結構力學結構力學學習內容

有限單元法的基本概念，結構離散化。

平面桿系結構的單元分析：局部坐標系下的單元剛度矩陣和整體坐標系下的單元剛度矩陣。

平面桿系結構的整體分析：結構整體剛度矩陣和結構整體剛度方程。

邊界條件的處理，單元內力計算。

利用對稱性簡化位移法計算。

矩陣位移法的計算步驟和應用舉例。2學習內容2學習目的和要求

目的：矩陣位移法是以計算機為計算工具的現代化結構分析方法。基于該法的結構分析程序在結構設計中得到了廣泛的應用。因此，以計算機進行結構分析是本章的學習目的。

矩陣位移法是以位移法為理論基礎，以矩陣為表現形式，以計算機為運算工具的綜合分析方法。引入矩陣運算的目的是使計算過程程序化，便于計算機自動化處理。盡管矩陣位移法運算模式呆板，過程繁雜，但這些正是計算機所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點是用“機算”代替“手算”。因此，學習本章是既要了解它與位移法的共同點，更要了解它的一些新手法和新思想。3學習目的和要求3學習目的和要求

要求：矩陣位移法包含兩個基本環節：單元分析和整體分析。

在單元分析中，熟練掌握單元剛度矩陣和單元等效荷載的概念和形成。熟練掌握已知結點位移求單元桿端力的計算方法。

在整體分析中，熟練掌握結構整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過程，熟練掌握結構綜合結點荷載的集成過程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。

自由式單元的單元剛度矩陣不要求背記，但要領會其物理意義，并會有它推出特殊單元的單元剛度矩陣。4學習目的和要求4矩陣位移法以傳統的結構力學作為理論基礎;

以矩陣作為數學表達形式;

以電子計算機作為計算手段三位一體的解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。第一節矩陣位移法概述采用矩陣進行運算，不僅公式緊湊，而且形式統一，便于使計算過程規格化和程序化。這些正是適應了電子計算機進行自動化計算的要求。5矩陣位移法以傳統的結構力學作為理論基礎;第一節矩陣位移法第一節矩陣位移法概述結構力學傳統方法與結構矩陣分析方法，二者同源而有別：

在原理上同源，在作法上有別前者在“手算”的年代形成，后者則著眼于“電算”，計算手段的不同，引起計算方法的差異。與傳統的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實現計算過程程序化的優點而廣為流傳。

矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結構矩陣分析有時也稱為桿件結構的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術語和提法。6第一節矩陣位移法概述結構力學傳統方法與結構矩陣分析方法1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述力法

需要選擇基本體系和多余約束。所以較多地依賴于結構的具體情況，不宜實現計算機計算的自動化，但其優點是計算出的結果就是力。位移法

是先求結點位移，再換算成力，該法的計算自動化和通用性強，目前廣為采用。結構結點力桿件桿端力桿件端點位移結構結點位移位移法力法位移法與力法之由于選取的基本未知量不同，因此計算次序不同a、方法的選擇71、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述力法1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述b、基本假設和基本原理線彈性、小變形。滿足疊加原理、功能原理c、正負號規定（采用右手法則）桿端內力規定當與坐標軸正方向一致時為正；桿端位移和結點位移規定當與坐標軸正方向一致時為正。結點外力規定當與坐標軸正方向一致時為正；81、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述b、基本假1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述化整為零

（離散化、單元分析）集零為整

（結點力平衡、位移協調）

先把結構拆開，分解成若干個單元（在桿件結構中，一般把每個桿件取作一個單元），這個過程稱作離散化。然后按單元力學性質對每個單元分析建立單元剛度方程，在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體求解。在一分一合，先拆后搭的過程中，把復雜結構的計算問題轉化為簡單單元分析和集合問題。矩陣位移法的要點：91、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述化整為零2、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零在桿件結構矩陣分析中，一般是把桿件的轉折點、匯交點、邊界點、突變點或集中荷載作用點等列為結點，結點之間的桿件部分作為單元。102、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連2、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零為了減少基本未知量的數目，跨間集中荷載作用點可不作為結點，但要計算跨間荷載的等效結點荷載；跨間結點也可不作為結點，但要推導相應的單元剛度矩陣，編程序麻煩。112、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）1、坐標系的選擇:

在矩陣位移法中采用兩種坐標系：

局部坐標系和整體坐標系。單元分析的目的是以結點位移為基本未知量，分析每個單元的結點力和結點位移及荷載之間的關系，即建立單元剛度方程，并用矩陣形式表示。整體坐標局部坐標FPxy12第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）1、坐標系的第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣采用局部坐標系（以桿的軸線作為x軸）時，桿端力及桿端位移的正方向以坐標軸正方向為正。桿端位移：桿端內力：桿件方向：

l13第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣局部坐標系下的單剛方程14第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣剛度系數的物理意義：單元剛度矩陣是桿端力與桿端位移之物理關系；矩陣的階數與桿端位移分量數相等；表示引起的桿端力的大小。15第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質單剛一般具有奇異性：單剛具有對稱性：由反力互等定理可知受力角度：存在剛體位移，桿端位移無法唯一確定數學角度：向量相關，矩陣不可逆，行列式為零。16第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質與單元剛度方程相應的正、反兩類問題

為不平衡力系時，無解；為平衡力系時，有無窮多組解。

為任何值時，都有對應的唯一解，且總是平衡力系。將單元視為兩端自由的桿件，直接加在自由端作為指定的桿端力。將單元視為兩端有人為約束控制的桿件。控制附加約束加以指定。解的性質力學模型反問題正問題17第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣

同類單元在局部坐標系中具有相同的簡潔形式。但不同單元在復雜結構中方位不盡相同，在整體分析中，為使分量疊加方便，需選擇一個統一公共坐標系——整體坐標系。按整體坐標系來建立各單元的剛度矩陣。局部坐標系整體坐標系變換18第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端位移轉換關系為：用整體量表示局部量？19第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端力轉換關系為：1、單元坐標轉換矩陣用局部量表示整體量？20第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下的單剛與局部坐標系下的單剛性質相同2、整體坐標系中的單元剛度矩陣

21第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）3、整體坐標系中的單元剛度矩陣的特性

整體坐標系中的單元剛度矩陣與局部坐標系中的單元剛度矩陣有類似的特性（對稱、奇異）。另外，局部坐標系中的單元剛度矩陣只與單元的幾何形狀、物理常數有關；整體坐標系中的單元剛度矩陣不僅與單元的幾何形狀、物理常數有關，還與單元的位置和方位有關。

22第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）3、整體坐標第四節整體分析整體剛度方程是整體結構的結點力與結點位移之間的關系式，是通過考慮結構的變形連續條件和平衡條件建立起來的。無論何種結構，其整體剛度方程都具有統一的形式：[K]是整體剛度矩陣；{Δ}結構的結點位移列向量；{P}結構的結點力列向量。利用結點位移協調和結點力平衡條件將各單元整合到一起,得到一個關于結點位移的線性代數方程——集零為整1、整體剛度矩陣的集成23第四節整體分析整體剛度方程是整體結構的結點力與結點位移第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成

由變形連續條件知，結點發生單位位移，交于該結點的各單元的桿端也發生單位位移，由此產生的單元桿端力應是單元剛度矩陣中的元素。結點單位位移產生的結點力是整體剛度矩陣中的元素。由平衡條件知交于某結點的各單元桿端力之和等于該結點的相應結點力。故整體剛度矩陣中的元素應是由對應的單元剛度矩陣中的元素疊加而成。綜上所述，整體剛度矩陣可以根據單元的結點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關系，由單元剛度矩陣集成結構整體剛度矩陣。24第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成由變形連續第四節整體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1,2)2(3,4)213(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成離散25第四節整體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1,第四節整體分析分別寫出整體坐標系下單元剛度方程1、整體剛度矩陣的集成26第四節整體分析分別寫出整體坐標系下單元剛度方程1、整體第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件位移協調121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP1、整體剛度矩陣的集成27第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件結點平衡121(1,2)2(3,4)3(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成28第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成集成整體剛度矩陣的關鍵，是確定單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的位置。首先要知道單元的結點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關系，即單元定位向量。它是單元結點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量記為{λ}。單元結點分量按單元定位向量向整體剛度矩陣安裝12(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy29第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成集成整體剛度矩陣的第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成將單元剛度矩陣按單元定位向量擴展為單元貢獻矩陣（換碼擴陣）30第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成將單元剛度矩陣按單第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣31第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣32第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度第四節整體分析根據集成法原理，計算過程分步進行：1、整體剛度矩陣的集成33第四節整體分析根據集成法原理，計算過程分步進行：1、整第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣集成的兩步可以合成一步完成：邊換碼，邊疊加，對號入座(1)將[k]e

中元素重新在[K]e中定位

結點量值的兩種編碼：總碼、局碼；

量值分量在兩種編碼中的對應關系，由單元定位向量來表示；(2)將所有

[k]e

疊加生成

[K]

單剛元素在單元剛陣中按局碼順序排列；而在單元貢獻陣中按總碼順序排列，即需要“換碼重排座”34第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣集成的第四節整體分析2、整體剛度矩陣系數的物理意義1.對稱性3.稀疏性整體剛度矩陣是結點力與結點位移之間的物理關系；矩陣的階數與結點位移分量數相等；Kij表示第j個結點位移分量為1時，第i個結點力分量的大小。3、整體剛度矩陣的性質2.奇異性35第四節整體分析2、整體剛度矩陣系數的物理意義1.對稱第五節內力計算由前面的分析得到整體剛度矩陣和結點荷載列陣，形成關于結點位移的線性代數方程組；求解線性方程組可以得到結點位移列陣；利用結點位移列陣計算桿端內力。計算結點位移由定位向量e

提取單元桿端位移36第五節內力計算由前面的分析得到整體剛度矩陣和結點荷載列第五節內力計算FPxyl1l2EA=750l1

=4l2

=3FP

=40解:1.離散化局碼12總碼位移碼單元編碼(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy例題：用矩陣位移法求結構內力。37第五節內力計算FPxyl1l2EA=750l1=第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化38第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化125612561234561234564.求單剛擴展矩陣39第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。2.計算局部單剛3.求變換矩陣解:1.離散化345634561234561234564.求單剛擴展矩陣40第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣41第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣42第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣43第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣7.引入邊界位移44第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣7.引入邊界位移8.結點位移計算45第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣7.引入邊界位移8.結點位移計算9.桿件內力計算46第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣7.引入邊界位移8.結點位移計算9.桿件內力計算支座反力47第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。5.疊加求整體剛陣6.求結點荷載列陣7.引入邊界位移8.結點位移計算9.桿件內力計算10.繪內力圖和反力FPxy-40-3003050-3048第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構第五節內力計算運算步驟a.離散化：劃分單元、編碼d.求整體單剛及其貢獻矩陣b.計算局部單剛c.求變換矩陣e.疊加求整體剛陣g.引入邊界條件h.結點位移計算j.繪制內力圖和反力i.求單元內力和支座反力f.疊加求結點荷載列陣49第五節內力計算運算步驟a.離散化：劃分單元、編碼d.求結構力學結構力學學習內容

有限單元法的基本概念，結構離散化。

平面桿系結構的單元分析：局部坐標系下的單元剛度矩陣和整體坐標系下的單元剛度矩陣。

平面桿系結構的整體分析：結構整體剛度矩陣和結構整體剛度方程。

邊界條件的處理，單元內力計算。

利用對稱性簡化位移法計算。

矩陣位移法的計算步驟和應用舉例。51學習內容2學習目的和要求

目的：矩陣位移法是以計算機為計算工具的現代化結構分析方法。基于該法的結構分析程序在結構設計中得到了廣泛的應用。因此，以計算機進行結構分析是本章的學習目的。

矩陣位移法是以位移法為理論基礎，以矩陣為表現形式，以計算機為運算工具的綜合分析方法。引入矩陣運算的目的是使計算過程程序化，便于計算機自動化處理。盡管矩陣位移法運算模式呆板，過程繁雜，但這些正是計算機所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點是用“機算”代替“手算”。因此，學習本章是既要了解它與位移法的共同點，更要了解它的一些新手法和新思想。52學習目的和要求3學習目的和要求

要求：矩陣位移法包含兩個基本環節：單元分析和整體分析。

在單元分析中，熟練掌握單元剛度矩陣和單元等效荷載的概念和形成。熟練掌握已知結點位移求單元桿端力的計算方法。

在整體分析中，熟練掌握結構整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過程，熟練掌握結構綜合結點荷載的集成過程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。

自由式單元的單元剛度矩陣不要求背記，但要領會其物理意義，并會有它推出特殊單元的單元剛度矩陣。53學習目的和要求4矩陣位移法以傳統的結構力學作為理論基礎;

以矩陣作為數學表達形式;

以電子計算機作為計算手段三位一體的解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。第一節矩陣位移法概述采用矩陣進行運算，不僅公式緊湊，而且形式統一，便于使計算過程規格化和程序化。這些正是適應了電子計算機進行自動化計算的要求。54矩陣位移法以傳統的結構力學作為理論基礎;第一節矩陣位移法第一節矩陣位移法概述結構力學傳統方法與結構矩陣分析方法，二者同源而有別：

在原理上同源，在作法上有別前者在“手算”的年代形成，后者則著眼于“電算”，計算手段的不同，引起計算方法的差異。與傳統的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實現計算過程程序化的優點而廣為流傳。

矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結構矩陣分析有時也稱為桿件結構的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術語和提法。55第一節矩陣位移法概述結構力學傳統方法與結構矩陣分析方法1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述力法

需要選擇基本體系和多余約束。所以較多地依賴于結構的具體情況，不宜實現計算機計算的自動化，但其優點是計算出的結果就是力。位移法

是先求結點位移，再換算成力，該法的計算自動化和通用性強，目前廣為采用。結構結點力桿件桿端力桿件端點位移結構結點位移位移法力法位移法與力法之由于選取的基本未知量不同，因此計算次序不同a、方法的選擇561、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述力法1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述b、基本假設和基本原理線彈性、小變形。滿足疊加原理、功能原理c、正負號規定（采用右手法則）桿端內力規定當與坐標軸正方向一致時為正；桿端位移和結點位移規定當與坐標軸正方向一致時為正。結點外力規定當與坐標軸正方向一致時為正；571、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述b、基本假1、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述化整為零

（離散化、單元分析）集零為整

（結點力平衡、位移協調）

先把結構拆開，分解成若干個單元（在桿件結構中，一般把每個桿件取作一個單元），這個過程稱作離散化。然后按單元力學性質對每個單元分析建立單元剛度方程，在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體求解。在一分一合，先拆后搭的過程中，把復雜結構的計算問題轉化為簡單單元分析和集合問題。矩陣位移法的要點：581、矩陣位移法的基本思路第一節矩陣位移法概述化整為零2、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零在桿件結構矩陣分析中，一般是把桿件的轉折點、匯交點、邊界點、突變點或集中荷載作用點等列為結點，結點之間的桿件部分作為單元。592、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連2、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零為了減少基本未知量的數目，跨間集中荷載作用點可不作為結點，但要計算跨間荷載的等效結點荷載；跨間結點也可不作為結點，但要推導相應的單元剛度矩陣，編程序麻煩。602、單元劃分第一節矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）1、坐標系的選擇:

在矩陣位移法中采用兩種坐標系：

局部坐標系和整體坐標系。單元分析的目的是以結點位移為基本未知量，分析每個單元的結點力和結點位移及荷載之間的關系，即建立單元剛度方程，并用矩陣形式表示。整體坐標局部坐標FPxy61第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）1、坐標系的第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣采用局部坐標系（以桿的軸線作為x軸）時，桿端力及桿端位移的正方向以坐標軸正方向為正。桿端位移：桿端內力：桿件方向：

l62第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣局部坐標系下的單剛方程63第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣剛度系數的物理意義：單元剛度矩陣是桿端力與桿端位移之物理關系；矩陣的階數與桿端位移分量數相等；表示引起的桿端力的大小。64第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質單剛一般具有奇異性：單剛具有對稱性：由反力互等定理可知受力角度：存在剛體位移，桿端位移無法唯一確定數學角度：向量相關，矩陣不可逆，行列式為零。65第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質與單元剛度方程相應的正、反兩類問題

為不平衡力系時，無解；為平衡力系時，有無窮多組解。

為任何值時，都有對應的唯一解，且總是平衡力系。將單元視為兩端自由的桿件，直接加在自由端作為指定的桿端力。將單元視為兩端有人為約束控制的桿件。控制附加約束加以指定。解的性質力學模型反問題正問題66第二節單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣

同類單元在局部坐標系中具有相同的簡潔形式。但不同單元在復雜結構中方位不盡相同，在整體分析中，為使分量疊加方便，需選擇一個統一公共坐標系——整體坐標系。按整體坐標系來建立各單元的剛度矩陣。局部坐標系整體坐標系變換67第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端位移轉換關系為：用整體量表示局部量？68第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端力轉換關系為：1、單元坐標轉換矩陣用局部量表示整體量？69第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下的單剛與局部坐標系下的單剛性質相同2、整體坐標系中的單元剛度矩陣

70第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）3、整體坐標系中的單元剛度矩陣的特性

整體坐標系中的單元剛度矩陣與局部坐標系中的單元剛度矩陣有類似的特性（對稱、奇異）。另外，局部坐標系中的單元剛度矩陣只與單元的幾何形狀、物理常數有關；整體坐標系中的單元剛度矩陣不僅與單元的幾何形狀、物理常數有關，還與單元的位置和方位有關。

71第三節單元分析（整體坐標系下的單元分析）3、整體坐標第四節整體分析整體剛度方程是整體結構的結點力與結點位移之間的關系式，是通過考慮結構的變形連續條件和平衡條件建立起來的。無論何種結構，其整體剛度方程都具有統一的形式：[K]是整體剛度矩陣；{Δ}結構的結點位移列向量；{P}結構的結點力列向量。利用結點位移協調和結點力平衡條件將各單元整合到一起,得到一個關于結點位移的線性代數方程——集零為整1、整體剛度矩陣的集成72第四節整體分析整體剛度方程是整體結構的結點力與結點位移第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成

由變形連續條件知，結點發生單位位移，交于該結點的各單元的桿端也發生單位位移，由此產生的單元桿端力應是單元剛度矩陣中的元素。結點單位位移產生的結點力是整體剛度矩陣中的元素。由平衡條件知交于某結點的各單元桿端力之和等于該結點的相應結點力。故整體剛度矩陣中的元素應是由對應的單元剛度矩陣中的元素疊加而成。綜上所述，整體剛度矩陣可以根據單元的結點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關系，由單元剛度矩陣集成結構整體剛度矩陣。73第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成由變形連續第四節整體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1,2)2(3,4)213(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成離散74第四節整體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1,第四節整體分析分別寫出整體坐標系下單元剛度方程1、整體剛度矩陣的集成75第四節整體分析分別寫出整體坐標系下單元剛度方程1、整體第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件位移協調121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP1、整體剛度矩陣的集成76第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件結點平衡121(1,2)2(3,4)3(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整體剛度矩陣的集成77第四節整體分析將離散單元集合時應滿足位移協調和平衡條件第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成集成整體剛度矩陣的關鍵，是確定單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的位置。首先要知道單元的結點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關系，即單元定位向量。它是單元結點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量記為{λ}。單元結點分量按單元定位向量向整體剛度矩陣安裝12(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy78第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成集成整體剛度矩陣的第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成將單元剛度矩陣按單元定位向量擴展為單元貢獻矩陣（換碼擴陣）79第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成將單元剛度矩陣按單第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣80第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度矩陣81第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成按位疊加得整體剛度第四節整體分析根據集成法原理，計算過程分步進行：1、整體剛度矩陣的集成82第四節整體分析根據集成法原理，計算過程分步進行：1、整第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣集成的兩步可以合成一步完成：邊換碼，邊疊加，對號入座(1)將[k]e

中元素重新在[K]e中定位

結點量值的兩種編碼：總碼、局碼；

量值分量在兩種編碼中的對應關系，由單元定位向量來表示；(2)將所有

[k]e

疊加生成

[K]

單剛元素在單元剛陣中按局碼順序排列；而在單元貢獻陣中按總碼順序排列，即需要“換碼重排座”83第四節整體分析1、整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣集成的第四節整體分析2、整體剛度矩陣系數的物理意義1.對稱性3.稀疏性整體剛度矩陣是結點力與結點位移之間的物理關系；矩陣的階數與結點位移分量數相等；Kij表示第j個結點位移分量為1時，第i個結點力分量的大小。3、整體剛度矩陣的性質2.奇異性84第四節整體分析2、整體剛度矩陣系數的物理意義1.對稱第五節內力計算由前面的分析得到整體剛度矩陣和結點荷載列陣，形成關于結點位移的線性代數方程組；求解線性方程組可以得到結點位移列陣；利用結點位移列陣計算桿端內力。計算結點位移由定位向量e

提取單元桿端位移85第五節內力計算由前面的分析得到整體剛度矩陣和結點荷載列第五節內力計算FPxyl1l2EA=750l1

=4l2

=3FP

=40解:1.離散化局碼12總碼位移碼單元編碼(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy例題：用矩陣位移法求結構內力。86第五節內力計算FPxyl1l2EA=750l1=第五節內力計算FPxyl1l2例題：用矩陣位移法求結構內力。2.計算局部單剛3.求