3.1回歸分析的基本思想回歸分析(regressionanalysis)是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法。對于一組具有線性相關關系的數據xb其中x=1ni=1nxi，回歸方程：y線性回歸模型：y=bx+a+e其中a和b為模型的未知參數，e是y與bx+a之間的誤差。通常e為隨機變量，稱為隨機誤差與函數關系不同，在回歸模型中，y的值由x和隨機因素e共同確定，即x只能解釋部分y的變化，因此我們把x稱為解釋變量，把y稱為預報變量。 隨機誤差e的方差σ2越小，用bx+a預報真實值y的精度越高。隨機誤差是引起預報值y與真實值y之間存在誤差的原因之一 另一方面，b和a為斜率和截距的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預報值y與真實值y之間存在誤差的另一個原因。由于隨機誤差e=y-(bx+a)，所以e=y-對于樣本點x它們的隨機誤差為e其估計值為eei稱為相應于點xi，可以通過殘差發現原始數據中的可疑數據，判斷所建立模型的擬合效果。以樣本編號為橫坐標，殘差為縱坐標，可作出殘差圖。檢查殘差較大的樣本點，確認采集該樣本點過程中是否有人為錯誤，如有，應予以糾正，再重新利用線性回歸模型擬合數據；如沒有，則需尋找其它原因。另外，對于已經獲取的樣本數據，R中的i=1n(yi-y)R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R一般地，建立回歸模型的基本步驟：確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)有經驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程)按一定規則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數；得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等)。若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等。回歸模型的適用范圍：回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；我們所建立的回歸方程一般都有時間性；樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍；不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。般地，比較兩個函數模型的擬合程度的步驟如下：分別建立對應于兩個模型的回歸方程y1=f(x，a)與y分別計算兩個模型的R2值若R12>3.2獨立性檢驗的基本思想不同的“值”表示不同類別的變量叫做分類變量。列出兩個分類變量的頻數表稱為列聯表(contingencytable)。常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征。利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗(testofindependence)。反證法原理與獨立性檢驗原理的比較反證法原理在假設H0下，如果推出一個矛盾，就證明了H0不成立獨立性檢驗原理在假設H0下，如果出現一個與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為：y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d假設H0：X與Y沒有關系，即X與Y獨立。則有P(XY)=P(X)P(Y)；根據頻率近似于概率，故有a化簡得ad因此，|ad-bc|越小，兩者關系越弱；基于以上分析，構造隨機變量K2=nK2的值越小則關系越小，K2的值越大則關系越大。(實際應用中通常要求a，b，c，d都不小于5)計算K2的觀測值k并與K2作比較。統計學研究發現，在H0成立的情況下，P即在H0成立的情況下，K2的觀測值超過6.635的概率非常小，近似為0.01，是一個小概率事件。若觀測值k大于6.635，則有理由判定H0不成立，即“X與Y有關系”。但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.01.*(這里概率計算的前提是H0成立，即H0：兩個分類變量沒有關系)若要推斷的論述為H1：“X與Y有關系”。可以通過頻率直觀地判斷兩個條件概率P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是否相等。如果判斷它們相等，就意味著X和Y沒有關系；否則就認為它們有關系。由上表可知，在X=x1的情況下，Y=y1的頻率為aa+b；在X=x2的情況下，Y=y1的頻率為cc+d。因此，如果通過直接計算或等高條形圖發現aa+b利用獨立性檢驗原理可以進一步給出推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率。具體做法是：根據實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤概率的上界α，然后查下表確定臨界值k0.P(0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828利用公式計算隨機變量K2的觀測值k.如果K2的觀測值k大于判斷規則的臨界值k0，即k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數據中沒有發現足夠證據支持結論“X與Y有關系”。按照上述規則，把“兩個分類變量之間沒有關系”錯誤地判斷為“兩個分類變量之間有關系”的概率不超過PK定義：W=則K若“X和Y沒有關系”則有P有K2W≥即可取w于是有以下判斷規則：當W的觀測值w>w0時，就判斷“X和Y有關系”；否則，判斷“X和Y沒有關系”。這里w0為正實數，且滿足在P隨堂練習1．(2010·寧夏銀川模擬)下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：月份x1234用水量y4.5432.5由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋a，則a等于()A．10.5 B．5.15C．5.2 D．5.252．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數是r，y關于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a與r的符號相反3．有下列說法：①隨機誤差是引起預報值與真實值之間的誤差的原因之一；②殘差平方和越小，預報精度越高；③在獨立性檢驗中，通過二維條形圖和三維柱形圖可以粗略判斷兩個分類變量是否有關系．其中真命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．34．有甲、乙兩種鋼材，從中各取等量樣品檢驗它們的抗拉強度指標如下：甲X110120125130135P0.10.20.40.10.2乙X100115125130145P0.10.20.40.10.2現要比較兩種鋼材哪一種抗拉強度較好，應考察哪項指標()A．期望與方差 B．正態分布C．卡方K2 D．概率5．為調查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視．在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時用什么方法最有說服力()A．期望與方差 B．排列與組合C．獨立性檢驗 D．概率6．(2009·海南寧夏理，3)對變量x，y觀測數據(x1，y1)(i＝1,2，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數據(u1，v1)(i＝1,2，…，10)，得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷．()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關7．某地2010年第一季度應聘和招聘人數排行榜前5個行業的情況列表如下：行業名稱計算機機械營銷物流貿易應聘人數2158302002501546767457065280行業名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數124620102935891157651670436若用同一行業中應聘人數與招聘人數比值的大小來衡量該行業的就業情況，則根據表中數據，就業形勢一定是()A．計算機行業好于化工行業B．建筑行業好于物流行業C．機械行業最緊張D．營銷行業比貿易行業緊張8．工人月工資y(單位：元)關于勞動生產率x(單位：千元)的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝650＋80x，下列說法中正確的個數是()①勞動生產率為1000元時，工資約為730元；②勞動生產率提高1000元時，則工資約提高80元；③勞動生產率提高1000元時，則工資約提高730元；④當月工資為810元時，勞動生產率約為2000元．A．1 B．2C．3 D．49．對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是()A．由樣本數據得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好D．若變量y和x之間的相關系數r＝－0.9362，則變量y和x之間具有線性相關關系10．判斷兩個分類變量是彼此相關還是相互獨立的常用方法中，最為精確的是()A．三維柱形圖 B．二維條形圖C．等高條形圖 D．獨立性檢驗11．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合得最好的模型為()A．模型1的相關指數R2為0.75B．模型2的相關指數R2為0.90C．模型3的相關指數R2為0.25D．模型4的相關指數R2為0.5512．下面是某市場農產品的調查表．市場供應量表：單價(元/千克)22.42.83.23.64供應量(1000千克)506070758090市場需求量表：單價(元/千克)43.42.92.62.32供應量(1000千克)506070758090根據以上信息，市場供需平衡點(即供應量和需求量相等的單價)應在區間()A．(2.3,2.6) B．(2.4,2.6)C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13．當且僅當r滿足________時，數據點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在一條直線上．14．已知一個回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，則eq\x\to(y)＝__________.15．對具有線性相關關系的變量x和y，測得一組數據如下表．若已求得它們的回歸直線方程的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為________．x24568y304060507016．(2010·廣東文，12)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統計資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根據統計資料，居民家庭平均收入的中位數是__________，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關關系．三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)為了調查胃病是否與生活規律有關，調查某地540名40歲以上的人得結果如下：患胃病未患胃病合計生活不規律60260320生活有規律20200220合計80460540根據以上數據回答40歲以上的人患胃病與生活規律有關嗎？18．(本題滿分12分)一臺機器可以按各種不同的速度運轉，其生產的物件有一些會有問題，每小時生產有問題物件的多寡，隨機器運轉的速度而變化，下面表格中的數據是幾次試驗的結果．速度(轉/秒)每小時生產有問題物件數851281491611(1)求出機器速度影響每小時生產有問題物件數的回歸直線方程；(2)若實際生產中所允許的每小時最大問題物件數為10，那么機器的速度不得超過多少轉/秒？19．(本題滿分12分)在從煙臺—大連的某次航運中，海上出現惡劣氣候．隨機調查男、女乘客在船上暈船的情況如下表所示：暈船不暈船合計男人325173女人82432合計4075115根據此資料你是否認為在惡劣氣候航行中，男人比女人更容易暈船？20．(本題滿分12分)有兩個分類變量X與Y，其一組觀測的2×2列聯表如下表．其中a,15－a均為大于5的整數，則a取何值時有90%以上的把握認為“X與Y之間有關系”？y1y2x1a20－ax215－a30＋a21．(本題滿分12分)某超市為了了解熱茶銷售與氣溫之間的關系，隨機統計并制作了某6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對比表如下表：氣溫x(℃)261813104－1杯數y202434385064畫出散點圖并計算相關系數r，判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關關系．22．(本題滿分14分)在一個文娛網絡中，點擊觀看某個節目的累積人次和播放天數如下表：播放天數12345點擊觀看的累積人次51134213235262播放天數678910點擊觀看的累積人次294330378457533(1)畫出散點圖；(2)判斷兩變量之間是否具有線性相關關系，求回歸直線方程是否有意義？

答案一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2010·寧夏銀川模擬)下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：月份x1234用水量y4.5432.5由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋a，則a等于()A．10.5 B．5.15C．5.2 D．5.25[答案]D[解析]eq\x\to(x)＝2.5，eq\x\to(y)＝3.5，∵回歸直線方程過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴3.5＝－0.7×2.5＋a，∴a＝5.25.故選D.2．設兩個變量x和y之間具有線性相關關系，它們的相關系數是r，y關于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a與r的符號相反[答案]A[解析]因為b>0時，兩變量正相關，此時，r>0；b<0時，兩變量負相關，此時r<0.3．有下列說法：①隨機誤差是引起預報值與真實值之間的誤差的原因之一；②殘差平方和越小，預報精度越高；③在獨立性檢驗中，通過二維條形圖和三維柱形圖可以粗略判斷兩個分類變量是否有關系．其中真命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D4．有甲、乙兩種鋼材，從中各取等量樣品檢驗它們的抗拉強度指標如下：甲X110120125130135P0.10.20.40.10.2乙X100115125130145P0.10.20.40.10.2現要比較兩種鋼材哪一種抗拉強度較好，應考察哪項指標()A．期望與方差 B．正態分布C．卡方K2 D．概率[答案]A5．為調查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視．在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時用什么方法最有說服力()A．期望與方差 B．排列與組合C．獨立性檢驗 D．概率[答案]C6．(2009·海南寧夏理，3)對變量x，y觀測數據(x1，y1)(i＝1,2，…，10)，得散點圖1；對變量u，v有觀測數據(u1，v1)(i＝1,2，…，10)，得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷．()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關[答案]C[解析]本題主要考查了變量的相關知識，考查學生分析問題和解決問題的能力．用散點圖可以判斷變量x與y負相關，u與v正相關．7．某地2010年第一季度應聘和招聘人數排行榜前5個行業的情況列表如下：行業名稱計算機機械營銷物流貿易應聘人數2158302002501546767457065280行業名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數124620102935891157651670436若用同一行業中應聘人數與招聘人數比值的大小來衡量該行業的就業情況，則根據表中數據，就業形勢一定是()A．計算機行業好于化工行業B．建筑行業好于物流行業C．機械行業最緊張D．營銷行業比貿易行業緊張[答案]B[解析]建筑行業的比值小于eq\f(65280,76516)，物流行業的比值大于eq\f(74570,70436)，故建筑好于物流．8．工人月工資y(單位：元)關于勞動生產率x(單位：千元)的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝650＋80x，下列說法中正確的個數是()①勞動生產率為1000元時，工資約為730元；②勞動生產率提高1000元時，則工資約提高80元；③勞動生產率提高1000元時，則工資約提高730元；④當月工資為810元時，勞動生產率約為2000元．A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]代入方程計算可判斷①②④正確．9．對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是()A．由樣本數據得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好D．若變量y和x之間的相關系數r＝－0.9362，則變量y和x之間具有線性相關關系[答案]C[解析]R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選C.10．判斷兩個分類變量是彼此相關還是相互獨立的常用方法中，最為精確的是()A．三維柱形圖 B．二維條形圖C．等高條形圖 D．獨立性檢驗[答案]D[解析]前三種方法只能直觀地看出兩個分類變量x與y是否相關，但看不出相關的程度．獨立性檢驗通過計算得出相關的可能性，較為準確．11．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合得最好的模型為()A．模型1的相關指數R2為0.75B．模型2的相關指數R2為0.90C．模型3的相關指數R2為0.25D．模型4的相關指數R2為0.55[答案]B[解析]相關指數R2的值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選B.12．下面是某市場農產品的調查表．市場供應量表：單價(元/千克)22.42.83.23.64供應量(1000千克)506070758090市場需求量表：單價(元/千克)43.42.92.62.32供應量(1000千克)506070758090根據以上信息，市場供需平衡點(即供應量和需求量相等的單價)應在區間()A．(2.3,2.6) B．(2.4,2.6)C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9)[答案]C[解析]以橫軸為單價，縱軸為市場供、需量，在同一坐標系中描點，用近似曲線觀察可知選C.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13．當且僅當r滿足________時，數據點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在一條直線上．[答案]|r|＝1[解析]當數據點(xi，yi)在一條直線上時，y只受x的影響，即數據點完全線性相關，此時|r|＝1.14．已知一個回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，則eq\x\to(y)＝__________.[答案]58.5[解析]因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且eq\x\to(y)＝1.5eq\x\to(x)＋45，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.本題易錯之處是根據x的值及eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45求出y的值再求eq\x\to(y)，由eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45求得的y值不是原始數據，故錯誤．15．對具有線性相關關系的變量x和y，測得一組數據如下表．若已求得它們的回歸直線方程的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為________．x24568y3040605070[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝17.5＋6.5x[解析]由數據表得eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－6.5eq\x\to(x)＝17.5，即回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝17.5＋6.5x.16．(2010·廣東文，12)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統計資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.81012根據統計資料，居民家庭平均收入的中位數是__________，家庭年平均收入與年平均支出有__________線性相關關系．[答案]13正[解析]中位數的定義的考查，奇數個時按大小順序排列后中間一個是中位數，而偶數個時須取中間兩數的平均數．由統計資料可以看出，當平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正線性相關關系．三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)為了調查胃病是否與生活規律有關，調查某地540名40歲以上的人得結果如下：患胃病未患胃病合計生活不規律60260320生活有規律20200220合計80460540根據以上數據回答40歲以上的人患胃病與生活規律有關嗎？[解析]k＝eq\f(540×(60×200－260×20)2,320×220×80×460)＝eq\f(2496960,259072)≈9.638∵9.638＞6.635∴40歲以上的人患胃病與生活是否有規律有關，有99%的把握認為生活不規律的人易患胃病．18．(本題滿分12分)一臺機器可以按各種不同的速度運轉，其生產的物件有一些會有問題，每小時生產有問題物件的多寡，隨機器運轉的速度而變化，下面表格中的數據是幾次試驗的結果．速度(轉/秒)每小時生產有問題物件數851281491611(1)求出機器速度影響每小時生產有問題物件數的回歸直線方程；(2)若實際生產中所允許的每小時最大問題物件數為10，那么機器的速度不得超過多少轉/秒？[解析](1)用x表示機器速度，y表示每小時生產有問題物件數，那么4個樣本數據為：(8,5)、(12,8)、(14,9)、(16,11)，則eq\o(x,\s\up6(－))＝12.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝8.25.于是回歸直線的斜率為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(25.5,35)≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－0.8575，所以所求的回歸直線方程為y＝0.7286x－0.8575.(2)根據公式eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575，要使y≤10，則就需要0.7286x－0.8575≤10，x≤14.9019，即機器的旋轉速度不能超過14.9019轉/秒．19．(本題滿分12分)在從煙臺—大連的某次航運中，海上出現惡劣氣候．隨機調查男、女乘客在船上暈船的情況如下表所示：暈船不暈船合計男人325173女人82432合計4075115根據此資料你是否認為在惡劣氣候航行中，男人比女人更容易暈船？[解析]男人暈船所占比例為eq\f(32,83)×100%＝0.386，女人暈船所占比例為eq\f(8,32)×100%＝0.25，雖然0.386遠大于0.25，但我們不能用此判斷在惡劣氣候中航行，男人比女人更容易暈船，而應根據獨立性檢驗進行分析．由公式得：K2＝eq\f(115×(32×24－51×8)2,83×32×40×75)≈1.870.因為1.870<2.706，所以我們沒有充分的證據說暈船跟男女性別有關．20．(本題滿分12分)有兩個分類變量X與Y，其一組觀測的2×2列聯表如下表．其中a,15－a均為大于5的整數，則a取何值時有90%以上的把握認為“X與Y之間有關系”？y1y2x1a20－ax215－a30＋a[解析]查表可知，要使有90%以上的把握認為X與Y之間有關系，則K2>2.706，而其觀測值k＝eq\f(65[a(30＋a)－(20－a)(15－a)]2,20×45×15×50)＝eq\f(13(65a－300)2,60×45×50)＝eq\f(13(13a－60)2,60×90)，解k>2.706得a