第一章量子力學基礎第一章量子力學基礎§1經典物理學與舊量子論的局限一、經典物理學力學方面——

Newton力學體系經典物理學體系電、磁、光學方面——

Maxwell方程組熱現象方面——熱力學及Boltzmann、Gibbs等人建立的統計物理學這些理論構成了一個完整的體系，可以解釋各種常見的物理現象。宏觀體系微觀體系但是，單就力學體系而言，其討論對象又分兩大類第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學§1經典物理學與舊量子論的局限一、經典物理學力學方面——相對論力學兩個主要結果：a.物體的質量m和v有關，v越大，m也越大。在v=0時物體的質量稱為靜止質量（m0），。當v?c時，m=m0，相對論力學又還原為經典力學。1.宏觀體系①服從牛頓力學的宏觀體系：速度遠小于光速，v<<c，c=3×1010

cm·s-1，此時②服從相對論力學的宏觀體系：v<<c，此時b.質能聯立方程：質量m和能量E在數量上的聯系第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學>>1.宏觀體系相對論力學兩個主要結果：1.宏觀體系①服從牛頓力學的宏觀2.微觀體系服從量子力學。微觀物理現象兩個基本特征：①能量量子化②具有統計的特性，符合測不準原理所以微觀粒子的運動規律不服從經典力學而服從量子力學。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學>>2.微觀體系2.微觀體系服從量子力學。微觀物理現象兩個基本特征：①能二、舊量子論的局限1.黑體輻射第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>1.黑體輻射但隨著科學的發展，又發現了一些新的實驗現象，用經典物理學理論無法解釋。其中三個最著名的實驗現象是黑體輻射、光電效應和原子光譜。

黑體定義——能吸收全部外來電磁波的物體。黑體輻射定義——當將黑體加熱時能發射出各種波長的電磁波。經典電磁理論的解釋——假定黑體輻射是由黑體中帶電粒子振動發出的。經典熱力學和統計力學理論計算得到的黑體輻射能量隨波長的變化同實驗所得的曲線相矛盾二、舊量子論的局限1.黑體輻射第一節經典物理學與舊量子論能量量子化的概念1900年，Planck提出了能量量子化的概念：假設黑體中帶電粒子以頻率ν作簡諧振動，能量ε只能取采取一個最小能量hv的整數倍，ε=nhv，n=0，1，2，……，h=6.62610-34J·s-1。這個假設稱為能量量子化假定。用這一觀點可以很好的解釋黑體輻射現象。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>1.黑體輻射能量量子化的概念1900年，Planck提出了能量量子化的概2.光電效應1905年，愛因斯坦(Einstein)提出了光子說：光是一束光子流，有一定的能量E和動量P，其大小由v及λ決定E=hv，P=h/λ光電效應——一定條件下，光照射到金屬表面時可能產生光電流的現象。光電效應實驗現象——能否產生光電流及光電子的運動能大小只與光的頻率有關，與光的強度無關。經典理論觀點——認為是光的強度而不是光的頻率決定了能否產生光電流及光電子的動能的大小，頻率只決定光的顏色。只有當v足夠大時，吸光后的電子才有可能克服金屬晶格的束縛而逸出金屬表面變成光電子，并在電場作用下從陰極飛向陽極產生光電流。不同的金屬有不同的臨閾頻率v0，v越大，光電子的E越大。這就成功解釋了光電效應的實驗現象。入射光的v超過v0才可能產生光電子，且第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>2.光電效應2.光電效應1905年，愛因斯坦(Einstein)提出3.原子光譜經典理論：①原子中的電子不斷發射出電磁波的結果勢必是其能量逐漸衰減，最后掉到原子核中，原子便不能穩定存在；②由于能量逐漸變化，發射出的電磁波的頻率也隨之而變并連續分布。——是由電子繞核運動加速運動發射出電磁波產生的實驗現象：原子光譜的分布是一條條分立的譜線而不是連續光譜。1913，Bohr提出了原子結構的Bohr理論：

①假定電子繞核作圓周運動能穩定存在；

②在一定的軌道上運動的電子有一定的能量——定態；

③定態能量只能取一些分立的數值，是量子化的；

④原子由一種定態(Em)變到另一種定態(En)過程中發射或吸收電磁波；

⑤電磁波的頻率v由決定：|Em-En|=hv。推廣：Sommerfeld推廣了Bohr理論，制定更為普遍的量子化條件。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>3.原子光譜3.原子光譜經典理論：——是由電子繞核運動加速運動發射出電4.舊量子理論的成功與失敗成就：①沖破了經典物理學中能量連續變化的束縛；②解釋了許多經典物理學無法解釋的微觀現象。失敗：進一步研究發現，仍與許多事實不符，在某些方面難以自圓其說。例如：①Bohr理論可以很好解釋氫原子和類氫離子光譜，但推廣到多電子分子或原子時不適用；②定態不發出輻射的假定與經典理論矛盾；③量子化的條件無理論基礎，比較生硬；④舊量子論推出周期表中第一周期應有6個元素，但事實只有2個；……以上種種導致舊量子論的失敗。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>4.舊量子理論的成功與失敗4.舊量子理論的成功與失敗成就：①沖破了經典物理學中能量§2光的波粒二象性

一、波動說及光的電磁理論1.光的干涉波動說：光是一種電磁波，波長不同，顏色不同。圖1-1光的干涉波動說可以解釋，在兩個波峰或波谷相遇的地方相互加強，在一個波峰與另一個波谷相遇的地方，兩波相互削弱。

——當光束重疊時出現明暗相間的條紋的現象第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>1.光的干涉§2光的波粒二象性

一、波動說及光的電磁理論1.光的干2.光的衍射圖1-2X射線衍射示意圖——光能夠繞過前面的障礙物而彎曲傳播的現象當一束X光射向晶體粉末時，發現E上出現了一系列明暗相間的同心圓，稱為衍射環或衍射圖X光源晶體粉末屏幕圖1-3光的衍射波動說的解釋——晶體是原子在空間有規則的排列而成，位于同一平面上的原子形成一個晶面，當波長為λ的X射線射入一組面間距為d的晶面上時，一部分光在平面Ⅰ反射，一部分光在平面Ⅱ反射，兩組反射線相遇后相互干涉，產生明暗相間的園環。光的衍射現象同時證明，波動說所預言的光在密介質中的傳播速度比在疏介質中慢。但波動說不能解釋光籍以傳播的介質是什么，于是假定了一種稱為“以太”的物質。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>2.光的衍射2.光的衍射圖1-2X射線衍射示意圖——光能夠繞過前面3.光的電磁理論1864年，Maxwell在前人工作的基礎上，指出電場和磁場的變化不能局限在空間的某一部分，而是以c=3×1010cm·s-1的速度向外傳播著，這稱為電磁波。光是一種波長約為10-310-5cm的電磁波，可見光是波長約為4×10-5cm7.5×10-5cm的電磁波。電磁波是用電場強度向量和磁場強度向量兩個向量的振動表征，它們以相同的位相和相等的振幅在兩個相互垂直的平面內運動，它的傳播速度c的方向與兩個向量的方向垂直。光的電磁理論可以解釋：

①光的反射、衍射、干涉、折射和偏振等現象；②可以證明真空中的光速c=3×1010cm·s-1；③可以說明電磁波的傳播不需要借助于彈性介質，無須引入“以太”的概念。以上種種使光的電磁波理論獲得了極大成功，于是光的波動說又發展成為光的電磁理論，并戰勝了當時盛極一時的粒子說。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>3.光的電磁理論3.光的電磁理論1864年，Maxwell二、光的粒子說1.光電效應Newton為首的粒子說認為：光是直線傳播的粒子流，有不同的種類，因此有不同的顏色光電效應的三條規律：①對于陰極K所用的金屬，有一固定的臨于閾頻率，只有當入射光的頻率＞時才有光電流產生如果＜，則不論光的強度多大，照射時間多長，都沒有光電流產生。不同金屬有不同的臨閥頻率。②

光電子的初動能隨著光的頻率直線增加，而與光的強度無關。③單位時間內光電子的數目即光電流的大小與光子的強度成正比。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>二、光的粒子說>>1.光電效應二、光的粒子說1.光電效應Newton為首的粒子說認為：光2.Einstein光子說①光的能量量子化：每種頻率的光的都有一個最小單位——光量子，或光子，記為E0=。光的能量只能是E0的整數倍。②光子不但具有能量E0，而且還具有質量m。不同頻率的光子具有不同的質量。1905年Einstein提出光子說，成功解釋了光電效應現象。光子說要點：③光子還具有一定的動量：④光的強度取決于光密度ρ——單位體積內光子的數目。2.Einstein光子說①光的能量量子化：每種頻率的光3.光子說對光電效應實驗現象的解釋①當光照射到金屬表面時，光子的能量被電子吸收，能量的分配符合Einstein光電效應方程：②入射光子的頻率越大，電子逸出金屬表面后的初動能越大，且隨頻率直線增加。

m——電子的質量V——電子逸出金屬表面后的運動速度W0——稱為逸出功從上式可以看出，若照射光的頻率不夠大，不足以克服逸出功W0，則不會有光電子發生。③入射光的強度越大，光子的數目越多，因而產生的光電子的數目也增多，但不增加光電子的初動能。

3.光子說對光電效應實驗現象的解釋①當光照射到金屬表面時三、光的本質1.光是物質2.光的波粒二象性光在與實物粒子的相互作用中表現為粒子性，光也不是經典力學中的粒子，但具有經典概念中粒子的某些性質。光光在傳播過程中表現為波動性，光不是經典概念中的波，但具有經典概念中波的某些性質二象性表達EP粒子性波動性可用E、P、ν和λ

表達三、光的本質1.光是物質2.光的波粒二象性光在與實物粒子§3實物粒子的波粒二象性

一、deBroglie假設和deBroglie波實物粒子：電子、中子等靜止質量不等于零的粒子。

deBrolie假設：二象性并不是一個特殊的光學現象，而是具有普遍的意義。

實物粒子也具有波動性，表征實物粒子粒子性的物理量E

和P與表征波動性的物理量v和λ之間的關系：deBrolie關系式：，其中不適用于光。deBrolie波：實物粒子具有的波，或稱物質波。波長由deBrolie關系式確定§3實物粒子的波粒二象性

一、deBroglie假設deBroglie假設推測電子波的波長：電子速度：電子波的波長：deBroglie假設推測電子波的波長：電子速度：電子波二、deBrolie假設的證實——電子衍射實驗1927年Davisson和Germer的電子衍射實驗：實驗結果說明電子具有波動性。通過布拉格公式即可算出電子波的波長λ。n=0,1,2,……這樣計算出來的波長與根據deBrolie關系式計算出來的結果完全一致。這表明，動量為P的自由電子的衍射行為與波長為λ的平面波的衍射行為相同。因此我們說動量為P的自由電子的波長等于。

二、deBrolie假設的證實——電子衍射實驗1927年D三、測不準原理內容：測不準關系式微觀粒子的坐標和動量是不能同時具有確定值的。波動性粒子的特點——不能在同一時刻具有確定的坐標和動量，它的某個坐標被確定的越準，則在此方向上的動量分量就越不準，反之亦然。：波動性粒子在x，y，z方向坐標和動量的不確定程度的乘積關系以Δx和ΔPx分別表示微觀粒子的橫坐標和動量在橫坐標方向上的分量的測定值與平均值之差，則兩者之間的關系為：同理：三、測不準原理內容：微觀粒子的坐標和動量是不能同時具有確定值3.測不準關系可用于檢驗經典力學適用程度經典場合：h是極小的數值，約為0，測不準關系不起作用，波動性不顯著。量子場合：h不能忽略，測不準關系影響大，必須用量子力學方法處理。3.測不準關系可用于檢驗經典力學適用程度經典場合：h是極小§4量子力學的基本假設

一、波函數和微觀粒子運動狀態的描述假設Ⅰ：對于一個微觀體系，它的狀態和有關情況可用波函數Ψ(x,y,z,t)表示，Ψ是坐標(x,y,z,t)的函數，同時也是時間t的函數。例如：一個2電子體系，粒子1和粒子2的坐標分別為(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，則描述體系狀態的波函數Ψ=Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)§4量子力學的基本假設

一、波函數和微觀粒子運動狀態的描述1.波函數頻率為ν，波長為λ的沿著x方向傳播的平面波可用下式表示

既然動量為P的自由電子的衍射行為與波長為的光的衍射行為相似，將和代入上式所得之波就可用來描述自由電子的行為：這就是deBrolie波或物質波。除電子外，質子、中子等一切微觀粒子都具有波動性，其運動狀態都可用一函數Ψ來描述，Ψ

稱為波函數或狀態函數。

1.波函數頻率為ν，波長為λ的沿著x方向傳播的平面波可用下2.波函數的物理意義

(1)描述光或實物粒子的二象性時，不同的性質采用不同的函數：描述粒子性的函數：E，P，ρ描述波動性的函數：hν，h/λ，|Ψ|2|Ψ|2=|Ψ

*Ψ|，Ψ=f+ig，Ψ

*=f–igΨ的物理意義：在時間t在坐標x、y、z附近小體積元dτ內找到粒子的幾率與波函數Ψ(x，y，z，t)的絕對值的平方成正比。

2.波函數的物理意義(1)描述光或實物粒子的二象性時，不(2)幾率：空間某一小體積元dτ內發現粒子數的多少dτ為x到x+dx，y到y+dy，z到z+dz區域，dw(x，y，z，t)表示在時間t和空間dτ內找到電子的幾率，則：K是比例常數。

(3)幾率密度：在時間t及空間某點(x，y，z)單位體積內出現粒子的幾率w(x，y，z，t)稱為幾率密度(2)幾率：空間某一小體積元dτ內發現粒子數的多少dτ為3.歸一化波函數將波函數乘上一個常數因子并不改變它所描述的狀態。

原因：粒子在空間各點出現的幾率密度之比等于波函數在這些點的平方之比，而將波函數乘上一個常數后，它在各點的平方之比并不改變，因而粒子在空間各點出現的幾率密度之比不變，所以粒子所處的物理狀態也就相同。對于單個粒子體系，在整個空間找到粒子的幾率應當等于1，即

由此可以求得常數K歸一化關系式3.歸一化波函數將波函數乘上一個常數因子并不改變它Ψ乘以而得到Φ的過程稱為歸一化。令則：Ψ為未歸一化波函數。歸一化波函數歸一化常數Φ絕對值平方等于幾率密度Ψ乘以而得到Φ的過程稱為歸一化。令Ψ為未歸一化波4.波函數的性質和必須滿足的標準化條件(1)Ψ(x，y，z，t)是微觀粒子運動規律的統計結果，其自身的物理意義不明顯，但其平方則代表幾率密度；(2)KΨ(x，y，z，t)并不改變Ψ所描述的狀態，即與Ψ所描述狀態相同。(3)Ψ(x，y，z，t)必須滿足下面的三個標準化條件才能稱為“品優”波函數。單值、連續、有限（平方可積）4.波函數的性質和必須滿足的標準化條件(1)Ψ(x，y，二、力學量和算符1.算符：假設Ⅱ：對于微觀體系的每一個可觀測力學量都對應著一個線性厄米算符。規定了某種運算的符號稱為算符，或稱為算子

力學量算符化規則：（1）坐標q(x,y,z)和時間t所對應的算符就是坐標和時間自身。若用表示某一算符，表示被施以運算的對象，記為，稱為算符作用于。

二、力學量和算符1.算符：假設Ⅱ：對于微觀體系的每一個可觀例如，求單個粒子的能量算符。解：因為單個粒子的能量等于動能T與勢能V之和，按經典力學：2.與坐標相關聯的動量的算符是3.對于任一力學量M，先按經典方法將其表示成q、P和t的函數，，然后再將相應的算符代入便可得力學量M的算符：例如，求單個粒子的能量算符。2.與坐標相關聯的能量算符也稱為哈密頓算符。能量算符也稱為哈密頓算符。同樣可以很容易求出角動量L及其在球坐標系中三個分量Lx、Ly、Lz的算符及角動量平方L2算符的表達式：同樣可以很容易求出角動量L及其在球坐標系中三直角坐標系和球坐標系之間的變換關系θ：0~πφ：0~2πr：0~∞直角坐標系和球坐標系之間的變換關系θ：0~π直角坐標系和球坐標系中的Laplace算符表示：直角坐標系和球坐標系中的Laplace算符表示：則算符稱為線性算符。若算符作用在任意兩個函數和的代數和[+]上的結果等于這一算符分別作用在和上的代數和+上，即2.線性算符算符和都是線性的，和不是線性算符則算符稱為線性算符。若算符作用3.厄米算符（自軛算符）如果算符對于任意函數下式成立

就稱算符為厄米算符

例1：乘號“”為厄米算符。3.厄米算符（自軛算符）如果算符對于任意函數4.線性厄米算符如果一個算符即是線性的又是厄米的，則這個算符就是線性厄米算符。微觀體系中任何一個力學量對應的算符都是線性厄米算符——量子力學基本假定之二。4.線性厄米算符如果一個算符即是線性的又是5.算符的運算規則(1)算符的相等：若，則(2)算符的加法：滿足交換律和結合律若則若則(3)算符的乘法：一般不滿足交換律若，則，而。5.算符的運算規則(1)算符的相等：若算符的對易關系：稱為算符對易關系中的對易子，用表示。例如：所以算符的對易關系：稱為算符對易關系中的對易子，用三、本征態、本征值和Schr?dinger方程1.本征函數的正交性及歸一性假設Ⅲ：若某一力學量A的算符作用于某一狀態函數Ψ后，等于某一常數a乘以Ψ，即Ψ=aΨ，那么對于Ψ所描述的這樣一個微觀體系的狀態，其力學量A具有確定的數值a，a就稱為力學量算符的本征值，

Ψ稱為的本征態或本征函數；Ψ=aΨ稱為的本征方程。若：，則函數Ψ1(x)和Ψ2(x)彼此正交。三、本征態、本征值和Schr?dinger方程1.本征函數本征函數正交性定理Ⅰ：屬于同一厄米算符的不同本征值am和an的本征函數

Ψm和Ψn彼此正交。（即，為厄米算符，Ψm

和Ψn為2個不同本征函數，am和an為2個與Ψm

和Ψn相對應的本征值，則）。而厄米算符的本征值一定為實數。本征函數正交性定理Ⅱ：屬于同一厄米算符相同本征值an的不同本征函數系列{Ψn1，Ψn2，……，Ψnf}任意線性組合為Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+cfΨnf后，Ψn仍然是屬于同一本征值an的本征函數。本征函數正交性定理Ⅰ：本征函數正交性定理Ⅱ：2.本征函數的完備系列Ψn1=aΨn1Ψn2=aΨn2Ψnf=aΨnfΨn=aΨn，其中Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+cfΨnf若：，則函數Ψ1(x)和Ψ2(x)彼此正交。有相同定義域和相同自變量，并滿足邊界條件的連續函數的任意線性組合

就構成了該函數的完備系列{Ψn(x)}。2.本征函數的完備系列Ψn1=aΨn1Ψn2=aΨn23.Schr?dinger方程牛頓第二定律對于速度遠小于光速的宏觀物理現象是正確的。

微觀粒子的運動狀態要用波函數Ψ(x，y，z，t)來描述，波函數Ψ(x，y，z，t)隨時間的變化要由Schr?dinger方程來表達：

化學所討論的狀態——多數是定態——其幾率密度分布不隨時間而改變的狀態。描述定態的Ψ(x，y，z，t)必定具有下列形式ω——常數。3.Schr?dinger方程牛頓第二定律對于速度遠小于波函數的這種形式，可保證粒子在空間各點出現的幾率密度不隨t改變。因此，定態粒子的狀態可用不顯含t的函數ψ(x，y，z)來描寫，ψ(x，y，z)——定態波函數，簡稱波函數。波函數的這種形式，可保證粒子在空間各點出現的幾率密度不隨t上式左邊只是t

的函數，右邊只是(x,y,z)的函數，兩邊必等于同一常數(E)整理之得也可寫作此為定態波函數ψ(x，y，z)所應滿足的方程——定態Schr?dinger方程。量子力學可以證明，E就是粒子的能量，E=T+V。或上式左邊只是t的函數，右邊只是(x,y,z)的函數，兩邊Schr?dinger方程的幾點說明：(1)Schr?dinger方程不是推導而來，而是量子力學的一條基本假定。(2)定態是不依賴t的運動狀態，是原子、分子中電子最可能的狀態，不顯含t的ψ可以解釋微觀現象中大量的定態性質。(3)Laplace算符：一維箱中粒子的Schr?dinger方程

三維箱中粒子的Schr?dinger方程Schr?dinger方程的幾點說明：(1)Schr?di(4)定態Schr?dinger方程也叫能量有確定值的本征方程；(5)滿足本征方程的波函數一定是品優波函數；(6)退化度（簡并度）：若有f個線性無關的本征函數ψ，對應于同一個本征值E，那么這些線性無關的本征函數個數f叫簡并度，而說本征值E是簡并的。(4)定態Schr?dinger方程也叫能量有確定值的本征四、態疊加原理假設Ⅳ：體系屬于力學量M的本征態的任意線性組合也是體系的一個可能狀態.

Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+cnΨn=說明：(1)ci大小反應ψi對ψ的性質的貢獻大小。(2)例如，原子中的電子可能存在于s或p軌道，將s與p軌道的波函數線性組合為雜化軌道后也是電子可能的軌道。四、態疊加原理假設Ⅳ：體系屬于力學量M的本征態的任意線性組合1.力學量平均值定理體系任何狀態的波函數ψ中，任何力學量M的平均值<M>均可表示為：因：Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+cnΨn=考慮到ψ的正交歸一化性質：1.力學量平均值定理體系任何狀態的波函數ψ中，任何力學量M因此討論：(1)本征態力學量的平均值：若m1,m2,……,mn

分別為本征態ψ1,ψ2,……,ψn對應力學量M的本征值，則當體系處于ψ所描述的狀態且ψ已歸一化時，力學量M的平均值為：證明：由條件可知，；而Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+cnΨn=僅是體系一個可能的狀態，但非本征態，故對于ψ所描述的狀態，力學量M沒有確定值，而是有一個分布，即平均值。因此討論：(1)本征態力學量的平均值：若m由假設4可知，ψ所描述的狀態中，力學量M平均值<M>在ψ1中取m1值的幾率為|c1|2；在ψ2中取m2值的幾率為|c2|2；在ψn中取mn值的幾率為|cn|2；由于在整個空間中，幾率密度等于1，所以因此，|ci|2代表ψ狀態時M平均值取mi值時的幾率。而M的平均值：其中由假設4可知，ψ所描述的狀態中，力學量M平均值<M>在ψ1中所以：(2)非本征態力學量的平均值：若ψ1,ψ2,……,ψn不是該體系的本征函數，即對應力學量M無本征值，則當體系處于ψ所描述的狀態時，力學量M的平均值仍可表示為：但所以：(2)非本征態力學量的平均值：若ψ12.力學量同時具有確定值的條件定理不同力學量同時具有確定值的充分必要條件：這兩個力學量算符可相互對易。證明：設ψn是算符和的屬于本征值

ln和mn的本征函數，則兩式相減所以：例如，坐標x和動量Px的算符不可相互對易，因此它們沒有共同的本征函數系，從而也不能同時具有確定值——測不準原理。2.力學量同時具有確定值的條件定理不同力學五、Pauli原理1.支持Pauli原理的實驗現象假設Ⅴ：在同一原子軌道或分子軌道上，最多只能容納2個電子，且這2個電子自旋狀態必須相反。Zeeman效應——磁場中觀察到的光譜譜線出現分裂的現象。光譜的精細結構說明電子的運動形式描述電子運動狀態的完全波函數是軌道運動自旋運動空間坐標的函數自旋坐標的函數五、Pauli原理1.支持Pauli原理的實驗現象假設Ⅴ：2.Pauli原理的量子力學表述若對描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數中任意2個電子的全部坐標進行交換，一定得反對稱波函數。例如，一個2粒子體系，其狀態可用波函數ψ(q1,q2)描述，(q2,q1)代表粒子1和粒子2交換坐標后的狀態。若ψ2(q1,q2)=ψ2(q2,q1)，則說明2個粒子是不可分辨的，由此可得ψ(q1,q2)與ψ(q2,q1)的兩種關系：(1)ψ

(q1,q2)=+ψ(q2,q1)，說明ψ為對稱波函數；(2)ψ

(q1,q2)=-ψ(q2,q1)，說明ψ為反對稱波函數。ψ究竟是對稱還是反對稱則由粒子自身的性質決定。對電子而言，ψ是反對稱波函數。2.Pauli原理的量子力學表述若對描述多3.Fermi子和Bose子Fermi子——電子、質子、中子等自旋量子數s為半整數的粒子。它們服從Pauli禁律的約束。這種粒子組成的體系，其波函數必須是反對稱的。Bose子——光子、聲子、氘(2H)和α粒子(42He)等自旋量子數s為整數的粒子。它們不受Pauli禁律的約束。這種粒子組成的體系，其波函數必須是對稱的。3.Fermi子和Bose子Fermi子——電子、質子、中§5箱中粒子的Schr?dinger方程及其解

一、一維箱中的粒子一維箱中粒子的Schr?dinger方程：在一維箱外，x

≤0和x

≥

a，V=∞，方程的解只能是ψ(x)=0。

即其特征方程為其特征根為§5箱中粒子的Schr?dinger方程及其解

一、一維箱通解為上式也可寫作令：于是邊界條件：當x

≤0和x

≥

a時，波函數必須等于零，即由ψ(0)=0得：Acos0+Bsin0=0，所以：A=0這樣通解為上式也可寫作令：于是邊界條件：當x≤0和x又由ψ(a)=0得：B不能為0，欲使上式成立，則，n=1，2，3，……。能量E必須滿足即意義：為滿足邊界條件，粒子的能量只能是的整數倍，即能量是量子化的。

此時又由ψ(a)=0得：B不能為0，欲使上式成立，則1.求歸一化常數B歸一化條件代入上式得因此積分常數得到的描述一維箱中粒子運動規律的波函數ψn(x)及相應的能量En為1.求歸一化常數B歸一化條件代入上式得因此積分常數得到的描2.結論注意:能量En與波函數ψ(x)是一一對應的:(1)一維箱中粒子可以存在的能級En、相應的波函數ψn(x)及幾率密度|ψn(x)|2：n=1時：2.結論注意:能量En與波函數ψ(x)是一一對應的:(1)n=2時：n=3時：n=2時：n=3時：(2)能量只能取分立的數值，是量子化的。經典力學中能量是連續的。n=1時，E最小，，稱為零點能。對應的粒子狀態，，稱為基態。一維箱中兩個相鄰能級間隔：討論：m較大、a也較大時，量子化不顯著m較小、a也較小時，量子化顯著由于一維箱中粒子的勢能V=0，所以粒子的能量全部為動能。(2)能量只能取分立的數值，是量子化的。經典力學中能量是連(3)宏觀物體，按經典力學模型，箱中粒子在箱內所有位置出現的幾率相同，粒子有經典的運動軌跡；微觀粒子在無力場作用下，在箱中不同位置出現的幾率不同，幾率密度分布呈現波動性，服從波動方程，無經典的運動軌跡。(4)ψ可以>、=或<0。當ψ=0時的點稱為節點，在此點粒子不出現，或稱粒子出現的幾率密度為零，|ψ(x)|2=0。節點數=n-1.當n=1n=2n=3……時節點數=012……(3)宏觀物體，按經典力學模型，箱中粒子在箱內所有位置出現二、三維勢箱中的粒子在箱內V=0，粒子被束縛在邊長分別為a、b、c的箱內；在箱外V=∞。三維箱中粒子的Schr?dinger方程：在箱子外部，因為V=∞，。在箱子內部，V=0，所以二、三維勢箱中的粒子在箱內V=0，粒子被束縛在邊長分別為a、用分離變量法來解此方程

將三維箱中粒子Schr?dinger方程分解成三個一維箱中粒子Schr?dinger方程其解為用分離變量法來解此方程將三維箱中粒子Schr?dinger第一章量子力學基礎課件長方箱中，每一組確定一個狀態，并對應一個能量，將這些狀態記為，一個能量只能對應一個狀態。

如果箱子是立方的，即a=b=c，則其解為

長方箱中，每一組確定一個狀態，并對應立方箱中，每一組就確定一個狀態，與長方箱不同的是，不同的組合，只要保持值相等，就具有相同的能量。即在立方箱的情況下，同一能量對應著不止一種狀態，這種能級稱為簡并的。同一能級所對應的狀態數目稱為這一能級的簡并度。例如，狀態的能量都是，因此，能級是簡并的，其簡并度為3。

立方箱中，每一組就確定一個狀態，與長方箱不例題1：求一維箱中粒子處于狀態時，粒子的能量E、坐標x、動量Px及動量平方Px2有無確定值。若有，求它們的確定值；若沒有，求它們的平均值。a是勢箱長度，x是粒子坐標，0<x

<a。解：(1)一維箱中V=0，，將其作用到ψ2(x)上代入邊界條件：x

≤0和x

≥

a時，ψ(x)=0可得：所以能量E有確定值。例題1：求一維箱中粒子處于狀態(2)坐標算符就是其自身：，將其作用到ψ2(x)上所以坐標無確定值，需求其平均值：(3)將動量算符作用到ψ2(x)上，得(2)坐標算符就是其自身：，將其作用到ψ因此動量Px不具有確定值。需計算其平均值(4)將動量平方算符作用到ψ2(x)上，得因此動量Px2具有確定值，為因此動量Px不具有確定值。需計算其平均值(4)將動量平方算例題2：粒子在一維箱中的運動狀態由ψ(x)描述，求粒子的能量或能量平均值。解：因此，ψ(x)不再可能是本征態，E也無確定值，需求其平均值：例題2：粒子在一維箱中的運動狀態由ψ(x)描述，求粒子的能量因為：所以ψ(x)未歸一化，求歸一化常數：歸一化后的波函數(x)能量E的平均值：因為：所以ψ(x)未歸一化，求歸一化常數：歸一化后的波函數第一章量子力學基礎課件第一章作業：1.2只做600nm1.4(3)1.51.8(4)1.121.161.18第一章作業：1.2只做600nm——theend————theend——第一章量子力學基礎第一章量子力學基礎§1經典物理學與舊量子論的局限一、經典物理學力學方面——

Newton力學體系經典物理學體系電、磁、光學方面——

Maxwell方程組熱現象方面——熱力學及Boltzmann、Gibbs等人建立的統計物理學這些理論構成了一個完整的體系，可以解釋各種常見的物理現象。宏觀體系微觀體系但是，單就力學體系而言，其討論對象又分兩大類第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學§1經典物理學與舊量子論的局限一、經典物理學力學方面——相對論力學兩個主要結果：a.物體的質量m和v有關，v越大，m也越大。在v=0時物體的質量稱為靜止質量（m0），。當v?c時，m=m0，相對論力學又還原為經典力學。1.宏觀體系①服從牛頓力學的宏觀體系：速度遠小于光速，v<<c，c=3×1010

cm·s-1，此時②服從相對論力學的宏觀體系：v<<c，此時b.質能聯立方程：質量m和能量E在數量上的聯系第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學>>1.宏觀體系相對論力學兩個主要結果：1.宏觀體系①服從牛頓力學的宏觀2.微觀體系服從量子力學。微觀物理現象兩個基本特征：①能量量子化②具有統計的特性，符合測不準原理所以微觀粒子的運動規律不服從經典力學而服從量子力學。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.經典物理學>>2.微觀體系2.微觀體系服從量子力學。微觀物理現象兩個基本特征：①能二、舊量子論的局限1.黑體輻射第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>1.黑體輻射但隨著科學的發展，又發現了一些新的實驗現象，用經典物理學理論無法解釋。其中三個最著名的實驗現象是黑體輻射、光電效應和原子光譜。

黑體定義——能吸收全部外來電磁波的物體。黑體輻射定義——當將黑體加熱時能發射出各種波長的電磁波。經典電磁理論的解釋——假定黑體輻射是由黑體中帶電粒子振動發出的。經典熱力學和統計力學理論計算得到的黑體輻射能量隨波長的變化同實驗所得的曲線相矛盾二、舊量子論的局限1.黑體輻射第一節經典物理學與舊量子論能量量子化的概念1900年，Planck提出了能量量子化的概念：假設黑體中帶電粒子以頻率ν作簡諧振動，能量ε只能取采取一個最小能量hv的整數倍，ε=nhv，n=0，1，2，……，h=6.62610-34J·s-1。這個假設稱為能量量子化假定。用這一觀點可以很好的解釋黑體輻射現象。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>1.黑體輻射能量量子化的概念1900年，Planck提出了能量量子化的概2.光電效應1905年，愛因斯坦(Einstein)提出了光子說：光是一束光子流，有一定的能量E和動量P，其大小由v及λ決定E=hv，P=h/λ光電效應——一定條件下，光照射到金屬表面時可能產生光電流的現象。光電效應實驗現象——能否產生光電流及光電子的運動能大小只與光的頻率有關，與光的強度無關。經典理論觀點——認為是光的強度而不是光的頻率決定了能否產生光電流及光電子的動能的大小，頻率只決定光的顏色。只有當v足夠大時，吸光后的電子才有可能克服金屬晶格的束縛而逸出金屬表面變成光電子，并在電場作用下從陰極飛向陽極產生光電流。不同的金屬有不同的臨閾頻率v0，v越大，光電子的E越大。這就成功解釋了光電效應的實驗現象。入射光的v超過v0才可能產生光電子，且第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>2.光電效應2.光電效應1905年，愛因斯坦(Einstein)提出3.原子光譜經典理論：①原子中的電子不斷發射出電磁波的結果勢必是其能量逐漸衰減，最后掉到原子核中，原子便不能穩定存在；②由于能量逐漸變化，發射出的電磁波的頻率也隨之而變并連續分布。——是由電子繞核運動加速運動發射出電磁波產生的實驗現象：原子光譜的分布是一條條分立的譜線而不是連續光譜。1913，Bohr提出了原子結構的Bohr理論：

①假定電子繞核作圓周運動能穩定存在；

②在一定的軌道上運動的電子有一定的能量——定態；

③定態能量只能取一些分立的數值，是量子化的；

④原子由一種定態(Em)變到另一種定態(En)過程中發射或吸收電磁波；

⑤電磁波的頻率v由決定：|Em-En|=hv。推廣：Sommerfeld推廣了Bohr理論，制定更為普遍的量子化條件。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>3.原子光譜3.原子光譜經典理論：——是由電子繞核運動加速運動發射出電4.舊量子理論的成功與失敗成就：①沖破了經典物理學中能量連續變化的束縛；②解釋了許多經典物理學無法解釋的微觀現象。失敗：進一步研究發現，仍與許多事實不符，在某些方面難以自圓其說。例如：①Bohr理論可以很好解釋氫原子和類氫離子光譜，但推廣到多電子分子或原子時不適用；②定態不發出輻射的假定與經典理論矛盾；③量子化的條件無理論基礎，比較生硬；④舊量子論推出周期表中第一周期應有6個元素，但事實只有2個；……以上種種導致舊量子論的失敗。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.舊量子論的局限>>4.舊量子理論的成功與失敗4.舊量子理論的成功與失敗成就：①沖破了經典物理學中能量§2光的波粒二象性

一、波動說及光的電磁理論1.光的干涉波動說：光是一種電磁波，波長不同，顏色不同。圖1-1光的干涉波動說可以解釋，在兩個波峰或波谷相遇的地方相互加強，在一個波峰與另一個波谷相遇的地方，兩波相互削弱。

——當光束重疊時出現明暗相間的條紋的現象第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>1.光的干涉§2光的波粒二象性

一、波動說及光的電磁理論1.光的干2.光的衍射圖1-2X射線衍射示意圖——光能夠繞過前面的障礙物而彎曲傳播的現象當一束X光射向晶體粉末時，發現E上出現了一系列明暗相間的同心圓，稱為衍射環或衍射圖X光源晶體粉末屏幕圖1-3光的衍射波動說的解釋——晶體是原子在空間有規則的排列而成，位于同一平面上的原子形成一個晶面，當波長為λ的X射線射入一組面間距為d的晶面上時，一部分光在平面Ⅰ反射，一部分光在平面Ⅱ反射，兩組反射線相遇后相互干涉，產生明暗相間的園環。光的衍射現象同時證明，波動說所預言的光在密介質中的傳播速度比在疏介質中慢。但波動說不能解釋光籍以傳播的介質是什么，于是假定了一種稱為“以太”的物質。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>2.光的衍射2.光的衍射圖1-2X射線衍射示意圖——光能夠繞過前面3.光的電磁理論1864年，Maxwell在前人工作的基礎上，指出電場和磁場的變化不能局限在空間的某一部分，而是以c=3×1010cm·s-1的速度向外傳播著，這稱為電磁波。光是一種波長約為10-310-5cm的電磁波，可見光是波長約為4×10-5cm7.5×10-5cm的電磁波。電磁波是用電場強度向量和磁場強度向量兩個向量的振動表征，它們以相同的位相和相等的振幅在兩個相互垂直的平面內運動，它的傳播速度c的方向與兩個向量的方向垂直。光的電磁理論可以解釋：

①光的反射、衍射、干涉、折射和偏振等現象；②可以證明真空中的光速c=3×1010cm·s-1；③可以說明電磁波的傳播不需要借助于彈性介質，無須引入“以太”的概念。以上種種使光的電磁波理論獲得了極大成功，于是光的波動說又發展成為光的電磁理論，并戰勝了當時盛極一時的粒子說。第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>一、波動說及光的電磁理論>>3.光的電磁理論3.光的電磁理論1864年，Maxwell二、光的粒子說1.光電效應Newton為首的粒子說認為：光是直線傳播的粒子流，有不同的種類，因此有不同的顏色光電效應的三條規律：①對于陰極K所用的金屬，有一固定的臨于閾頻率，只有當入射光的頻率＞時才有光電流產生如果＜，則不論光的強度多大，照射時間多長，都沒有光電流產生。不同金屬有不同的臨閥頻率。②

光電子的初動能隨著光的頻率直線增加，而與光的強度無關。③單位時間內光電子的數目即光電流的大小與光子的強度成正比。

第一節經典物理學與舊量子論的局限>>§1.光的波粒二象性>>二、光的粒子說>>1.光電效應二、光的粒子說1.光電效應Newton為首的粒子說認為：光2.Einstein光子說①光的能量量子化：每種頻率的光的都有一個最小單位——光量子，或光子，記為E0=。光的能量只能是E0的整數倍。②光子不但具有能量E0，而且還具有質量m。不同頻率的光子具有不同的質量。1905年Einstein提出光子說，成功解釋了光電效應現象。光子說要點：③光子還具有一定的動量：④光的強度取決于光密度ρ——單位體積內光子的數目。2.Einstein光子說①光的能量量子化：每種頻率的光3.光子說對光電效應實驗現象的解釋①當光照射到金屬表面時，光子的能量被電子吸收，能量的分配符合Einstein光電效應方程：②入射光子的頻率越大，電子逸出金屬表面后的初動能越大，且隨頻率直線增加。

m——電子的質量V——電子逸出金屬表面后的運動速度W0——稱為逸出功從上式可以看出，若照射光的頻率不夠大，不足以克服逸出功W0，則不會有光電子發生。③入射光的強度越大，光子的數目越多，因而產生的光電子的數目也增多，但不增加光電子的初動能。

3.光子說對光電效應實驗現象的解釋①當光照射到金屬表面時三、光的本質1.光是物質2.光的波粒二象性光在與實物粒子的相互作用中表現為粒子性，光也不是經典力學中的粒子，但具有經典概念中粒子的某些性質。光光在傳播過程中表現為波動性，光不是經典概念中的波，但具有經典概念中波的某些性質二象性表達EP粒子性波動性可用E、P、ν和λ

表達三、光的本質1.光是物質2.光的波粒二象性光在與實物粒子§3實物粒子的波粒二象性

一、deBroglie假設和deBroglie波實物粒子：電子、中子等靜止質量不等于零的粒子。

deBrolie假設：二象性并不是一個特殊的光學現象，而是具有普遍的意義。

實物粒子也具有波動性，表征實物粒子粒子性的物理量E

和P與表征波動性的物理量v和λ之間的關系：deBrolie關系式：，其中不適用于光。deBrolie波：實物粒子具有的波，或稱物質波。波長由deBrolie關系式確定§3實物粒子的波粒二象性

一、deBroglie假設deBroglie假設推測電子波的波長：電子速度：電子波的波長：deBroglie假設推測電子波的波長：電子速度：電子波二、deBrolie假設的證實——電子衍射實驗1927年Davisson和Germer的電子衍射實驗：實驗結果說明電子具有波動性。通過布拉格公式即可算出電子波的波長λ。n=0,1,2,……這樣計算出來的波長與根據deBrolie關系式計算出來的結果完全一致。這表明，動量為P的自由電子的衍射行為與波長為λ的平面波的衍射行為相同。因此我們說動量為P的自由電子的波長等于。

二、deBrolie假設的證實——電子衍射實驗1927年D三、測不準原理內容：測不準關系式微觀粒子的坐標和動量是不能同時具有確定值的。波動性粒子的特點——不能在同一時刻具有確定的坐標和動量，它的某個坐標被確定的越準，則在此方向上的動量分量就越不準，反之亦然。：波動性粒子在x，y，z方向坐標和動量的不確定程度的乘積關系以Δx和ΔPx分別表示微觀粒子的橫坐標和動量在橫坐標方向上的分量的測定值與平均值之差，則兩者之間的關系為：同理：三、測不準原理內容：微觀粒子的坐標和動量是不能同時具有確定值3.測不準關系可用于檢驗經典力學適用程度經典場合：h是極小的數值，約為0，測不準關系不起作用，波動性不顯著。量子場合：h不能忽略，測不準關系影響大，必須用量子力學方法處理。3.測不準關系可用于檢驗經典力學適用程度經典場合：h是極小§4量子力學的基本假設

一、波函數和微觀粒子運動狀態的描述假設Ⅰ：對于一個微觀體系，它的狀態和有關情況可用波函數Ψ(x,y,z,t)表示，Ψ是坐標(x,y,z,t)的函數，同時也是時間t的函數。例如：一個2電子體系，粒子1和粒子2的坐標分別為(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，則描述體系狀態的波函數Ψ=Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)§4量子力學的基本假設

一、波函數和微觀粒子運動狀態的描述1.波函數頻率為ν，波長為λ的沿著x方向傳播的平面波可用下式表示

既然動量為P的自由電子的衍射行為與波長為的光的衍射行為相似，將和代入上式所得之波就可用來描述自由電子的行為：這就是deBrolie波或物質波。除電子外，質子、中子等一切微觀粒子都具有波動性，其運動狀態都可用一函數Ψ來描述，Ψ

稱為波函數或狀態函數。

1.波函數頻率為ν，波長為λ的沿著x方向傳播的平面波可用下2.波函數的物理意義

(1)描述光或實物粒子的二象性時，不同的性質采用不同的函數：描述粒子性的函數：E，P，ρ描述波動性的函數：hν，h/λ，|Ψ|2|Ψ|2=|Ψ

*Ψ|，Ψ=f+ig，Ψ

*=f–igΨ的物理意義：在時間t在坐標x、y、z附近小體積元dτ內找到粒子的幾率與波函數Ψ(x，y，z，t)的絕對值的平方成正比。

2.波函數的物理意義(1)描述光或實物粒子的二象性時，不(2)幾率：空間某一小體積元dτ內發現粒子數的多少dτ為x到x+dx，y到y+dy，z到z+dz區域，dw(x，y，z，t)表示在時間t和空間dτ內找到電子的幾率，則：K是比例常數。

(3)幾率密度：在時間t及空間某點(x，y，z)單位體積內出現粒子的幾率w(x，y，z，t)稱為幾率密度(2)幾率：空間某一小體積元dτ內發現粒子數的多少dτ為3.歸一化波函數將波函數乘上一個常數因子并不改變它所描述的狀態。

原因：粒子在空間各點出現的幾率密度之比等于波函數在這些點的平方之比，而將波函數乘上一個常數后，它在各點的平方之比并不改變，因而粒子在空間各點出現的幾率密度之比不變，所以粒子所處的物理狀態也就相同。對于單個粒子體系，在整個空間找到粒子的幾率應當等于1，即

由此可以求得常數K歸一化關系式3.歸一化波函數將波函數乘上一個常數因子并不改變它Ψ乘以而得到Φ的過程稱為歸一化。令則：Ψ為未歸一化波函數。歸一化波函數歸一化常數Φ絕對值平方等于幾率密度Ψ乘以而得到Φ的過程稱為歸一化。令Ψ為未歸一化波4.波函數的性質和必須滿足的標準化條件(1)Ψ(x，y，z，t)是微觀粒子運動規律的統計結果，其自身的物理意義不明顯，但其平方則代表幾率密度；(2)KΨ(x，y，z，t)并不改變Ψ所描述的狀態，即與Ψ所描述狀態相同。(3)Ψ(x，y，z，t)必須滿足下面的三個標準化條件才能稱為“品優”波函數。單值、連續、有限（平方可積）4.波函數的性質和必須滿足的標準化條件(1)Ψ(x，y，二、力學量和算符1.算符：假設Ⅱ：對于微觀體系的每一個可觀測力學量都對應著一個線性厄米算符。規定了某種運算的符號稱為算符，或稱為算子

力學量算符化規則：（1）坐標q(x,y,z)和時間t所對應的算符就是坐標和時間自身。若用表示某一算符，表示被施以運算的對象，記為，稱為算符作用于。

二、力學量和算符1.算符：假設Ⅱ：對于微觀體系的每一個可觀例如，求單個粒子的能量算符。解：因為單個粒子的能量等于動能T與勢能V之和，按經典力學：2.與坐標相關聯的動量的算符是3.對于任一力學量M，先按經典方法將其表示成q、P和t的函數，，然后再將相應的算符代入便可得力學量M的算符：例如，求單個粒子的能量算符。2.與坐標相關聯的能量算符也稱為哈密頓算符。能量算符也稱為哈密頓算符。同樣可以很容易求出角動量L及其在球坐標系中三個分量Lx、Ly、Lz的算符及角動量平方L2算符的表達式：同樣可以很容易求出角動量L及其在球坐標系中三直角坐標系和球坐標系之間的變換關系θ：0~πφ：0~2πr：0~∞直角坐標系和球坐標系之間的變換關系θ：0~π直角坐標系和球坐標系中的Laplace算符表示：直角坐標系和球坐標系中的Laplace算符表示：則算符稱為線性算符。若算符作用在任意兩個函數和的代數和[+]上的結果等于這一算符分別作用在和上的代數和+上，即2.線性算符算符和都是線性的，和不是線性算符則算符稱為線性算符。若算符作用3.厄米算符（自軛算符）如果算符對于任意函數下式成立

就稱算符為厄米算符

例1：乘號“”為厄米算符。3.厄米算符（自軛算符）如果算符對于任意函數4.線性厄米算符如果一個算符即是線性的又是厄米的，則這個算符就是線性厄米算符。微觀體系中任何一個力學量對應的算符都是線性厄米算符——量子力學基本假定之二。4.線性厄米算符如果一個算符即是線性的又是5.算符的運算規則(1)算符的相等：若，則(2)算符的加法：滿足交換律和結合律若則若則(3)算符的乘法：一般不滿足交換律若，則，而。5.算符的運算規則(1)算符的相等：若算符的對易關系：稱為算符對易關系中的對易子，用表示。例如：所以算符的對易關系：稱為算符對易關系中的對易子，用三、本征態、本征值和Schr?dinger方程1.本征函數的正交性及歸一性假設Ⅲ：若某一力學量A的算符作用于某一狀態函數Ψ后，等于某一常數a乘以Ψ，即Ψ=aΨ，那么對于Ψ所描述的這樣一個微觀體系的狀態，其力學量A具有確定的數值a，a就稱為力學量算符的本征值，

Ψ稱為的本征態或本征函數；Ψ=aΨ稱為的本征方程。若：，則函數Ψ1(x)和Ψ2(x)彼此正交。三、本征態、本征值和Schr?dinger方程1.本征函數本征函數正交性定理Ⅰ：屬于同一厄米算符的不同本征值am和an的本征函數

Ψm和Ψn彼此正交。（即，為厄米算符，Ψm

和Ψn為2個不同本征函數，am和an為2個與Ψm

和Ψn相對應的本征值，則）。而厄米算符的本征值一定為實數。本征函數正交性定理Ⅱ：屬于同一厄米算符相同本征值an的不同本征函數系列{Ψn1，Ψn2，……，Ψnf}任意線性組合為Ψn=