一．圓的方程 其圓心 2，半徑 2

—當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 2二．點與圓的位置關由圓的標準方程判斷點與圓的位置關系若|CM|>r，則點M在圓外；若|CM|<rM在圓內．點M(m，n)在圓C上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；M(m，n)C內?(m－a)2＋(n－b)2<r2.由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系已知點程Mx2＋y2＋Dx＋Ey Mx＋y Mx＋y 三.特殊位置的圓的方程xa2yb2a2b2a2b2圓心在xxa2y2r2r圓心y軸x2yb2r2r2圓心在xxa2y2a2a圓心在y軸上且過原x2yb2b2b與xxa2yb2b2by軸相xa2yb2a2axa2yb2a2ab四 求與圓有關的動點軌跡問題常用的方法相關點法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點Q(x1，y1)運動而x1，y1可用x，y表示，則可將Q點的坐標代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程．Module1210 法一將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得∴當Δ>0時，即m>0或 3當Δ＝0時，即m＝0或 ＝33法二已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2. ＝1＋m2—當d<2時，即m>0或 —

3當d＝2時，即 ＝或

3d>2時，即－4<m<03規律方 直線與圓位置關系判斷的三種方例2．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關系是 相 D．相交但不過圓答案d解析圓心(1，－1)到直線 d＋＋＝的距離 ＝5習題1.已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則 A．l與C相 B．l與C相C．l與C相 D．以上三個選項均有可答案習題2．(2014高一檢測)直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為 A．0或 C.C.答案＝＝解析＝＝

22

m，解得2習題3．圓x2＋y2＝4上的點到直線x－y＋2＝0的距離的最大值為 222C.C.答案

解析圓心(0,0)x－y＋2＝0d＝22＋習題4．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的關系是 A．相 相 D．相答案解析lA(1,1)，∵12＋12－2×1＝0Ax＝1A且為圓的切線，又l斜率存在，(1)相交 (2)相切 (3)相離 圓的方程化為標準式為故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝ 圓的半徑 所以 2或m>2若相切，則d＝r， m＝±2所以－22<m<22.

圓的切線問題的規律方法：P(x0，y0)求圓的切線方程問題，首先要判斷該點與圓的位置關系，若點在圓外，切斜率)列式，若不已知切點則用d＝r(d為圓心到切線的距離，r為半徑)列式．例1．由點P(1,3)引圓x2＋y2＝9的切線的長 答案解析PO的距離為|PO|＝∴切線長為2.A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1 所以點A在圓外．因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1， 所 ＝1，即|k＋4|＝k所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 ＝－.

8綜上，所求切線方15x＋8y－36＝0或 答案解析根據題意知點(2，－1)3x－4y＋5＝0r＝＝3，所以所求圓的標準方＝0垂直，則 2

2答案解析由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，設切線方x＋ay＋c＝0，再代入點(2,2)，結合圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出a的值． 習題3．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為( C.8

5答案解析P為圓上一點，則有

4－1 4

OP

＝－，∴l＝ ＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l與m的距離為 答案12解析P(3,1)C(1,0)A、BP、A、C、BPC12y∴四邊形PACB的外接圓方

4

∴k2＋1.. ∴所求切線 y＋7＝43或 344x－3y－25＝01lCA，Bdr，弦長為則有

2r2d2d2r2.即ABr2d2xxxxyy22 1k x1 1k1k y11k 法一由x2＋y2－2y－4＝0，得交點A(1,3)，B(2,0)，AB的長為|AB|＝2－12＋0－32＝法二x2＋y2－2y－4＝0，消去yx2－3x＋2＝0.＝10×32－4×2＝10，即弦AB的長為10.法三圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5，其圓心坐標(0,1)，半徑r＝5，點(0,1)到直線l的距離為d 2

＝ 52－ 2＝ 所以弦長|AB|＝2．(2014·重慶高一檢測)x2＋y2－2x－4y＋4＝02，則該直線的方．答案解析設所求直線方y＝kx，即kx－y＝0.由于直線kx－y＝0被圓截得的弦長等于2，圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于 12－22＝0，即圓心(1,2)位于直線kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直線方程是2x－y＝0.習題1.(2013·高考)直線x＋2y－5＋5＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為 D．4答案ABPCPCP⊥ABCABd＝|CP|＝|1＋4－5＋5|＝Rt△ACP中，|AP|＝R2－d2＝2，故直線被圓截得的弦長長為23時，則a等于( A.B．2－A.C. D.答案解析2，且截得弦長的一半為312|a－2＋3|＝1a＝±2－1a>0a＝2－12習題3．若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則弦AB所在直線的方程是( 答案解析CC點坐標(1,0)AB⊥CP，ky＋1＝x－2x－y－3＝0.

＝－1－0＝－1，∴k＝1AB 4y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4M，N兩點，若|MN|≥23k —， —，4 — 3

42— 答案設圓心為C，弦MN的中點為A，當 3時|AC|＝|MC|2－|MA|2＝4－3＝1.∴當 3時圓心C到直線y＝kx＋3的距離∴|3k－2＋3| 4習題5．在平面直角坐標系xOy中，若曲線與直線x=m有且只有一個公共點，則實數m= 與直線L：x=m（L∥y軸）有且只有一個公共點Module2①外離（4條公切線：d＞r1②外切（3條公切線：d=r1③相交（2條公切線：|r1﹣r2|＜d＜r1+r④內切（1條公切線：d=|r1﹣r2⑤內含（無公切線：0＜d＜|r1﹣r2(2)代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷C2

例1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系為( D．內答案解析O1的圓心坐標為(1,0)r1＝1O2的圓心坐標為(0,2)－r1<|O1O2|＝5<r1＋r2＝3例2．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點坐標為 A．(1,0)和 D．(－1,0)和答案x2＋y2＝1，解析

或習題1．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為( D．相答案解析兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)23d＝42＋1＝ 答案解析直線AB的方：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分線斜率為－1，過圓心(1,0)，方y＝－(x－1)，即兩圓連心線．習題3．兩圓（x﹣m）2+y2=9和x2+（y+n）2=4恰有3條公切線，則m+n的最大值為 A．10 C．5【解答】解：∵兩圓（x﹣m）2+y2=9x2+（y+n）2=43故選C．習題4．兩個圓C1：x2+y2+2x+2y+1=0，C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切線有 條【解答】C1的方（x+1）2+（y+1）2=1C1（﹣1，﹣1，半徑1，C2（x﹣2）2+（y﹣1）2=4C2（2，1，2，故兩圓相離，所以兩圓的公切線有4條，習題5．圓C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0與圓C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切線長【解答】解：圓C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，可得C1（﹣1，﹣1，半徑與圓C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，可得C2（2，1|C1C2|==則四邊形C1EFC2是矩形．兩圓相切時常用的性質有：則兩圓相切外切例1．兩圓x2＋y2＝r2與(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，則r的值是 B. 102答案解析由題意可知∴r＝22x2＋y2－2x＝0x3y＝0M(3，－3)解設所求圓的方(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則a－12＋b2＝r＋1，①b＋

|a＋2聯立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－43，r＝6，即所求圓的方(x－＝4x2＋(y＋4習題1．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是( C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 解析設動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則＋7)2＝25；若動圓與已知圓內切，則 答案解析C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑長為3，圓＝4的圓心為(m，－1)2.C1、C2外切時有－2－m2＋m＋12＝3＋2內切時有3m＋2＝0m＝－1 a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②聯立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方若兩圓內切，則有a－22＋b＋12＝|2－1|＝1，③圓與圓相交問題．答案

y1)B(x2y2)∵A，B 程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑 5

1∴|AB|＝2 32－5 15即兩圓的公共弦長 5 答案C2(2,1)＝20<|C12|<4＋r2，所以兩圓相交，從而兩圓有兩條習題2．以原點O為圓心且截直線3x＋4y＋15＝0所得弦長為8的圓的方程 答案＝解析原點O到直線的距離d＝ 是x2＋＝習題3求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公 聯立兩圓的方程得方程

法一則A，B兩點坐標滿足方程

所以|AB|＝－4－02＋0－22＝25，即公共弦長為25.法二得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標為(1，－5)半徑r＝52x－2y＋4＝0＝3＝350＝(35)2＋l2l＝52l＝2 設所求圓的方(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0①，已知圓的方程為x2＋y2－3x＝0 所在直線的方x＋2y－5＋r2＝0，又此直線經過點(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圓的方Module3規律方 解決直線與圓的方程的實際應用題時應注意以下幾個方面11.63.6)A．1.4C．3.6B．3.5D．2答案在圓的方：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米30km40km處，如果這艘輪解輪船的初始位置所對應的點的坐標為l的方4x＋7y－28＝0.

d＝ ＝28習題1．要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水．假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是 正方形面積為256，故至少三個龍頭．水．當用四個龍頭時，可將正方形均分四個由于故選B．習題2.臺風中心從A地以20千米/時的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區為區，城市B在A的正東40千米處，B城市處于區內的時間為( A．0.5小 B．1小C．1.5小 D．2小答案Ay＝x上移動，B(40,0)y＝xd＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20EF時，B城市處于區內，時間為t＝20千米＝120千米/東偏南θ角方向300km的海面P處并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km10km/h的速度不斷增大．【解答】解：（1）…（1分）A（0，0，設t小時風中心P的坐標為（x，y，則，此時臺風的半徑為60+10t，（2）由（1）知t小時風侵襲的范圍可視為以為圓心60+10t 解得12≤t≤24…（1分）上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？（精確到0.1m，）過拱橋最高點且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，（﹣16，0（16，0（08．又圓心CyC（0，b．…（3分）因為|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…（6分所以圓拱所在圓的方：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（8分分在圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直線x＋y＋1＝0的距離為2的點共有 A．1 B．2C．3 D．4答案2解析圓心為(－1，－2)，半徑r＝22，而圓心到直線的距離 2

3設兩圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離 B．4D．8C∵兩圓與兩坐標軸都相切，且都經過點則有a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個根，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝ 答案(0,2解析P點到直線l的距離25Pl0<r<2直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝1－x2有兩個公共點，則b的取值范圍 答案[1，lblAB重合時，b＝1；當直線l與半圓相切時，b＝2.b的取值范圍是[1，2)．.答 解析

＝ ＝2設公共弦長為

22＝．答案曲線化為(x－6)2＋(y－6)2＝18其圓心C 2d 到直線＋－＝的距離為 2d

x＋y－2＝0的距離為52－3

220的半徑長為2.C的坐標為(x，y0)，則|x0＋y0－2|＝220

2x＝2(x＝0舍去)解圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圓心為(－1，－2)8282 2＋解得 ＝3綜上所述，滿足題設的l方x＝－4或求y－2的最大值與最小x－2y的最大解顯然y－2可以 ∴k＝3± 故y－2的最大值是3＋

3－，最小值 5＝1u＝－2±5x－2y的最大值是－2＋5，最小值是－2－lAM，N兩點，QMNll1P.當 19時，求直線l的方程解(1)A5＝2＝5＝2＝∴圓A的方∵|MN|＝2∴|AQ|＝則由|AQ|＝ ＝，得＝4直線方綜上，直線l的方x＝－2或已知直線l：y=x+2C（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0截得的弦AB的長等于該圓的已知直線m：y=x+n被圓C（x﹣32+（y﹣22=r2（r＞0截得的弦與圓心構成三角形∵直線l：y=x+2被圓（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦長等于該圓的∴三角形的高等于邊長的∴圓心C到直線l的距離等于邊長的∵直線方x﹣y+2=0，圓心的坐標為（3，2，∴圓心到直線的距離d==∴r=，∴圓C的方（x﹣3）2+（y﹣2）2=6CE．在△CDE中，∵DE=∴ 當且僅當h2=6﹣h2，即h2=3，解得h=時，△CDE的面積最大∵CH=∴n=，∴存在n的值，使得△CDE的面積最大值為此時直線m的方y=x C.C.答案解析y＝xx2＋y2＝1C(0,0)，

B.B.圓x2+y2=1和4x2+4y2﹣16x﹣8y+11=0的公切線的斜率 【解答】解：4x2+4y2﹣16x﹣8y+11=0可化為（x﹣2）2+（y﹣1）2=設公切線的斜率是k，切線方y=kx+b， 故答案為：C1x2+y2﹣2x﹣3=0C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）∵聯 ∴兩圓的交點坐標分別為A（1，﹣2）B（3，0）．因此，兩圓的公共弦方程是x﹣y﹣（1≤x≤3已知直線x﹣y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B兩點，且AC⊥BC，則實數a的值為0或6 C（﹣1，2∴圓心C到直線AB的距離d=，即d==，即解得a=0或a=6，x2+y2=1x1CC的方程是 ，若過點（3，0）的直線l和圓C相切，則直線l的斜率 ．大值為..【解答】解C1的圓心C1（a，0，半徑r1=2，C2的圓心為C2（0，b，r2=1，又a≥0，b≥0，x+y﹣2=0x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是 x+y﹣2=0的距離為其到直線的距離為，圓心坐標為（2，2．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2若直線y=kx+2與（x﹣22（y﹣32=1有兩個不同的交點則k的取值范圍是 ） 解得k∈（0，）P3x+4y+8=0上的動點，PA，PBx2+y2﹣2x﹣2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為．C（1，1切線長PA，PB最小【解答】解：由兩個圓的方程1（x+1）2+（y+12=4，C2（x﹣22+（y﹣1）2=4可求得圓心距d=∈（0，4，r1=r2=2，且r1﹣r2＜d＜r1+r2，故兩圓相交．求兩圓C1：x2+y2=16，C2（x﹣4）2+y2=4（t，0y=k（x﹣8∴兩圓1：x2+y216，C2（x﹣4）2+y2的外公切線方程是y=±（x﹣8．判斷兩圓的位置關系 （2）若相交請求出兩圓公共弦的長【解答】解：（1）C1：x2+y2+6x﹣4=0和圓C2：x2+y2+6y﹣28=0化為標準形（x+3）2+y2=13因為R﹣r＜d＜R+r，所以，兩圓相交．圓C1：x2+y2+6x﹣4=0到公共弦的距離 所以所求方x2+y2+3x+3y﹣16=0．（﹣2，3半徑為1；C2：x2+y2﹣2x﹣14y+k=0，可化為（x﹣1）2+（y﹣7）2=50﹣k，圓心為（1，7，半徑為（1）|﹣1|＜＜（2）|﹣1|=或+1=5，∴k=14或（3）＞（x+k）2+（y+2k+52=5（k+12﹣k=∴圓心距為 已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線證明因為l的方(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所x＝3，所以點A在圓C內，解＝－ ＝－2又l過點A(3,1)，所以l的方

解法一y－3 x－3法二Q兩點都在已知圓上， ① ② 2121(x2－x2)＋(y2－y2)－6(