高中數(shù)學(xué)教育中的合情推理研究史亮一、問(wèn)題的提出教育的目的是提高人的素質(zhì)，素質(zhì)是一個(gè)人的核心發(fā)展力。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育為我國(guó)培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀人才，功不可沒(méi)，但我們的教育觀念、教育體制、教育結(jié)構(gòu)、人才培養(yǎng)的模式、教育內(nèi)容和教學(xué)方式的相對(duì)滯后，影響了青少年的全面發(fā)展，也是不可否認(rèn)的事實(shí)。諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧和朱棣文在談到中國(guó)教育現(xiàn)狀時(shí)，都認(rèn)為中國(guó)的教育是重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而輕創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。是否具有創(chuàng)造性己成為衡量一個(gè)人才的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是素質(zhì)教育對(duì)能力的要求，而創(chuàng)造能力的培養(yǎng)則有賴(lài)于教學(xué)中論證推理與合情推理同時(shí)并重的方法訓(xùn)練。我國(guó)正在實(shí)施素質(zhì)教育和新課程改革，它是以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為基本價(jià)值取向。高中數(shù)學(xué)應(yīng)該是以思維活動(dòng)為中心的數(shù)學(xué)，創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)之一。合情推理是取得創(chuàng)新性成就的工具，是創(chuàng)造性工作賴(lài)以進(jìn)行的基本能力，是21世紀(jì)新型人才的應(yīng)有素質(zhì)。合情推理的教學(xué)已經(jīng)受到了數(shù)學(xué)教育界的廣泛重視。在第八屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，對(duì)于20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G.Polya建立的合情推理模式以及觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比、歸納、化歸等方法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新中所起的作用給予極高的評(píng)價(jià)，形成廣泛的共識(shí)。在布魯塞爾的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”和上海教科院所推出的“研究性學(xué)習(xí)”中都給合情推理教學(xué)以應(yīng)有的地位。合情推理教學(xué)符合我國(guó)素質(zhì)教育的要求。但合情推理如何在高中數(shù)學(xué)教育中具體實(shí)踐，怎樣才能最大限度的提高學(xué)生的素質(zhì)，還需要實(shí)踐上和方法上的探索。人的素質(zhì)先天有之，而各有不同。這種先天性有時(shí)以一種虛擬的現(xiàn)象呈現(xiàn)著，它需要教育、環(huán)境來(lái)充實(shí)和引導(dǎo)，需要學(xué)習(xí)來(lái)提高。學(xué)校、課程、教育理念為人提高素質(zhì)帶來(lái)不同的機(jī)會(huì)。其次素質(zhì)是一個(gè)人的特質(zhì)，先天不同，后天也有不同的表現(xiàn)，它是不能完全復(fù)制的，在社會(huì)生存和學(xué)習(xí)發(fā)明的過(guò)程中，高素質(zhì)的人具有很強(qiáng)的核心競(jìng)爭(zhēng)力。素質(zhì)具有基礎(chǔ)、條件、差別以及個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)品位的尺度等基本特征，人通過(guò)合適的教育和影響而獲得與形成三方面的：學(xué)識(shí)特征、能力特征和品質(zhì)特征。學(xué)識(shí)特征主要指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（變“雙基”為“四基”）；能力特征主要指發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力和分析與解決問(wèn)題的能力（變“雙能”為“四能”），能力的集中表現(xiàn)是智慧，智慧的基礎(chǔ)是演繹思維和歸納思維兩種思想的交融；品質(zhì)特征主要指道德修養(yǎng)、精神境界和個(gè)人品位。變“雙基”為“四基”，變“雙能”為“四能”，特別是由原來(lái)的以演繹思維訓(xùn)練為主轉(zhuǎn)變?yōu)檠堇[思維和歸納思維并舉,對(duì)當(dāng)前的中學(xué)教育教學(xué)改革和正在實(shí)施的新課程具有重要的指導(dǎo)意義。合情推理既是重要的思想方法，也是重要的思維品質(zhì)。教育的目的之一是思維品質(zhì)的培養(yǎng)，一個(gè)人有沒(méi)有思維能力，是否掌握一定的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，決定了他在社會(huì)生存的質(zhì)量。數(shù)學(xué)素質(zhì)是一個(gè)人全面素質(zhì)中最重要的一個(gè)素質(zhì)，這個(gè)素質(zhì)的培養(yǎng)不是灌輸，而是啟發(fā)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是了解、掌握和應(yīng)用知識(shí)，更重要的是了解、掌握數(shù)學(xué)的思想方法。傳統(tǒng)強(qiáng)調(diào)演繹的方法，過(guò)多地在驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，而證明有時(shí)會(huì)陷入模型（模仿）與機(jī)械的怪圈，經(jīng)常會(huì)懸在半空思考問(wèn)題，使學(xué)生知其然不知其所以然。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，強(qiáng)調(diào)演繹和強(qiáng)調(diào)合情推理，就如同從天空走向地面。是動(dòng)手尋根溯源的學(xué)習(xí)方法，探索“對(duì)原初含義進(jìn)行重新激活的可能性”。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)一段深刻的話(huà):“結(jié)論幾乎是以完美的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺(jué)不到思想形成的生動(dòng)過(guò)程，也很難達(dá)到清楚地理解全部情況。”所以我們學(xué)習(xí)了完美無(wú)缺的結(jié)論,而對(duì)探索過(guò)程和思維方法卻知之甚少，所以新課程中強(qiáng)調(diào)的學(xué)習(xí)是“過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”的學(xué)習(xí)。歷史上，不僅僅是數(shù)學(xué)中，甚至在整個(gè)科學(xué)、社會(huì)的領(lǐng)域，大的發(fā)現(xiàn)都與合情推理有關(guān)系。波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中，他認(rèn)為，“在我們的思維、日常談話(huà)、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無(wú)不充滿(mǎn)了合情推理……但合情推理也可達(dá)到數(shù)學(xué)精確的水平。所以各種合情推理（包括猜想、類(lèi)比等）在發(fā)現(xiàn)解答方面都可能起作用，我們不應(yīng)該當(dāng)忽視任何一種。”新課程充分重視為學(xué)生提供動(dòng)手操作與主動(dòng)參與的機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，提供發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的時(shí)機(jī)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。其目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與興趣，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知沖突，使他們帶著任務(wù)去學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)新課程教材的編寫(xiě)明顯的變化趨勢(shì)是新課程將知識(shí)內(nèi)容問(wèn)題化，如設(shè)置了很多“想一想”、“探究”等問(wèn)題欄目。實(shí)際上是將那種從定義到概念處理，再用概念和原理解決問(wèn)題的演義式教材體系，轉(zhuǎn)化為問(wèn)題引導(dǎo)的，體現(xiàn)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的，再?gòu)拇罅康摹⒇S富的具體實(shí)例中通過(guò)歸納概括而獲得的概念和法則的歸納式的教材體系。新課標(biāo)的教材編寫(xiě)建議中明確指出：課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。例如，在引入函數(shù)的一般概念時(shí)，應(yīng)從學(xué)生已學(xué)過(guò)的具體函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）和生活中常見(jiàn)的函數(shù)關(guān)系（如氣溫的變化、出租車(chē)的計(jì)價(jià)）等入手，抽象出一般函數(shù)的概念和性質(zhì)，使學(xué)生逐步理解函數(shù)的概念；立體幾何內(nèi)容，可以用長(zhǎng)方體內(nèi)點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系。教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。教材的呈現(xiàn)應(yīng)為引導(dǎo)學(xué)生自主探索留有比較充分的空間，有利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等過(guò)程。編寫(xiě)教材時(shí)，可以通過(guò)設(shè)置具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，在思考、探索和交流的過(guò)程中獲得對(duì)數(shù)學(xué)較為全面的體驗(yàn)和理解。在新教材的選修模塊（2－2）中有合情推理與演繹推理的相關(guān)內(nèi)容

（1）合情推理與演繹推理

①結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（參見(jiàn)選修2-2中的例2、例3）。②結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。③通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。本課題將分析高中教材和高中教學(xué)中演繹推理與合情推理的共融關(guān)系，并經(jīng)過(guò)實(shí)踐以及有關(guān)學(xué)習(xí)理論和教學(xué)理論，對(duì)合情推理在教材中的呈現(xiàn)形式，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力及如何對(duì)學(xué)生的合情推理能力進(jìn)行評(píng)價(jià)進(jìn)行初步探究，同時(shí)還要探討高考評(píng)價(jià)中合情推理的特征。希望能為學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)的進(jìn)一步研究提供一點(diǎn)參考。二、研究的意義（一）合情推理在數(shù)學(xué)自身發(fā)展中的意義G·波利亞說(shuō)，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與任何其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣，在證明一個(gè)定理之前，先得猜想、發(fā)現(xiàn)出這個(gè)定理的內(nèi)容，在完全做出證明之前，先得不斷檢驗(yàn)、完善、修改所提出的猜想，還得推測(cè)證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類(lèi)比，你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。在這一系列的過(guò)程中，需要充分運(yùn)用的不是論證推理，而是合情推理。牛頓說(shuō):“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)猜想，包括著名世界難題的解決，往往是在對(duì)數(shù)、式或圖形的直接觀察、歸納、類(lèi)比、猜想中獲得方法的，而后再進(jìn)行邏輯驗(yàn)證。同時(shí)隨著問(wèn)題的解決，使數(shù)學(xué)方法得到提煉或數(shù)學(xué)研究范圍得到擴(kuò)展，使數(shù)學(xué)發(fā)展前進(jìn)一步。費(fèi)馬通過(guò)對(duì)勾股定理的研究大膽地猜想出費(fèi)馬大定理。為了尋找這個(gè)猜想的證明方法，許多數(shù)學(xué)家投入了畢生的精力，最終在上世紀(jì)被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明。這個(gè)被數(shù)學(xué)家希爾伯特稱(chēng)作會(huì)下“金蛋”的老母雞，本身是用合情推理的方法提出的，在長(zhǎng)達(dá)幾個(gè)世紀(jì)的探索中，數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造過(guò)程也蘊(yùn)涵著合情推理的成分。因此，從某個(gè)方面來(lái)說(shuō)，合情推理促進(jìn)過(guò)數(shù)學(xué)的發(fā)展。諸如此類(lèi)的例子還很多，如歐拉定理、歌德巴赫猜想、四色問(wèn)題等。（二）合情推理在我國(guó)素質(zhì)教育中的意義我國(guó)正在實(shí)施的素質(zhì)教育，是以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為基本價(jià)值取向的。中學(xué)數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的教學(xué)，創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。而合情推理的實(shí)質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，即發(fā)現(xiàn)新的關(guān)系、新的規(guī)律和新的方法等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，合情推理除了具有發(fā)現(xiàn)新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實(shí)和規(guī)律，擴(kuò)展認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)知識(shí)的掌握和遷移，啟迪思維和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。正如波利亞所說(shuō):“一個(gè)認(rèn)真想把數(shù)學(xué)作為他終身事業(yè)的學(xué)生必須學(xué)習(xí)論證推理，這是他的專(zhuān)業(yè)也是他那門(mén)科學(xué)的特殊標(biāo)志，然而為了取得真正的成就他還必須學(xué)習(xí)合情推理，這是他的創(chuàng)造性工作所賴(lài)以進(jìn)行的那種推理。”如果說(shuō)通過(guò)演繹推理可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，那么通過(guò)合情推理則可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力。因此可以說(shuō)，合情推理是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)和必要條件，是21世紀(jì)新型人才應(yīng)當(dāng)具有的素質(zhì)。有研究表明從國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)也可看出,在處理中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法方面有兩種基本思路:第一,主要通過(guò)純數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法;第二,通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生形成那些對(duì)人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法,如實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、合情推理等。兩者相比而言,后者更多的是一般的思考方法,具有更廣泛的應(yīng)用性。主要發(fā)達(dá)國(guó)家也傾向于第二種基本思路。有研究表明：合情推理與演繹推理有著較高的相關(guān)性；學(xué)生的合情推理的發(fā)展與演繹推理的發(fā)展有著密切的聯(lián)系．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要促使學(xué)生的合情推理與演繹推理同步發(fā)展．學(xué)校數(shù)學(xué)教育一貫重視培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，而對(duì)歸納猜想能力的培養(yǎng)缺乏必要的措施與手段，使學(xué)生數(shù)學(xué)歸納猜想能力的發(fā)展處于一種放任自流的狀態(tài)。中學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理的發(fā)展現(xiàn)狀不容樂(lè)觀，長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)忽視了合情推理，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的歸納、猜想，這就導(dǎo)致我國(guó)學(xué)生“數(shù)學(xué)能力發(fā)展不全面，尤其缺乏創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力”。中學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理的發(fā)展落后于演繹推理能力的發(fā)展，中學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)。人們對(duì)數(shù)學(xué)能力的理解主要停留在邏輯思維能力的層面上，而邏輯思維有時(shí)恰恰阻礙了學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。隨著時(shí)代的發(fā)展，這種數(shù)學(xué)能力觀的局限性越來(lái)越明顯。現(xiàn)代社會(huì)要求公民具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)能力應(yīng)具有更豐富的內(nèi)涵。因此，教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力的發(fā)展，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中值得重視的問(wèn)題之一．愛(ài)因斯坦說(shuō)：適用于科學(xué)幼年時(shí)代的以歸納為主的方法，正在讓位于探索性的演繹法。雖然愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)類(lèi)似的話(huà)，但是沒(méi)有人說(shuō)歸納法要退出和演繹法的競(jìng)爭(zhēng)。對(duì)于基礎(chǔ)教育階段，嘗試或有意識(shí)地向?qū)W生傳授歸納法，對(duì)于引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)科學(xué)、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題很有益處。我們真的要認(rèn)真思考?xì)w納是不是僅僅停留在發(fā)現(xiàn)的初級(jí)階段，歸納的方法是不是僅僅停留在學(xué)習(xí)的初級(jí)階段而提倡的方法？在新一輪的高中數(shù)學(xué)課程改革中，雖然給予了合情推理應(yīng)有的地位，但是如何編寫(xiě)好這方面內(nèi)容的教材、教師如何講授好這方面的內(nèi)容、學(xué)生如何學(xué)好這方面的內(nèi)容以及如何對(duì)學(xué)生合情推理能力進(jìn)行評(píng)價(jià)，還比較缺乏理論依據(jù)以及實(shí)踐的總結(jié)，因此需要對(duì)此方面做深入的研究。（三）合情推理在發(fā)展思維水平中的意義思維水平不僅是演繹論證的水平，同時(shí)還是具備觀察、歸納、聯(lián)想與猜想等看來(lái)并不嚴(yán)密，所得結(jié)果也無(wú)需充足理由的思維習(xí)慣的水平。由于數(shù)學(xué)本身的嚴(yán)密性和系統(tǒng)性，往往引起數(shù)學(xué)思維自始至終都必須周密的錯(cuò)覺(jué)。于是，課堂教學(xué)中當(dāng)學(xué)生還沒(méi)開(kāi)展觀察、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想等活動(dòng)之前，教師就把書(shū)中現(xiàn)成的結(jié)論、定義、方法(對(duì)教師都是已知的，對(duì)學(xué)生則是未知的)等強(qiáng)加給學(xué)生;在課堂訓(xùn)練中，只注意如何根據(jù)現(xiàn)成的定義、結(jié)論和方法去解釋問(wèn)題或反復(fù)練習(xí)，即使是“分析-綜合”的解題方法也往往是在教師備課時(shí)早已探究得到的。于是，學(xué)生只能復(fù)制，只能依賴(lài)教材和教師，稍有變化便束手無(wú)策。反之，當(dāng)學(xué)生的上述思維水平全面提高時(shí)，從同一來(lái)源就會(huì)產(chǎn)生為數(shù)眾多的信息輸出，會(huì)產(chǎn)生各種“念頭”，表現(xiàn)出較高的思維水平。因此，合情推理教學(xué)有助于學(xué)生思維水平的發(fā)展。（四）在轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式中的意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一種知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，方法與策略，想象與猜想等多種思維活動(dòng)參與的創(chuàng)造性勞動(dòng)，沒(méi)有觀察、聯(lián)想、想象就不會(huì)有創(chuàng)造力。而長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式以被動(dòng)接受方式為主。表現(xiàn)一就是數(shù)學(xué)教學(xué)以教師的講授為主，而很少讓學(xué)生通過(guò)自己的活動(dòng)與實(shí)踐來(lái)獲取知識(shí);表現(xiàn)二就是學(xué)生們很少有根據(jù)自己的理解發(fā)表看法與意見(jiàn)的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)課的基本風(fēng)格是從數(shù)學(xué)概念出發(fā)，定義、定理、法則、公式加大量的分類(lèi)練習(xí)。這種方式是成人社會(huì)“數(shù)學(xué)家共同體”用來(lái)整理人類(lèi)數(shù)學(xué)成果的演繹模式，它與兒童認(rèn)識(shí)和理解世界的方式相去甚遠(yuǎn)。課堂上缺少人際間的交流、觀點(diǎn)的交鋒、智慧的碰撞，因而學(xué)生在9年乃至12年的學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中難以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的吸引力。這就與長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)合情推理的重視不夠有關(guān)。而合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，合情推理的教學(xué)突出了學(xué)生的主體地位，是學(xué)生通過(guò)參與到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，體驗(yàn)、探索數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)。在這樣的教學(xué)中，概念的形成、結(jié)論和定理的發(fā)現(xiàn)、解題思路的產(chǎn)生，都離不開(kāi)合情推理這種探索方式和認(rèn)知過(guò)程。而且，經(jīng)歷這種“過(guò)程”不僅有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和優(yōu)良的思維品質(zhì)。因此，開(kāi)展合情推理教學(xué)是實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)中“轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式”的必要途徑。重視合情推理能夠引導(dǎo)我們關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成。三、研究的內(nèi)容長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式，發(fā)展學(xué)生的論證推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)；以及合情推理的教學(xué)是一種數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不同于以往的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)。因此，對(duì)于習(xí)慣了數(shù)學(xué)中重視論證推理的教學(xué)的師生，對(duì)合情推理都比較陌生。在高中數(shù)學(xué)中加入合情推理內(nèi)容，無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)教師的教，還是高中學(xué)生的學(xué)，都是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。但同時(shí)也是使學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題以及形成創(chuàng)新意識(shí)的大好機(jī)遇。以往的研究者已經(jīng)從合情推理的模式與方法、合情推理在數(shù)學(xué)中的教育功能等方面研究過(guò)合情推理。但是對(duì)于高中數(shù)學(xué)新課程中合情推理的教學(xué)現(xiàn)狀，特別是如何從教材改進(jìn)以及教學(xué)策略的完善角度培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力還沒(méi)有研究結(jié)論。本研究以高中數(shù)學(xué)新課程的合情推理內(nèi)容為背景，主要考察以下幾方面的內(nèi)容：1.學(xué)生合情推理能力發(fā)展的現(xiàn)狀分析；2.合情推理與演繹推理的在高中數(shù)學(xué)中的關(guān)系（高中數(shù)學(xué)教材及教學(xué)）；3.目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的合情推理案例研究；4．考試評(píng)價(jià)中的合情推理研究。為了使新課程中合情推理內(nèi)容落到實(shí)處，真正的達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的教育目標(biāo)。本研究會(huì)針對(duì)實(shí)施合情推理內(nèi)容時(shí)師生遇到的問(wèn)題與困難，提出意見(jiàn)與建議，對(duì)進(jìn)一步實(shí)施新課程和一線(xiàn)教師的合情推理教學(xué)提供參考依據(jù)。四、研究問(wèn)題的現(xiàn)狀（一）合情推理的涵義G?波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)中討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，并且還指出了合情推理的教學(xué)意義和教學(xué)方法。他是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等具體思維過(guò)程的再現(xiàn)、分析提出了“合情推理”的思維模式，開(kāi)辟了一條與傳統(tǒng)的思辨方式截然不同的新途徑;他首先肯定了論證推理在確定數(shù)學(xué)命題的真理性和其科學(xué)體系建構(gòu)中的作用，然后說(shuō)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)知識(shí)也是從零散的猜想開(kāi)始，通過(guò)歸納、檢驗(yàn)等非論證的思維方式而發(fā)生發(fā)展，而這種思維方式就是合情推理。G?波利亞的主要成就是有效地拓寬了數(shù)學(xué)推理的范圍;有關(guān)合情推理的概念的展開(kāi)、模式概括和技能訓(xùn)練都是密切結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體思維活動(dòng);他的不足之處是對(duì)合情推理的界定比較模糊和不完全。1988年，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治指出:“要用G?波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法，要培養(yǎng)G?波利亞的數(shù)學(xué)工作者”，從而在我國(guó)正式拉開(kāi)了把數(shù)學(xué)方法論和G?波利亞的數(shù)學(xué)教育思想應(yīng)用于課堂教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新教育實(shí)踐的序幕。從此，人們逐漸開(kāi)始探索，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)。楊世明的《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)》(30)，是用G?波利亞風(fēng)格寫(xiě)出的數(shù)學(xué)方法論專(zhuān)著。從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)課本、眾多數(shù)學(xué)家的著作和手稿中采集了豐富的素材，歸納、研究了合情推理方法，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題、教學(xué)和研究中廣泛應(yīng)用的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、猜測(cè)、檢驗(yàn)、推廣、限定以及抽象、概括等思維方法進(jìn)行了探討。可以說(shuō)合情推理的思想萌芽很早。開(kāi)拓它，發(fā)展它，使之趨于完善的是G。波利亞。G?波利亞是在與傳統(tǒng)觀念普遍認(rèn)可的演繹推理相對(duì)立的意義上引入合情推理的，并力圖將數(shù)學(xué)推理的非演繹機(jī)制盡可能地涵蓋其中。目前，數(shù)學(xué)教育理論界對(duì)合情推理的涵義說(shuō)法眾多，但仔細(xì)探究這些概念主要是從三個(gè)角度說(shuō)的。一是從形式邏輯的角度出發(fā)，認(rèn)為合情推理就是或然性推理或者和演繹推理對(duì)立起來(lái)稱(chēng)為非演繹推理；二是從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，把合情推理看作是科學(xué)的發(fā)現(xiàn)方法。因而，連同歸納、類(lèi)比在內(nèi)，把觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、直觀等一系列科學(xué)發(fā)現(xiàn)的手段都?xì)w于合情推理的范疇；三是從教育心理學(xué)的角度出發(fā)，認(rèn)為合情推理的過(guò)程和人的經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)等其他非智力因素息息相關(guān)。這三種從不同角度出發(fā)對(duì)合情推理的認(rèn)識(shí)都有一定道理。但是如果從形式邏輯的角度出發(fā)，把合情推理看作是或然性推理（或者是非演繹推理），就會(huì)把一些“既不可信又無(wú)價(jià)值的推測(cè)”歸入到合情推理之中，如此以來(lái)合情推理的外延就有些大了；但是如果按照傳統(tǒng)邏輯認(rèn)為合情推理主要?dú)w納推理和類(lèi)比推理，那么就會(huì)把溯因推理排斥在外，則合情推理的外延就有些小了。而從數(shù)學(xué)方法論的角度出發(fā)，把合情推理看作是一種探索方法，則擴(kuò)大了合情推理的內(nèi)涵，與合情推理的日常概念的理解相差太遠(yuǎn)；但是如果把合情推理看作是運(yùn)用探索方法進(jìn)行的推理，則縮小了合情推理的運(yùn)用范圍，似乎合情推理不會(huì)存在于其他方法中。例如合情推理中的溯因推理在證明過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)。從教育心理學(xué)的角度界定合情推理，認(rèn)為合情推理就是根據(jù)人們的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、直觀、感覺(jué)與情感等得到的一種可能性結(jié)論的推理。觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、推廣、限定、猜想、聯(lián)想等一套自然科學(xué)中常用方法里面充滿(mǎn)了合情推理。如此就把合情推理與推測(cè)方法區(qū)分開(kāi)來(lái)，而合情推理主要是選擇不同的推測(cè)方法，把比較合理的推測(cè)與不合理的推測(cè)區(qū)分開(kāi)來(lái)。總的來(lái)說(shuō)，合情推理是否可以這樣表述：合情推理就是人們根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（即原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)），在情感等非智力因素的影響下，運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、推廣、限定、聯(lián)想、直覺(jué)等非演繹的（或非完全演繹的）思維形式，做出關(guān)于客體的合乎情理的認(rèn)知過(guò)程。在以上提及的著作中，對(duì)合情推理的特征有以下幾種闡述:G?波利亞認(rèn)為:合情推理是一種合乎情理的、好像為真的推理，它的清晰程度不能與論證推理相比，它沒(méi)有固定的邏輯標(biāo)準(zhǔn)，并且只是籠統(tǒng)的，通人情的，是與個(gè)人的情緒、愛(ài)好、知識(shí)等主觀因素有關(guān)的一種推理，所以它是有爭(zhēng)議的、冒風(fēng)險(xiǎn)的、暫時(shí)的，有時(shí)不能像論證推理那樣博得大家的公認(rèn)。但合情推理對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，還是十分重要的。費(fèi)馬曾通過(guò)觀察形如的數(shù)列的前四項(xiàng)：5，17，257，65537之后，發(fā)現(xiàn)這四個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)，于是自信的提出：對(duì)一般情況的形如的都是素?cái)?shù)。這個(gè)結(jié)論就是運(yùn)用合情推理的出的一個(gè)猜想。但n=5時(shí)，==推翻了費(fèi)馬的結(jié)論，但其中創(chuàng)造性思維的光彩卻是永存的。數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造需要猜想，在教學(xué)中，通過(guò)合情推理，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、創(chuàng)造想象能力、創(chuàng)新實(shí)踐能力、求異精神和冒險(xiǎn)精神，即培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神。（一）國(guó)內(nèi)外研究歸納推理的現(xiàn)狀分析1．美國(guó)學(xué)生的合情推理能力培養(yǎng)（1）美國(guó)報(bào)告的合情推理能力培養(yǎng)1989年美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)（NRC）發(fā)布了《關(guān)于數(shù)學(xué)教育的未來(lái)致國(guó)民的一份報(bào)告》，考慮了從幼兒園到研究生院整個(gè)階段的問(wèn)題。《報(bào)告》在討論數(shù)學(xué)教育中的合情推理問(wèn)題時(shí)，提出“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有不斷摸索的過(guò)程，我們應(yīng)當(dāng)為他們提供這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)說(shuō)，真正重要的不是記住一些數(shù)學(xué)技巧而是樹(shù)立一種自信心，即當(dāng)他需要某一數(shù)學(xué)工具時(shí)，知道如何去發(fā)現(xiàn)并掌握這一工具。樹(shù)立這種自信心的唯一方法就是在學(xué)習(xí)過(guò)程中貫穿創(chuàng)造、構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的那種學(xué)習(xí)精神。”《報(bào)告》還要求各大學(xué)為尚未合格的中小學(xué)教師請(qǐng)來(lái)開(kāi)明的有建設(shè)性的教育家開(kāi)設(shè)新的課程，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)也需要接受各種訓(xùn)練——探索、猜測(cè)、試驗(yàn)、估計(jì)、辯論、證明。這樣在今后的教學(xué)中，對(duì)學(xué)生按自己想法求解問(wèn)題時(shí)冒出來(lái)的意外的猜想，教師就能夠給以建設(shè)性的回答。《報(bào)告》中對(duì)學(xué)生的學(xué)和教師的教都注意合情推理、猜想的培養(yǎng)。（2）美國(guó)芝加哥中學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)教材中的合情推理北京師范大學(xué)的王申懷在《論證推理與合情推理——美國(guó)芝加哥中學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)（UCSMP）教材介紹》中介紹了思維過(guò)程中四種不同的推理方式。在美國(guó)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材中，最著名的是UCSMP教材（美國(guó)芝加哥大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)稱(chēng)UCSMP）。這套教材從1983年—1994年共進(jìn)行了兩輪試用。全書(shū)共六冊(cè)，大致每一冊(cè)供一學(xué)年使用，因此，第六冊(cè)微積分初步和離散數(shù)學(xué)相當(dāng)于我國(guó)高三年級(jí)使用的教材。該書(shū)的第一章標(biāo)題為邏輯，共有九章，其中“§9–不同類(lèi)型的推理”中詳細(xì)的介紹了合情推理的幾種常用的方法與內(nèi)容。下面做簡(jiǎn)單介紹：§9，介紹思維過(guò)程中四種不同的推理方式：①演繹推理：這是數(shù)學(xué)證明過(guò)程中所使用的推理方式。②歸納推理：這是實(shí)驗(yàn)科學(xué)（如物理學(xué)）中常用的推理方式。例如，伽利略作了大量實(shí)驗(yàn)后歸納出自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為。科學(xué)家在運(yùn)用歸納推理時(shí)總是十分謹(jǐn)慎的。因?yàn)闅w納的出的結(jié)論仍有錯(cuò)誤的可能性。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“大量實(shí)驗(yàn)不能證明我是對(duì)的，但是一次實(shí)驗(yàn)就能證明我是錯(cuò)的。”因此，我們要充分注意歸納推理的出結(jié)論的可靠程度。③診斷推理：這是醫(yī)生看病時(shí)常用的推理方式。④統(tǒng)計(jì)推理：這是根據(jù)事件出現(xiàn)的概率來(lái)推斷結(jié)論。以上四種推理思維方式是不同的，其作用也是不同的。演繹推理依據(jù)的是三段論法，因此只要前提正確，結(jié)論必然正確，這是數(shù)學(xué)論證所必需的。因此演繹推理可以稱(chēng)為論證推理。歸納推理、診斷推理和統(tǒng)計(jì)推理雖然不能作為數(shù)學(xué)證明，但是在推斷的過(guò)程中各有其理由，是合乎情理的，因此可以稱(chēng)它們?yōu)楹锨橥评怼Ｈ藗円话阏J(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)以嚴(yán)格論證為特征的演繹科學(xué)，它是從定義，公理出發(fā)推導(dǎo)出一系列定理，公式等。但是，這僅僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)側(cè)面，它所呈現(xiàn)出來(lái)的結(jié)論已經(jīng)是數(shù)學(xué)建造過(guò)程的尾聲，是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性工作結(jié)出來(lái)的果實(shí)。就在這尾聲和果實(shí)之前有著更為重要的，更為漫長(zhǎng)的探索過(guò)程。這恰恰反映了數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè)面。正如數(shù)學(xué)教育家波利亞在“數(shù)學(xué)與猜想”一書(shū)中所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣，在證明一個(gè)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，你先得推測(cè)證明的思路，你又得一次又一次地嘗試，…證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的，只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話(huà)，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)，合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！焙锨橥评硎且环N好像為真的推理，例如上面提到的物理學(xué)家的實(shí)驗(yàn)歸納推理，醫(yī)生的診斷推理等，這些推理其可靠程度不能與論證推理相比。它沒(méi)有嚴(yán)格的邏輯標(biāo)準(zhǔn)，它往往會(huì)有爭(zhēng)議（例如對(duì)某病人的癥狀，不同的醫(yī)生可能會(huì)的出不同的結(jié)論），也可能要冒些風(fēng)險(xiǎn)（例如醫(yī)生會(huì)誤診），但是盡管如此，合情推理有著論證推理不能替代的重要作用，它是發(fā)明創(chuàng)造的工具，它是發(fā)明創(chuàng)造賴(lài)以進(jìn)行的依據(jù)，它是論證推理的先驅(qū)。因此，合情推理與論證推理兩者是互相補(bǔ)充的，相輔相成的，缺一不可的，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中必須注意的。（3）《美國(guó)學(xué)校教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中的合情推理全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NationalCouncilofTeachersofMathematics,簡(jiǎn)稱(chēng)NCTM）在2000年4月出版了《美國(guó)學(xué)校教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)美國(guó)《2000年標(biāo)準(zhǔn)》）。美國(guó)《2000年標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)各州僅起參考作用而非強(qiáng)制性法令，但它在一定程度上起到了統(tǒng)一要求的作用，引起了較大的反響，對(duì)各州標(biāo)準(zhǔn)的制定及教材的編寫(xiě)也產(chǎn)生重大的影響。美國(guó)《2000年標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計(jì)10個(gè)內(nèi)容，其中活動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)中的推理與證明對(duì)合情推理內(nèi)容的教學(xué)作了明確的要求。其中，數(shù)學(xué)教學(xué)綱要應(yīng)當(dāng)集中精力學(xué)會(huì)將推理與證明作為理解數(shù)學(xué)的一部分，以便所有學(xué)生：承認(rèn)推理與證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和有力的部分；提出和考察數(shù)學(xué)猜想；發(fā)展和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)爭(zhēng)論與證明；選擇和使用各種適當(dāng)?shù)耐评硇问胶妥C明方法。提出和考察數(shù)學(xué)猜想：一些數(shù)學(xué)猜想由于他們簡(jiǎn)明的形式和將來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)家提出的挑戰(zhàn)而變得著名，一個(gè)眾所周知的問(wèn)題是歌德巴赫猜想。歌德巴赫猜想定義任何大于4的證書(shū)都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和（這兩個(gè)數(shù)沒(méi)有必要不同）。例如，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。對(duì)于這個(gè)猜想，已經(jīng)試驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)對(duì)于這樣大的數(shù)，其結(jié)論是正確的，但對(duì)于一般的數(shù)，它是否成立還沒(méi)有被證明。2．匈牙利關(guān)于合情推理能力的認(rèn)識(shí)在二十世紀(jì)末，匈牙利已經(jīng)著手進(jìn)行數(shù)學(xué)教育改革，例如在1997年頒發(fā)了新的教育法以及國(guó)家課程。不僅大幅度削減中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)周課時(shí)，還增加選修課、修改部分教學(xué)內(nèi)容。由于近年來(lái)匈牙利的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)，加上新的教育方案帶來(lái)的一些沖擊，匈牙利國(guó)內(nèi)學(xué)者重新強(qiáng)調(diào)證明的意義，呼吁要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。但是由于課堂證明過(guò)程被認(rèn)為太浪費(fèi)時(shí)間，加上人們?nèi)找嬗X(jué)察到數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，因此世界各國(guó)一直存在要求降低、削弱數(shù)學(xué)證明的要求。匈牙利課程改革者對(duì)此卻提出了忠告，他們認(rèn)為真正的危險(xiǎn)潛伏在這種覺(jué)察之中，他們引用著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞的觀點(diǎn)：“如果把證明全部從微積分中排除掉，那么微積分的教科書(shū)就變成了一部菜譜，這個(gè)菜譜開(kāi)除了詳盡的配料和工序，至于對(duì)為什么要這樣配方，卻什么也沒(méi)有說(shuō)”。事實(shí)上，人們希望兒童從幼兒園到高中的每個(gè)階段，都學(xué)著去進(jìn)行觀察、發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上歸納，演繹推理，構(gòu)造反例或間接推理。而這些正式匈牙利數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)。在課程中，體現(xiàn)了合情推理能力的培養(yǎng)。3．英國(guó)對(duì)學(xué)生合情推理能力的教學(xué)目標(biāo)二十世紀(jì)60年代，英國(guó)對(duì)“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)了極大的熱情；70年代，部分地區(qū)開(kāi)展“回到基礎(chǔ)”運(yùn)動(dòng)；80年代初，“柯克克洛夫特報(bào)告”的出現(xiàn)，引起了英國(guó)數(shù)學(xué)教育界的重視，其中不少觀點(diǎn)被后來(lái)的國(guó)家課程中的數(shù)學(xué)和A水平數(shù)學(xué)多采納。1992年開(kāi)始實(shí)施的英國(guó)國(guó)家課程數(shù)學(xué)，規(guī)定了義務(wù)教育階段（5–16歲）的數(shù)學(xué)課程，A水平數(shù)學(xué)規(guī)定了第6學(xué)級(jí)（16–19歲）的數(shù)學(xué)課程（不屬于義務(wù)教育）。義務(wù)教育后學(xué)生分流，進(jìn)入第6學(xué)級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)A水平科目后，參加GCE考試，準(zhǔn)備升入大學(xué)。《國(guó)家課程中的數(shù)學(xué)》目標(biāo)分為4個(gè)階段10個(gè)水平，每個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都規(guī)定了應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)、水平和范圍。內(nèi)容安排上將成績(jī)目標(biāo)分為5類(lèi)：運(yùn)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)；數(shù)；代數(shù)；圖形和空間；數(shù)據(jù)處理。下面簡(jiǎn)要介紹一下上述5類(lèi)成績(jī)目標(biāo)中的用數(shù)學(xué)的10個(gè)水平：水平1：運(yùn)用適合于實(shí)際任務(wù)的資料；談?wù)摴ぷ鞑⑻岢鰡?wèn)題；在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上做出預(yù)測(cè)。水平2：選擇資料和數(shù)學(xué)用于實(shí)際任務(wù)；敘述工作并檢驗(yàn)結(jié)果；提出問(wèn)題和回答問(wèn)題，例如：“如果……將會(huì)怎么樣？”“為什么？”等等。水平3：選擇資料和數(shù)學(xué)用于實(shí)際任務(wù)，運(yùn)用選擇的方法去克服困難；系統(tǒng)地說(shuō)明工作并記錄發(fā)現(xiàn)；研究和檢驗(yàn)預(yù)測(cè)、一般的命題；檢驗(yàn)結(jié)果，考慮它們是否合理。水平4：當(dāng)信息存在選擇的機(jī)會(huì)時(shí)，選擇對(duì)于任務(wù)有用的資料和數(shù)學(xué)，有條理地計(jì)劃工作；記錄結(jié)果并用口頭、書(shū)面或形象化的方式作出描述；應(yīng)用例子檢驗(yàn)解答、命題或定義；作出概括或簡(jiǎn)單的假設(shè)。水平5：選擇資料和數(shù)學(xué)應(yīng)用于任務(wù)，檢查是否掌握足夠的信息，有條理地工作并回顧進(jìn)展；將任務(wù)分解成更小的、容易處理的任務(wù)；解釋用口頭、書(shū)面或形象化方式表述的數(shù)學(xué)信息；將幾個(gè)特殊例子一般化并進(jìn)行簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)。水平6：設(shè)計(jì)任務(wù)并選擇數(shù)學(xué)與對(duì)策，檢查信息并獲取缺少的信息，運(yùn)用“嘗試改進(jìn)”法；運(yùn)用口頭、書(shū)面或形象化的方式檢驗(yàn)并描述結(jié)果；作出一般化和簡(jiǎn)單的假設(shè)并對(duì)此進(jìn)行檢驗(yàn)；用簡(jiǎn)單的文字較明確地?cái)⑹龆x和推理。水平7：采用新的研究線(xiàn)索，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄈタ朔щy。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)任務(wù)，在合適的結(jié)構(gòu)內(nèi)有條理地工作，在運(yùn)用已知信息時(shí)能作出判斷，運(yùn)用“嘗試改進(jìn)”法并回顧進(jìn)展；根據(jù)數(shù)學(xué)推理鏈，找出自相矛盾的推理。水平8：設(shè)計(jì)和推廣數(shù)學(xué)任務(wù)，作詳細(xì)的工作計(jì)劃，有條理地工作，檢查信息，考察結(jié)果是否正確；運(yùn)用“如果……那么……”作出猜想的命題，定義、推理、證明與運(yùn)用反倒反駁；合理地運(yùn)用“如果……那么……”建立一個(gè)擴(kuò)充的推理鏈或論據(jù)。水平9：設(shè)計(jì)、計(jì)劃和完成數(shù)學(xué)任務(wù)并得出成功的結(jié)論；確定一個(gè)猜想是不是真的、假的或不能證實(shí)的，定義和推理，證明和反駁，運(yùn)用符號(hào)，認(rèn)識(shí)和運(yùn)用必要且充分條件。水平10：設(shè)計(jì)、計(jì)劃和完成數(shù)學(xué)任務(wù)，取得成功的結(jié)論，提出合適的解答并判斷選擇的思路；積極地探究、發(fā)展以及運(yùn)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域；給出足夠的、最小的定義；樹(shù)立使用各種數(shù)學(xué)符號(hào)的信心，作出證明（包括使用反證法）。數(shù)、代數(shù)、圖形和空間與數(shù)據(jù)處理部分的十個(gè)水平這里不再一一列舉。A水平數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)大致包括：⑴對(duì)數(shù)學(xué)的理解（培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的正確觀念，提高對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)過(guò)程本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，理解數(shù)學(xué)思想如何用于解釋周?chē)氖澜纾虎浦R(shí)與技能（擴(kuò)充數(shù)學(xué)知識(shí)與技能并應(yīng)用較先進(jìn)的技術(shù)，打下進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、其他學(xué)科以及就業(yè)所需的知識(shí)、技能的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)建模、一般化及解釋與數(shù)學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展有關(guān)的結(jié)果等方面的技能，培養(yǎng)更普遍應(yīng)用的學(xué)習(xí)與思維技能）；⑶數(shù)學(xué)能力（提高應(yīng)用的能力，提高邏輯論證與理解嚴(yán)格性的能力，提高計(jì)算器與微機(jī)的合理的數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，獲得解決推廣數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略）；⑷提高交流數(shù)學(xué)思想的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。4．我國(guó)對(duì)合情推理的研究1988年，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治指出：“要用波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法，要培養(yǎng)波利亞的數(shù)學(xué)工作者”，從而在我國(guó)正式拉開(kāi)了把數(shù)學(xué)方法論和波利亞的數(shù)學(xué)教育思想應(yīng)用于課程教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)新教育時(shí)間的序幕。從此，人們逐漸開(kāi)始探索，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的同時(shí)進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)。在張同君主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》中把數(shù)學(xué)猜想作為一種解題思想介紹給讀者，并詳細(xì)介紹了該思想的基本觀點(diǎn)與解題策略、數(shù)學(xué)猜想與基本猜想方法，對(duì)指導(dǎo)教師進(jìn)行合情推理的教學(xué)實(shí)踐提供了較為實(shí)用的方法的幫助。在過(guò)伯祥的《猜想與合情推理》中，以數(shù)學(xué)史上的著名猜想和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的典型猜測(cè)為素材與背景，探討總結(jié)了數(shù)學(xué)猜想的孕育、形成和解決過(guò)程中的規(guī)律性的東西：猜測(cè)的常用方法，合情推理的模式，猜想的過(guò)程等。對(duì)教師進(jìn)行合情推理的教學(xué)實(shí)驗(yàn)也提供了一定的幫助。現(xiàn)在，人們?cè)谔剿髋囵B(yǎng)學(xué)生合情推理能力的方面已經(jīng)有了很多成果。楊世明的《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)》，是用波利亞風(fēng)格寫(xiě)出的數(shù)學(xué)方法論專(zhuān)著，從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)課本、眾多數(shù)學(xué)家的著作和手稿中采集了豐富的素材，歸納、研究了合情推理方法，對(duì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題、教學(xué)和研究中廣泛應(yīng)用的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、猜測(cè)、檢驗(yàn)、推廣、限定以及抽象、概括等思維方法進(jìn)行了探討。韓富萬(wàn)、李善明在《論合情推理在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與功能》中和明廷橋在《數(shù)學(xué)猜想及其教學(xué)策略》中，分別闡述了合情推理在數(shù)學(xué)中的教育功能，從而給出在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)合情推理的教學(xué)途徑。在任樟輝編著的《數(shù)學(xué)思維理論》中把數(shù)學(xué)合情推理看作數(shù)學(xué)猜想思維，并研究了數(shù)學(xué)猜想思維的方法和培養(yǎng)途徑。華中師范大學(xué)的蔣永紅在其碩士論文《合情推理與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》中詳細(xì)的研究了數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的合情推理模式以及合情推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。云南師范大學(xué)的任麗潔在其碩士論文《數(shù)學(xué)課程中的合情推理及其教學(xué)研究》中，但合情推理依然是在我國(guó)基礎(chǔ)教育中使用頻率最少的名詞，這種狀況一方面可以反映出他在教育者心目中的地位。另一方面，我們也不得不考慮形成這種現(xiàn)狀的原因。中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色和優(yōu)點(diǎn)是重視雙基而忽視學(xué)生的創(chuàng)造性,造成這一現(xiàn)象的原因恐怕與我們的社會(huì)注重繼承，忽略創(chuàng)新的傳統(tǒng)觀念有關(guān)。在中國(guó)傳統(tǒng)文化的熏陶下，人們的思維和行為方式重繼承而少創(chuàng)造，因此，教育者在教育工作中的表現(xiàn)是：“常常作大綱和教材的執(zhí)行情況報(bào)告”。（見(jiàn)《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能教學(xué)研究探索》第8頁(yè)）翻開(kāi)我國(guó)建國(guó)以來(lái)的教學(xué)大綱，發(fā)現(xiàn)直到2000年《數(shù)學(xué)大綱》才第一次指出：思維能力是指會(huì)觀察、試驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象、概括；會(huì)用歸納、演繹和類(lèi)比進(jìn)行推理；會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的觀點(diǎn)和思想；會(huì)用數(shù)學(xué)概念、原理、思想和方法辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)，提高思維水平。2001年《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)背景出發(fā)，向他們提供充足的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，使他們能經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，獲得數(shù)學(xué)猜想，發(fā)展合情推理能力，……。2003年頒布的《標(biāo)準(zhǔn)》中，也強(qiáng)調(diào)：在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修1—2與選修2—2中，推理于證明一章介紹了合情推理中的歸納推理與類(lèi)比推理。并配備了相應(yīng)的習(xí)題。這是我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中，首次加入合情推理內(nèi)容。（二）合情推理的模式北京師范大學(xué)的王申懷在《論證推理與合情推理——美國(guó)芝加哥中學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)（UCSMP）教材介紹》中介紹了思維過(guò)程中四種不同的推理方式：“（1）演繹推理：這是數(shù)學(xué)證明過(guò)程所使用的推理方式；（2）歸納推理：這是實(shí)驗(yàn)科學(xué)（如物理學(xué)）中常用的推理方式。例如，伽利略作了大量實(shí)驗(yàn)后歸納出自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為d=1/2gt2。科學(xué)家在運(yùn)用歸納推理時(shí)總是十分謹(jǐn)慎的。因?yàn)闅w納得出的結(jié)論仍有錯(cuò)誤的可能性。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“大量實(shí)驗(yàn)不能證明我是對(duì)的，但一次實(shí)驗(yàn)就能證明我是錯(cuò)的。”因此，我們要充分注意歸納推理得出結(jié)論的可靠程度。（3）診斷推理：這是醫(yī)生看病時(shí)常用的推理方式。（4）統(tǒng)計(jì)推理：這是根據(jù)事件出現(xiàn)的概率來(lái)推斷結(jié)論。“由于合情推理是一種合乎情理、好像為真的推理，它并不像論證推理那樣有嚴(yán)格的三段論模式，標(biāo)準(zhǔn)不唯一，它還受到個(gè)人的情緒、愛(ài)好、知識(shí)、思維方式等主觀因素的影響，故其模式有不確定性。下面是國(guó)內(nèi)外的教育工作者對(duì)合情推理的研究結(jié)果。合情推理能力的教學(xué)理論始于G.波利亞。G.波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》第一卷、第二卷中詳細(xì)介紹了合情推理的特殊情況:歸納推理與類(lèi)比推理;介紹了合情推理的模式、扼要討論了它們與數(shù)學(xué)發(fā)明及教學(xué)的關(guān)系，得出了重要的合情推理模式。在張同君主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》中將常用的歸納模式與類(lèi)比推理的一般模式進(jìn)行了概括。過(guò)伯祥在《猜想與合情推理》中，給出了通俗易懂的表現(xiàn)形式，更適于一線(xiàn)教師指導(dǎo)初中學(xué)生進(jìn)行合情推理。在華東師范大學(xué)徐成華的碩士論文《初中數(shù)學(xué)教育中的合情推理能才培養(yǎng)初探》中，將合情推理的基本模式歸納為歸納模式、類(lèi)比模式、統(tǒng)計(jì)模式。在陳莉輝的碩士論文《合情推理、非邏輯思維與中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)》中，指出，合情推理在中學(xué)數(shù)學(xué)中包括不完全歸納推理、類(lèi)比推理、猜想、聯(lián)想。在蔣永紅的碩士論文《合情推理與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》中，總結(jié)出一些在數(shù)學(xué)中比較常用的合情推理模式，有:歸納推理模式、類(lèi)比推理模式、統(tǒng)計(jì)推理模式、溯因推理模式、確證推論、可能根據(jù)、不相容命題、漸弱推理、逐次確證等合情推理模式等等。雖然說(shuō)法各異，但總的來(lái)看，合情推理中，最重要的模式是歸納推理和類(lèi)比推理。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）選修1－2、選修2－2推理與證明中，要求“結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”。1．歸納推理歸納推理是以一類(lèi)中若干個(gè)別對(duì)象的具體知識(shí)為前提，推出有關(guān)該類(lèi)事物一般的普遍性知識(shí)的結(jié)論的推理。根據(jù)歸納推