/6/202325續(xù)12/11/202225*思考題：1/6/202326*思考題：12/11/202226解11/6/202327解112/11/202227解21/6/202328解212/11/202228解31/6/202329解312/11/202229解41/6/202330解412/11/202230總結(jié)如下：1/6/202331總結(jié)如下：12/11/202231二、第二類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法是利用湊微分的方法，把一個(gè)較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時(shí)不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個(gè)代換x

(t)，而積分

f(x)dx

f[(t)](t)dt可用基本積分公式求解1/6/202332二、第二類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法是利用湊微分的方法，把一定理2設(shè)f(x)連續(xù),x

(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù),且其導(dǎo)數(shù)(t)0,x(t)的反函數(shù)t–1(x)存在且可導(dǎo),并且f[(t)](t)dtF(t)C,則f(x)dxF[–1(x)]C1/6/202333定理2設(shè)f(x)連續(xù),x(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)例3.2.3*1/6/202334例3.2.3*12/11/202234解11/6/202335解112/11/202235解21/6/202336解212/11/202236解31/6/202337解312/11/202237特例用尤拉代換計(jì)算解：1/6/202338特例用尤拉代換計(jì)算解：12/11/202238解41/6/202339解412/11/202239解51/6/202340解512/11/202240解61/6/202341解612/11/202241解71/6/202342解712/11/202242解81/6/202343解812/11/202243解91/6/202344解912/11/202244解101/6/202345解1012/11/202245三.

幾個(gè)積分公式：1/6/202346三.

幾個(gè)積分公式：12/11/202246續(xù)1/6/202347續(xù)12/11/2022473.2.2分部積分法(integrationbyparts)如果u

u(x)與v

v(x)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)

vduudv移項(xiàng)得udv

d(uv)vdu從而 udv

uvvdu這個(gè)公式叫作分部積分公式,當(dāng)積分udv不易計(jì)算，而積分vdu比較容易計(jì)算時(shí)，就可以使用這個(gè)公式。1/6/2023483.2.2分部積分法(integrationbypar例3.2.4*1/6/202349例3.2.4*12/11/202249解1uvuv1/6/202350解1uvuv12/11/202250解2uvuv1/6/202351解2uvuv12/11/202251解31/6/202352解312/11/202252解41/6/202353解412/11/202253解51/6/202354解512/11/202254另解51/6/202355另解512/11/202255解61/6/202356解612/11/202256解71/6/202357解712/11/202257總結(jié)1/6/202358總結(jié)12/11/2022583.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫(xiě)成兩個(gè)多項(xiàng)式的比其中n為正整數(shù),m為非負(fù)整數(shù),a00,b00,設(shè)分子與分母之間沒(méi)有公因子,當(dāng)n＞m時(shí),叫做真分式;當(dāng)mn時(shí),叫做假分式,假分式可以用除法把它化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和。1/6/2023593.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫(xiě)成兩個(gè)多例3.2.5*1/6/202360例3.2.5*12/11/202260解11/6/202361解112/11/202261解21/6/202362解212/11/202262解31/6/202363解312/11/202263續(xù)1/6/202364續(xù)12/11/202264總結(jié)“積不出”的積分：1/6/202365總結(jié)“積不出”的積分：12/11/2022653.2.4*積分表的使用例3.2.61/6/2023663.2.4*積分表的使用例3.2.612/11/2022P112四6(13)1/6/202367P112四6(13)12/11/202267P112四8(3)1/6/202368P112四8(3)12/11/202268解法二1/6/202369解法二12/11/2022693.3定積分在初等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)求有規(guī)則的圖形面積，如三角形、圓形、多邊形的面積，但是對(duì)無(wú)規(guī)則封閉曲線圍成的平面圖形面積如何計(jì)算，就是定積分解決的問(wèn)題。計(jì)算這類(lèi)平面圖形的面積，最終歸結(jié)為求特定結(jié)構(gòu)的和式極限。定積分在科學(xué)技術(shù)和醫(yī)藥等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)將研究它的概念、性質(zhì)、計(jì)算及其應(yīng)用。1/6/2023703.3定積分在初等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)求有規(guī)則的圖形面積，如三3.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程入手，引出定積分的概念。1/6/2023713.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲一、曲邊梯形的面積設(shè)yf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(x)0,則由直線xa,xb,x軸及曲線yf(x)所圍成的圖形aMNb稱(chēng)做曲邊梯形(curvilineartrapezoid)。1/6/202372一、曲邊梯形的面積設(shè)yf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且fabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。abxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）1/6/202373abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。播放1/6/202374觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形曲邊梯形如圖所示在[a,b]內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x1<x2<…<xi1<xi<…<xn1<xnb。將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間[xi1,xi],長(zhǎng)度為xixixi1,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(xi1ixi)。以[xi1,xi]為底,f(i)為高的小矩形面積為：Ai

f(i)xiabxyo1/6/202375曲邊梯形如圖所示在[a,b]內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，趨近于零(0)時(shí)，曲邊梯形面積為：1/6/202376曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，趨近二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度vv(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù),且v(t)0,求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值。1/6/202377二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度vv(t（1）分割：T1t0<t1<t2<…<tn1<tnT2（2）取近似：（3）求和：（路程的精確值）（4）取極限：部分路程值某時(shí)刻的速度1/6/202378（1）分割：T1t0<t1<t2<…<tn1<tn三、定積分的定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內(nèi)任意插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x1<…<xi1<xi<…<xnb。將[a,b]分成n個(gè)長(zhǎng)度為：xixixi1(i1,2,…,n)的小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點(diǎn)i(xi1ixi),作和式：不論小區(qū)間如何劃分以及i如何選取,只要0時(shí)有同一極限存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。1/6/202379三、定積分的定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內(nèi)積分上限積分下限積分和被積表達(dá)式被積函數(shù)積分變量記作：[a,b]積分區(qū)間1/6/202380積分上限積分下限積分和被積表達(dá)式被積函數(shù)積分變量記作：[a,根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程1/6/202381根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程12/11/2關(guān)于定積分定義，有幾點(diǎn)注明：1)定積分是一個(gè)和式的極限，是唯一的一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)和積分上、下限有關(guān)，與積分變量無(wú)關(guān)。即1/6/202382關(guān)于定積分定義，有幾點(diǎn)注明：1)定積分是一個(gè)和式的極限，是2)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在積分區(qū)間有界是可積的必要條件，連續(xù)函數(shù)是定積分存在的充分條件1/6/2023832)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在4)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xb所圍曲邊梯形面積f(x)<0，是一個(gè)負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xb、xc所圍曲邊梯形面積一般地，定積分為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xd所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和1/6/2023844)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線yf(x)和x舉例：用定義求定積分yx2在[0,1]上連續(xù)，定積分存在。故可將[0,1]區(qū)間n等份：0x0<x1<…<xi<…<xn1，且取小區(qū)間的右端點(diǎn)。1/6/202385舉例：用定義求定積分yx2在[0,1]上連續(xù)，定積分存在3.3.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f1(x)

f2(x)在[a,b]上也可積,且性質(zhì)2若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則cf(x)在[a,b]也可積,c為任意常數(shù),且1/6/2023863.3.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)f1(x)、f2(性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b則注：可以證明如果c在[a,b]之外,此性質(zhì)也成立1/6/202387性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b則性質(zhì)4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(x)g(x),則推論1設(shè)m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則1/6/202388性質(zhì)4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(性質(zhì)5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn),使思考：這個(gè)性質(zhì)的幾何意義是？1/6/202389性質(zhì)5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在證性質(zhì)5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上一定有最大值M、最小值m，再由本章推論1可知：再由在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性可知在[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得：1/6/202390證性質(zhì)5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上3.4定積分的計(jì)算3.4.1微積分基本定理一、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.定理3：(x)

f(x)1.函數(shù)的定義：1/6/2023913.4定積分的計(jì)算3.4.1微積分基本定理2.定例3.4.11/6/202392例3.4.112/11/202292例3.4.21/6/202393例3.4.212/11/202293例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達(dá)法則知1/6/202394例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達(dá)法則知12/二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，它是用求原函數(shù)的方法計(jì)算定積分的數(shù)值．定理4若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F(x)是[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則1/6/202395二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Ne例3.4.41/6/202396例3.4.412/11/2022963.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法定理5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);函數(shù)x(t)在區(qū)間[,]上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)。當(dāng)t在區(qū)間[,]上變化時(shí),x(t)的值在區(qū)間[a,b]上變化,且有()a,()b,則1/6/2023973.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法1證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個(gè)原函數(shù)存在，則有：由于(t)連續(xù),f((t))(t)在[,]上連續(xù),從而有原函數(shù)存在,由于F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),F((t))也是f((t))(t)的一個(gè)原函數(shù),由定理4有1/6/202398證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個(gè)原函數(shù)存例3.4.51/6/202399例3.4.512/11/202299例3.4.6思考：幾何意義？1/6/2023100例3.4.6思考：幾何意義？12/11/2022100思考：錯(cuò)在哪里？1/6/2023101思考：錯(cuò)在哪里？12/11/2022101例3.4.7設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2)若f(x)是偶函數(shù),則(1)若f(x)是奇函數(shù),則思考：幾何意義？1/6/2023102例3.4.7設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2證：1/6/2023103證：12/11/20221033.4.3定積分的分部積分法例3.4.81/6/20231043.4.3定積分的分部積分法例3.4.812/11/203.4.4定積分的應(yīng)用一、微元法在應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為定積分。定積分的定義導(dǎo)出有四步： 1.分割 2.近似替代 3.求和 4.取極限1/6/20231053.4.4定積分的應(yīng)用一、微元法12/11/202210具體問(wèn)題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x，在區(qū)間[x,xdx]作微元dAf(x)dx,使得：AdAo(x)2.對(duì)[a,b]上每一點(diǎn)x的微元無(wú)限累加，即這種通過(guò)微元簡(jiǎn)化定積分定義的過(guò)程的作法稱(chēng)為微元法。1/6/2023106具體問(wèn)題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一o(x)1/6/2023107o(x)12/11/2022107例3.4.9已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度是v(t),計(jì)算從時(shí)刻a到時(shí)刻b物體運(yùn)動(dòng)的路程。解：(1)在[a,b]上任取一時(shí)刻t，則時(shí)刻t到tdt時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程微元

ds

v(t)dt（路程速度時(shí)間）(2)所求路程是各微元從a到b的無(wú)限累加求和，也就是微元ds從a到b的定積分1/6/2023108例3.4.9已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度是v(t),計(jì)算從時(shí)二、平面圖形的面積1.沿x軸積分1/6/2023109二、平面圖形的面積1.沿x軸積分12/11/2022102.沿y軸積分1/6/20231102.沿y軸積分12/11/2022110例3.4.10求由兩條曲線y

x2與x

y2圍成的平面圖形面積。xx解：兩條曲線的交點(diǎn)是(0,0)、(1,1)1/6/2023111例3.4.10求由兩條曲線yx2與xy2圍成例3.4.11求拋物線y22x及直線y

x4所圍成圖形的面積。1/6/2023112例3.4.11求拋物線y22x及直線yx41/6/202311312/11/2022113將y作為積分變量,沿y軸積分。1/6/2023114將y作為積分變量,沿y軸積分。12/11/2022114三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看成由一個(gè)平面圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積，叫旋轉(zhuǎn)體(volumesofrevolution)。例如矩形繞它一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周便得到圓柱體，直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)便得圓錐體等等。1/6/2023115三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看成由一個(gè)平面圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周繞x軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：yf(x),xa,xb,y0繞x軸旋轉(zhuǎn)xyf(x)abyxxdx1111111111/6/2023116繞x軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：yf(x),xa,xb,y繞y軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：xf-1(y),x0,yc,yd繞y軸旋轉(zhuǎn)1/6/2023117繞y軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：xf-1(y),x0,yc,例3.4.12求橢圓上半部與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：橢圓上半部的方程為1/6/2023118例3.4.12求橢圓上半部與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積例3.4.13求由拋物線y

x2及直線x2,x軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積解：設(shè)所求體積為V，V圓柱體體積(yx2繞y軸旋轉(zhuǎn)成的體積)1/6/2023119例3.4.13求由拋物線yx2及直線x2,x軸所四、平面曲線弧長(zhǎng)設(shè)yf(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x),求曲線在[a,b]上的弧長(zhǎng)。用微元法,在[a,b]上取小區(qū)間[x,xdx],相應(yīng)地截取一小段弧AD,過(guò)A作切線AC,則BCdy,若dx很小,則ACAD,而1/6/2023120四、平面曲線弧長(zhǎng)設(shè)yf(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f例3.4.14證明半徑為a的圓的周長(zhǎng)為2a。解：設(shè)半徑a的圓的方程為x2y2a2,則1/6/2023121例3.4.14證明半徑為a的圓的周長(zhǎng)為2a。解：設(shè)半徑a的五、變力所作的功我們知道一個(gè)常力F將物體沿力的方向從點(diǎn)a移到點(diǎn)b,所做的功WF(ba)。如何求變力F(x)將物體沿力的方向從點(diǎn)a移到點(diǎn)b所做的功W？在[a,b]內(nèi)任取一點(diǎn)x,小區(qū)間[x,xdx]上功的微元dW

F(x)dx1/6/2023122五、變力所作的功我們知道一個(gè)常力F將物體沿力的方向從點(diǎn)a移到例3.4.15底半徑為3m,高為2m的園錐形水池裝滿了水,欲將池水全部抽出,需作多少功。解：1/6/2023123例3.4.15底半徑為3m,高為2m的園錐形水池裝滿了水,欲六、定積分在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用例3.4.16在測(cè)定病人胰島素時(shí),先讓病人禁食以達(dá)到降低體內(nèi)血糖水平,然后通過(guò)給病人注射大量的糖，假設(shè)測(cè)得病人血液中胰島素的濃度c(t)(單位/ml)符合分段函數(shù)其中K(ln2)/10,時(shí)間t的單位為分鐘,試求血液中胰島素在一小時(shí)內(nèi)的濃度變化的平均值。1/6/2023124六、定積分在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用例3.4.16在測(cè)定病人胰島素解：由函數(shù)的平均值公式，有1/6/2023125解：由函數(shù)的平均值公式，有12/11/2022125例3.4.17假定長(zhǎng)為L(zhǎng),半徑為R的一段血管,左端為相對(duì)動(dòng)脈管,其血壓為p1,右端為相對(duì)靜脈管,血壓為p2,且p1>p2。若血管某截面上某一點(diǎn)與血管中心距離為r,其流速v(r)其中為血液黏滯系數(shù),求單位時(shí)間內(nèi),通過(guò)該截面的血流量Q。1/6/2023126例3.4.17假定長(zhǎng)為L(zhǎng),半徑為R的一段血管,左端為相1/6/202312712/11/2022127解：將半徑為R的截面圓上,求出通過(guò)截面的某個(gè)圓環(huán)的血流量Q的近似值。在[0,R]上任取一點(diǎn)r,在[r,rr]上圓環(huán)面積近似值為2rr,所以在單位時(shí)間內(nèi),區(qū)間上的血流量微元是dQ

v(r)2rr1/6/2023128解：將半徑為R的截面圓上,求出通過(guò)截面的某個(gè)圓環(huán)的血流量Q課堂練習(xí)*1/6/2023129課堂練習(xí)*12/11/2022129思考橢圓繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的體積是否相同，為什么？1/6/2023130思考橢圓繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的體積是否相同，為什么？12/3.5廣義積分在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說(shuō)的定積分了。因此，我們對(duì)定積分作如下兩種推廣，從而形成“廣義積分”的概念。無(wú)窮區(qū)間上廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分1/6/20231313.5廣義積分在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮1/6/202313212/11/20221323.5.1無(wú)窮區(qū)間上廣義積分定義4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,)內(nèi)連續(xù),b是[a,)內(nèi)任一實(shí)數(shù),若極限存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,)內(nèi)的廣義積分,記做并稱(chēng)此時(shí)廣義積分收斂,否則,若不存在,則稱(chēng)此時(shí)廣義積分發(fā)散。1/6/20231333.5.1無(wú)窮區(qū)間上廣義積分定義4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)同樣可定義在區(qū)間(,

b]上的廣義積分f(x)在區(qū)間(,)上的廣義積分,如果對(duì)任意實(shí)數(shù)C,廣義積分都收斂,則稱(chēng)廣義積分收斂或存在,否則稱(chēng)為發(fā)散。1/6/2023134同樣可定義在區(qū)間(,b]上的廣義積分f(x)在區(qū)間(例3.5.1計(jì)算廣義積分1/6/2023135例3.5.1計(jì)算廣義積分12/11/2022135這個(gè)廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)a,b時(shí),雖然圖中陰影部分向左、右無(wú)限延伸,但面積卻有極限值。簡(jiǎn)單地說(shuō),它是位于曲線的下方,x軸上方的圖形面積。1/6/2023136這個(gè)廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)a,b時(shí),雖然圖例3.5.2討論廣義積分?jǐn)可⑿浴?/6/2023137例3.5.2討論廣義積分?jǐn)可⑿浴?2/11/2022133.5.2*無(wú)界函數(shù)的廣義積分1/6/20231383.5.2*無(wú)界函數(shù)的廣義積分12/11/2022138定義5設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù),且如果對(duì)于任意>0,極限存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分,記為并稱(chēng)此時(shí)廣義積分收斂,否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散,其中a稱(chēng)為瑕點(diǎn),此積分也稱(chēng)為瑕積分。1/6/2023139定義5設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù),且如果對(duì)于任意>同樣,若設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù),且任取

>0,則定義廣義積分1/6/2023140同樣,若設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù),且任取>0,則若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)除xc外連續(xù),且任取1>0,2>0,則定義廣義積分只有當(dāng)右邊兩個(gè)極限都存在時(shí),廣義積分才收斂,否則稱(chēng)此廣義積分發(fā)散。1/6/2023141若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)除xc外連續(xù),且任取1>例3.5.3計(jì)算廣義積分解：因?yàn)閤a為瑕點(diǎn)1/6/2023142例3.5.3計(jì)算廣義積分解：因?yàn)閤a為瑕點(diǎn)12/11/例3.5.4判別斂散性解：被積函數(shù)在積分區(qū)間[1,1]上除x0外皆連續(xù)，且并由于所以原廣義積分發(fā)散。1/6/2023143例3.5.4判別斂散性解：被積函數(shù)在積分區(qū)間[1,1]注意：如果疏忽于x0是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)(或無(wú)窮間斷點(diǎn)),就會(huì)得到以下錯(cuò)誤結(jié)果1/6/2023144注意：如果疏忽于x0是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)(或無(wú)窮間斷點(diǎn)),就會(huì)分部積分在廣義積分中的應(yīng)用1/6/2023145分部積分在廣義積分中的應(yīng)用12/11/2022145廣義積分在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用例假設(shè)口服一定劑量的某種藥物后,血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系為：C(t)40(e–0.2t

e–2.3t)研究表明：血藥濃度與時(shí)間曲線下的面積反映藥物吸收程度。代表藥物的生物利用度大小。試求c–t曲線下的面積AUC。1/6/2023146廣義積分在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用例假設(shè)口服一定劑量的某種藥物后,廣義積分在天體物理學(xué)中的應(yīng)用1/6/2023147廣義積分在天體物理學(xué)中的應(yīng)用12/11/2022147萬(wàn)有引力和宇宙速度空間技術(shù)的動(dòng)力學(xué)原理基本上是牛頓力學(xué)。使物體繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的速度被稱(chēng)為第一宇宙速度(7.9km/s)；使物體擺脫地球引力，飛離地球的速度被稱(chēng)為第二宇宙速度(11.2km/s)；使物體擺脫太陽(yáng)引力，飛出太陽(yáng)系的速度被稱(chēng)為第三宇宙速度(16.7km/s)。1/6/2023148萬(wàn)有引力和宇宙速度空間技術(shù)的動(dòng)力學(xué)原理基本上是牛頓力學(xué)。12第二宇宙速度（宇宙飛船脫離地球引力所需速度）1/6/2023149第二宇宙速度（宇宙飛船脫離地球引力所需速度）12/11/201/6/202315012/11/20221501/6/202315112/11/20221511/6/202315212/11/20221521/6/202315312/11/20221531/6/202315412/11/20221541/6/202315512/11/20221551/6/202315612/11/20221561/6/202315712/11/20221571/6/202315812/11/20221581/6/202315912/11/20221591/6/202316012/11/20221601/6/202316112/11/20221611/6/202316212/11/20221621/6/202316312/11/20221631/6/202316412/11/2022164牛頓?艾薩克（1642—1727）最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家。他在1687年7月5日發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》里提出的萬(wàn)有引力定律以及他的牛頓運(yùn)動(dòng)定律是經(jīng)典力學(xué)的基石。牛頓還和萊布尼茨各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分。1/6/2023165牛頓?艾薩克（1642—1727）最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz)是17、18世紀(jì)之交德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書(shū)，涉獵百科，對(duì)豐富人類(lèi)的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。1/6/2023166萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibni第三章一元函數(shù)積分學(xué) 引言積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分。不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問(wèn)題提出的，而定積分是作為微分的無(wú)限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計(jì)算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。1/6/2023167第三章一元函數(shù)積分學(xué) 引言12/11/本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理（牛頓萊—布尼茨公式）,解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡(jiǎn)單研究廣義積分。1/6/2023168本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭本章主要內(nèi)容：第3.1節(jié)不定積分第3.2節(jié)不定積分的計(jì)算第3.3節(jié)定積分第3.4節(jié)定積分的計(jì)算第3.5節(jié)廣義積分1/6/2023169本章主要內(nèi)容：第3.1節(jié)不定積分12/11/20223.1不定積分3.1.1不定積分的概念一、不定積分定義在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過(guò)逆運(yùn)算：如：加法的逆運(yùn)算為減法乘法的逆運(yùn)算為除法指數(shù)的逆運(yùn)算為對(duì)數(shù)1/6/20231703.1不定積分3.1.1不定積分的概念12/11/微分法：積分法：互逆運(yùn)算1/6/2023171微分法：積分法：互逆運(yùn)算12/11/20225原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1在某一區(qū)間上F(x)

f(x)，則稱(chēng)F(x)為f(x)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例： (x2)2x (sinx)cosx所以 x2是2x的一個(gè)原函數(shù) sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)1/6/2023172原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1不定積分因?yàn)?x2)

2x，(x21)2x，

(x2ln2)2x設(shè)F(x)、G(x)都是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則：[G(x)F(x)]

G(x)F(x)

f(x)f(x)0從而G(x)F(x)

C即G(x)

F(x)C定理1如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則：f(x)的所有原函數(shù)可表示為F(x)C。1/6/2023173不定積分因?yàn)?x2)2x，(x21)不定積分定義定義2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱(chēng)為f(x)的不定積分。記作：如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則由定義有積分號(hào)積分變量被積函數(shù)積分表達(dá)式積分常數(shù)1/6/2023174不定積分定義定義2函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱(chēng)為f(因?yàn)閤2,sinx分別是2x,cosx的一個(gè)原函數(shù)，所以求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法稱(chēng)為不定積分法或簡(jiǎn)稱(chēng)積分法。積分法是微分法的逆運(yùn)算。1/6/2023175因?yàn)閤2,sinx分別是2x,cosx的一個(gè)二、不定積分的幾何意義f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形,稱(chēng)為f(x)的積分曲線。yF(x)yF(x)Cx0yox其斜率都是f(x),所以積分曲線上橫坐標(biāo)相同處切線彼此平行。表示一族積分曲線。1/6/2023176二、不定積分的幾何意義f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形,3.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分的基本公式由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。因此，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式。1/6/20231773.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分的基本公不定積分的基本公式1/6/2023178不定積分的基本公式12/11/202212不定積分性質(zhì)1.(f(x)dx)

f(x)或df(x)dx

f(x)dx2.F(x)dx

F(x)C或dF(x)

F(x)C1/6/2023179不定積分性質(zhì)1.(f(x)dx)f(x)或二、不定積分的運(yùn)算法則1.af(x)dx

af(x)dx2.[f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx1/6/2023180二、不定積分的運(yùn)算法則1.af(x)dxaf(例3.1.11/6/2023181例3.1.112/11/2022153.2不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計(jì)算不定積分，有時(shí)很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法：換元積分法與分部積分法1/6/20231823.2不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接3.2.1換元積分法

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,使復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的積分,稱(chēng)為換元積分法1/6/20231833.2.1換元積分法 通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,使復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)一、第一類(lèi)換元積分法（湊微分法）例3.2.11/6/2023184一、第一類(lèi)換元積分法（湊微分法）例3.2.112/11/20第一類(lèi)換元積分法步驟如下：1/6/2023185第一類(lèi)換元積分法步驟如下：12/11/202219例3.2.21/6/2023186例3.2.212/11/202220解61/6/2023187解612/11/202221解71/6/2023188解712/11/202222解81/6/2023189解812/11/202223解91/6/2023190解912/11/202224續(xù)1/6/2023191續(xù)12/11/202225*思考題：1/6/2023192*思考題：12/11/202226解11/6/2023193解112/11/202227解21/6/2023194解212/11/202228解31/6/2023195解312/11/202229解41/6/2023196解412/11/202230總結(jié)如下：1/6/2023197總結(jié)如下：12/11/202231二、第二類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法是利用湊微分的方法，把一個(gè)較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時(shí)不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個(gè)代換x

(t)，而積分

f(x)dx

f[(t)](t)dt可用基本積分公式求解1/6/2023198二、第二類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法是利用湊微分的方法，把一定理2設(shè)f(x)連續(xù),x

(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù),且其導(dǎo)數(shù)(t)0,x(t)的反函數(shù)t–1(x)存在且可導(dǎo),并且f[(t)](t)dtF(t)C,則f(x)dxF[–1(x)]C1/6/2023199定理2設(shè)f(x)連續(xù),x(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)例3.2.3*1/6/2023200例3.2.3*12/11/202234解11/6/2023201解112/11/202235解21/6/2023202解212/11/202236解31/6/2023203解312/11/202237特例用尤拉代換計(jì)算解：1/6/2023204特例用尤拉代換計(jì)算解：12/11/202238解41/6/2023205解412/11/202239解51/6/2023206解512/11/202240解61/6/2023207解612/11/202241解71/6/2023208解712/11/202242解81/6/2023209解812/11/202243解91/6/2023210解912/11/202244解101/6/2023211解1012/11/202245三.

幾個(gè)積分公式：1/6/2023212三.

幾個(gè)積分公式：12/11/202246續(xù)1/6/2023213續(xù)12/11/2022473.2.2分部積分法(integrationbyparts)如果u

u(x)與v

v(x)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)

vduudv移項(xiàng)得udv

d(uv)vdu從而 udv

uvvdu這個(gè)公式叫作分部積分公式,當(dāng)積分udv不易計(jì)算，而積分vdu比較容易計(jì)算時(shí)，就可以使用這個(gè)公式。1/6/20232143.2.2分部積分法(integrationbypar例3.2.4*1/6/2023215例3.2.4*12/11/202249解1uvuv1/6/2023216解1uvuv12/11/202250解2uvuv1/6/2023217解2uvuv12/11/202251解31/6/2023218解312/11/202252解41/6/2023219解412/11/202253解51/6/2023220解512/11/202254另解51/6/2023221另解512/11/202255解61/6/2023222解612/11/202256解71/6/2023223解712/11/202257總結(jié)1/6/2023224總結(jié)12/11/2022583.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫(xiě)成兩個(gè)多項(xiàng)式的比其中n為正整數(shù),m為非負(fù)整數(shù),a00,b00,設(shè)分子與分母之間沒(méi)有公因子,當(dāng)n＞m時(shí),叫做真分式;當(dāng)mn時(shí),叫做假分式,假分式可以用除法把它化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和。1/6/20232253.2.3*有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫(xiě)成兩個(gè)多例3.2.5*1/6/2023226例3.2.5*12/11/202260解11/6/2023227解112/11/202261解21/6/2023228解212/11/202262解31/6/2023229解312/11/202263續(xù)1/6/2023230續(xù)12/11/202264總結(jié)“積不出”的積分：1/6/2023231總結(jié)“積不出”的積分：12/11/2022653.2.4*積分表的使用例3.2.61/6/20232323.2.4*積分表的使用例3.2.612/11/2022P112四6(13)1/6/2023233P112四6(13)12/11/202267P112四8(3)1/6/2023234P112四8(3)12/11/202268解法二1/6/2023235解法二12/11/2022693.3定積分在初等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)求有規(guī)則的圖形面積，如三角形、圓形、多邊形的面積，但是對(duì)無(wú)規(guī)則封閉曲線圍成的平面圖形面積如何計(jì)算，就是定積分解決的問(wèn)題。計(jì)算這類(lèi)平面圖形的面積，最終歸結(jié)為求特定結(jié)構(gòu)的和式極限。定積分在科學(xué)技術(shù)和醫(yī)藥等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)將研究它的概念、性質(zhì)、計(jì)算及其應(yīng)用。1/6/20232363.3定積分在初等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)求有規(guī)則的圖形面積，如三3.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程入手，引出定積分的概念。1/6/20232373.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲一、曲邊梯形的面積設(shè)yf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(x)0,則由直線xa,xb,x軸及曲線yf(x)所圍成的圖形aMNb稱(chēng)做曲邊梯形(curvilineartrapezoid)。1/6/2023238一、曲邊梯形的面積設(shè)yf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且fabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。abxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）1/6/2023239abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。播放1/6/2023240觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形曲邊梯形如圖所示在[a,b]內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x1<x2<…<xi1<xi<…<xn1<xnb。將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間[xi1,xi],長(zhǎng)度為xixixi1,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(xi1ixi)。以[xi1,xi]為底,f(i)為高的小矩形面積為：Ai

f(i)xiabxyo1/6/2023241曲邊梯形如圖所示在[a,b]內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，趨近于零(0)時(shí)，曲邊梯形面積為：1/6/2023242曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，趨近二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度vv(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù),且v(t)0,求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值。1/6/2023243二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度vv(t（1）分割：T1t0<t1<t2<…<tn1<tnT2（2）取近似：（3）求和：（路程的精確值）（4）取極限：部分路程值某時(shí)刻的速度1/6/2023244（1）分割：T1t0<t1<t2<…<tn1<tn三、定積分的定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內(nèi)任意插入n1個(gè)分點(diǎn)：ax0<x1<…<xi1<xi<…<xnb。將[a,b]分成n個(gè)長(zhǎng)度為：xixixi1(i1,2,…,n)的小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點(diǎn)i(xi1ixi),作和式：不論小區(qū)間如何劃分以及i如何選取,只要0時(shí)有同一極限存在,則稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。1/6/2023245三、定積分的定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內(nèi)積分上限積分下限積分和被積表達(dá)式被積函數(shù)積分變量記作：[a,b]積分區(qū)間1/6/2023246積分上限積分下限積分和被積表達(dá)式被積函數(shù)積分變量記作：[a,根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程1/6/2023247根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程12/11/2關(guān)于定積分定義，有幾點(diǎn)注明：1)定積分是一個(gè)和式的極限，是唯一的一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)和積分上、下限有關(guān)，與積分變量無(wú)關(guān)。即1/6/2023248關(guān)于定積分定義，有幾點(diǎn)注明：1)定積分是一個(gè)和式的極限，是2)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在積分區(qū)間有界是可積的必要條件，連續(xù)函數(shù)是定積分存在的充分條件1/6/20232492)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在4)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xb所圍曲邊梯形面積f(x)<0，是一個(gè)負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xb、xc所圍曲邊梯形面積一般地，定積分為曲線yf(x)和x軸及兩條直線xa、xd所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和1/6/20232504)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線yf(x)和x舉例：用定義求定積分yx2在[0,1]上連續(xù)，定積分存在。故可將[0,1]區(qū)間n等份：0x0<x1<…<xi<…<xn1，且取小區(qū)間的右端點(diǎn)。1/6/2023251舉例：用定義求定積分yx2在[0,1]上連續(xù)，定積分存在3.3.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f1(x)

f2(x)在[a,b]上也可積,且性質(zhì)2若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則cf(x)在[a,b]也可積,c為任意常數(shù),且1/6/20232523.3.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)f1(x)、f2(性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b則注：可以證明如果c在[a,b]之外,此性質(zhì)也成立1/6/2023253性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b則性質(zhì)4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(x)g(x),則推論1設(shè)m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則1/6/2023254性質(zhì)4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(性質(zhì)5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn),使思考：這個(gè)性質(zhì)的幾何意義是？1/6/2023255性質(zhì)5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在證性質(zhì)5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上一定有最大值M、最小值m，再由本章推論1可知：再由在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性可知在[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得：1/6/2023256證性質(zhì)5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上3.4定積分的計(jì)算3.4.1微積分基本定理一、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.定理3：(x)

f(x)1.函數(shù)的定義：1/6/20232573.4定積分的計(jì)算3.4.1微積分基本定理2.定例3.4.11/6/2023258例3.4.112/11/202292例3.4.21/6/2023259例3.4.212/11/202293例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達(dá)法則知1/6/2023260例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達(dá)法則知12/二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，它是用求原函數(shù)的方法計(jì)算定積分的數(shù)值．定理4若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F(x)是[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則1/6/2023261二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Ne例3.4.41/6/2023262例3.4.412/11/2022963.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法定理5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);函數(shù)x(t)在區(qū)間[,]上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)。當(dāng)t在區(qū)間[,]上變化時(shí),x(t)的值在區(qū)間[a,b]上變化,且有()a,()b,則1/6/20232633.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法1證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個(gè)原函數(shù)存在，則有：由于(t)連續(xù),f((t))(t)在[,]上連續(xù),從而有原函數(shù)存在,由于F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),F((t))也是f((t))(t)的一個(gè)原函數(shù),由定理4有1/6/2023264證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個(gè)原函數(shù)存例3.4.51/6/2023265例3.4.512/11/202299例3.4.6思考：幾何意義？1/6/2023266例3.4.6思考：幾何意義？12/11/2022100思考：錯(cuò)在哪里？1/6/2023267思考：錯(cuò)在哪里？12/11/2022101例3.4.7設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2)若f(x)是偶函數(shù),則(1)若f(x)是奇函數(shù),則思考：幾何意義？1/6/2023268例3.4.7設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2證：1/6/2023269證：12/11/20221033.4.3定積分的分部積分法例3.4.81/6/20232703.4.3定積分的分部積分法例3.4.812/11/203.4.4定積分的應(yīng)用一、微元法在應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為定積分。定積分的定義導(dǎo)出有四步： 1.分割 2.近似替代 3.求和 4.取極限1/6/20232713.4.4定積分的應(yīng)用一、微元法12/11/202210具體問(wèn)題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x，在區(qū)間[x,xdx]作微元dAf(x)dx,使得：AdAo(x)2.對(duì)[a,b]上每一點(diǎn)x的微元無(wú)限累加，即這種通過(guò)微元簡(jiǎn)化定積分定義的過(guò)程的作法稱(chēng)為微元法。1/6/2023272具體問(wèn)題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一o(x)1/6/2023273o(x)12/11/2022107例3.4.9已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度是v(t),計(jì)算從時(shí)刻a到時(shí)刻b物體運(yùn)動(dòng)的路程。解：(1)在[a,b]上任取一時(shí)刻t，則時(shí)刻t到tdt時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程微元

ds

v(t)dt（路程速度時(shí)間）(2)所求路程是各微元從a到b的無(wú)限累加求和，也就是微元ds從a到b的定積分1/6/2023274例3.4.9已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度是v(t),計(jì)算從時(shí)二、平面圖形的面積1.沿x軸積分1/6/2023275二、平面圖形的面積1.沿x軸積分12/11/2022102.沿y軸積分1/6/20232762.沿y軸積分12/11/2022110例3.4.10求由兩條曲線y

x2與x

y2圍成的平面圖形面積。xx解：兩條曲線的交點(diǎn)是(0,0)、(1,1)1/6/2023277例3.4.10求由兩條曲線yx2與xy2圍成例3.4.11求拋物線y22x及直線y

x4所圍成圖形的面積。1/6/2023278例3.4.11求拋物線y22x及直線yx41/6/202327912/11/2022113將y作為積分變量,沿y軸積分。1/6/2023280將y作為積分變量,沿y軸積分。12/11/2022114三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看成由一個(gè)平面圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積，叫旋轉(zhuǎn)體(volumesofrevolution)。例如矩形繞它一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周便得到圓柱體，直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)便得圓錐體等等。1/6/2023281三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看成由一個(gè)平面圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周繞x軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：y