學號20090601050316密級public蘭州城市學院本科畢業論文電磁場邊值關系的推廣應用學院名稱：培黎工程技術學院專業名稱：物理學學生姓名：任榮指導教師：劉子江講師二○一二年四月BACHELOR'SDEGREETHESISOFLANZHOUGeneralizationoftheBoundaryValueRelationinElectromagneticField&ApplicationCollege：SchoolofBelieEngineering&TechnologySubject：PhysicsName：RongRenDirectedby：ZijiangLiuLecturerApril2012PAGEIV鄭重聲明本人呈交的學位論文，是在導師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果，所有數據、圖片資料真實可靠。盡我所知，除文中已經注明引用的內容外，本學位論文的研究成果不包含他人享有著作權的內容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確的方式標明。本學位論文的知識產權歸屬于培養單位。本人簽名：日期：摘要電磁場邊值關系是麥克斯韋方程組的另一種形式，對于解決實際問題是十分有效的。本文從電磁場邊值關系的物理起源入手，詳細地闡述了不同介質分界面上電磁場邊值關系式的推導過程以及各自的獨立性。針對靜電場情況，對電磁場邊值關系進行進一步推廣。通過兩個具體事例：劈形問題和球形問題中電勢的求解，體現電磁場邊值關系在解決實際問題中的優越性。對于電磁場邊值關系的相關內容，在電磁學、電動力學等書籍中都有所涉及，但都是針對其某一方面的討論。本文從物理起源到應用，對電磁場邊值關系進行了系統、全面的分析，有助于對電磁場邊值關系的整體把握和透徹理解。關鍵詞：定態;電磁場邊值關系;分界面;應用ABSTRACElectromagneticfieldboundaryistheMaxwellequationsinanotherform,forsolvingpracticalproblemsisveryeffective.Inthispaper,electromagneticfieldboundaryofthephysicalorigin,adetailedexpositionofdifferentelectromagneticfieldboundaryDielectricSurfacederivationrelationship,andtheirrespectiveindependence.Electrostaticfieldforthesituation,theelectromagneticfieldboundaryconditionsforfurtherpromotion.Throughtwoconcreteexamples:splitShapeandthesphericalprobleminthepotentialofthesolution,reflectstheelectromagneticfieldboundaryvaluerelationsinsolvingpracticalproblemsofsuperiority.

Fortheelectromagneticfieldboundaryoftherelevantcontent,inelectromagnetics,powerdynamicsinvolvedinbothbooks,buttheyaddressaparticularaspectoftheirdiscussion.Thisarticleoriginatedfromthephysicaltotheapplicationofelectromagneticfieldboundaryconditionsforasystematicandcomprehensiveanalysis,contributetotheelectromagneticfieldboundaryconditionsandathoroughunderstandingoftheoverallgrasp.

Keywords:stationary;electromagneticfieldboundaryvaluerelations;boundarysurface;application目錄第1章緒論 1第2章電磁場邊值關系的物理起源 22.1電位移矢量在法線方向的不連續性 22.2磁感應強度在法線方向的連續性 32.3磁場強度在切線方向的不連續性 32.4電場強度在切線方向的連續性 4第3章不同分界面的電磁場邊值關系的表述形式 53.1兩種絕緣介質分界面上的電磁場邊值關系式 53.2導體與真空分界面上的電磁場邊值關系式 73.3理想導體存在時分界面上的電磁場邊值關系式 93.4電磁場邊值關系獨立性的討論 9第4章電磁場邊值關系在具體問題中的應用 114.1劈形問題 124.2球形空間中電勢的分布問題 14參考文獻 17致謝 18PAGE19第1章緒論麥克斯韋方程組理論上可以解決任何連續介質內部的電磁場問題，在兩種介質的分界面上，由于場的作用，一般會出現一層束縛面電荷、面電流，這些電荷、電流激發附加的電磁場，使界面上的物理量發生躍變，微分形式的麥克斯韋方程組不再適用，因而在分界面上使用麥克斯韋方程組的另一種形式——電磁場的邊值關系。由于實際問題中往往存在幾種介質和導體，因此，在解決實際問題過程中，電磁場邊值關系就具有了顯著的優勢。本文主要從以下幾個方面對電磁場邊值關系進行了分析：一、電磁場邊值關系的物理起源，以說明界面上的物理量發生了躍變，微分形式的麥克斯韋方程組不再適用，因而在分界面上使用了麥克斯韋方程電組的另一種形式——電磁場的邊值關系。二、對不同情況下的介質的電磁場邊值關系進行分析比較，就定態磁場，從兩種絕緣介質分界面、導體與真空分界面和理想導體存在時的分界面三個方面討論電磁場的邊值關系。三、把電磁場邊值關系推廣應用到介質分界面內或存在自由電荷面分布、自由電流線分布的界面內任意曲面上，使電磁場邊值問題得以分區求解，顯示出其在求解實際問題中的優越性。本文的研究僅限于定態情況，文中所得到的結論只在分界面靜止（各物理量不變）的條件下適用。對于分界面運動時的電磁場邊值關系，直接利用場量的相對論變換便可得到；其推導過程和結論簡單并且各量都是人們所熟悉和常用的，因此本文沒有予以討論。第2章電磁場邊值關系的物理起源在給定電磁場邊界條件的情況下，麥克斯韋方程組的解是唯一的。而這些邊界條件可以用邊值關系來描述，由此可見，邊值關系在電磁場理論中占有重要的地位。在簡要給出電磁場邊值關系的基礎上，重點就其物理起源進行系統和詳盡的討論。由麥克斯韋方程組的積分形式通過簡單的推導，可以得到一組電磁場邊值關系：現在，分別論述它們各自的物理意義。2.1電位移矢量在法線方向的不連續性：為便于討論，將它寫為標量形式。此式說明，的法向分量不連續，有一躍變，其物理來源可以由分界面上存在自由電荷進行說明。在電磁學中已知，一個面密度為的無限大帶電平面在其兩側激發出均勻電場，其強度為，方向垂直于帶電平面，如圖2.1所示。

圖2.1在跨越邊界時的情況這樣，界面上的電荷所產生的電場是在兩個相反的方向上疊加在兩側電場的法向分量上，因而導致其法向分量不連續。特別是，當界面上無自由電荷，即=0時，，此時的法向分量連續。這是因為，故只與自由電荷有關。再由,，又可寫為，由此說明，雖然有連續，但并不連續，這是因為由場方程，可以看出，電場強度不僅與自由電荷有關，而且還與極化電荷有關。此時，就算不存在自由電荷，也可以有極化電荷存在，這種面極化電荷產生的場，同樣是在兩側以相反的方向疊加在原來的電場之上。所以并不連續。2.2磁感應強度在法線方向上的連續性：為討論方便首先將它寫為標量形式，即磁感應強度的法向分量連續。如圖2.2所示，無論界面上是傳導電流還是磁化電流，當它們以面電流的形式分布時，由電磁學已知，在界面兩側激發的均勻磁場都是平行于界面的，且方向相反，因而這樣的磁場不會影響兩側磁感應強度的法向分量，故有連續。再由，這一邊值關系又可寫為，也就是說，此時雖有連續，但并不連續。是因為的連續在于方程，但在一般情況下事實上由由此可見，的條件有兩個：一是介質的磁導率=常數，即；二是，即介質的磁導率等值面平行于入射(或反射)磁場。顯然，這兩個條件一般情況下并不能滿足。也就是說，一般情況下是不連續的。

圖2.2B(H)在跨越邊界時的情況2.3磁場強度在切線方向的不連續性：將它寫成標量形式，由電磁學可知，如圖2.2所示，界面上有面電流通過時，界面上的電流在其兩側產生的均勻磁場的數值（為電流面密度），方向平行于電流面，在兩個相反的方向上疊加在兩側磁場的切向分量上，因而導致其切向分量不連續，會出現一躍變。特別地，當界面上無傳導電流時，即時，，也就是說連續。前面提及，在邊界上是有限量，所以由知H只與傳導電流有關，因此在無傳導電流的情況下必有連續。2.4電場強度在切線方向的連續性：同樣，由此式的標量，。可以說明是連續的。這是因為界面上無論是自由電荷還是極化電荷，它們在界面兩側產生的電場之切向分量均為0，所以具有無條件的連續性。再由，。又可寫為，也就是說，雖有連續，但并不一定連續。這是因為連續性的條件在于在邊界上有成立，但在一般情況下并不成立。事實上，。與前面相似，上式為0的條件有兩個：一是為常數；二是平行于。由前面邊值關系的導出過程可見，這些條件并不一定滿足。綜上所述，邊值關系實際上是表達了界面上的電荷或電流對界面兩側的場的影響，也就是邊界上的場方程。搞清其物理起源是加深對這些場方程認識的基礎，也是靈活運用這些場方程解決具體問題的基礎。第3章不同分界面的電磁場邊值關系的表述形式麥克斯韋方程組可用于解決任何連續介質內部的電磁場問題。在兩種介質的界面上，由于場的作用一般出現了一層束縛面電荷、面電流的分布，這些電荷、電流激發附加的電磁場，使界面上的物理量發生躍變，微分形式的麥氏方程組不再適用。因而，在介質界面上級須使用麥氏方程組的另一種形式—電磁場的邊值關系，以描述介質界面兩側的場強和界面上電荷、電流的關系。一般情況下，電磁場的邊值關系其中表示自由電流面密度，表示自由電荷面密度。這組邊值關系實際上是邊界上的場方程。也就是麥氏方程組的積分形式應用在邊界上的推論。研究介質中的電磁場，必須知道和，和的關系。但一般情況下，由于對于一般非正弦變化的電磁場，，關系式不成立，因而在介內無法推出和的一般波動方程。故一般情況下均討論定態電磁場。對于定態電磁波，存在此時可在任何介質中推導出和的一般波動方程。下面就定態電磁場，從兩種絕緣介質分界面、導體與真空分界面和理想導體存在時的分界面三個方面討論電磁場的邊值關系。3.1兩種絕緣介質分界面上的電磁場邊值關系式由于絕緣介質面上，，則邊值關系變為:在實際應用中，上式只有前兩式是獨立的。對于定態電磁場，可從上面四式中的前兩式可導出后兩式。推導如下對于定態電磁場，場方程為(3.1)(3.2)設矢量是由介質1指向介質2的法向單位矢量。將與(3.1)式點乘，得利用三矢量的混合積的性質，上式變為對于兩種介質上式變為(3.3)(3.4)(3.4)減(3.3)得而，代入上式必得同理，用點乘(3.2)式得利用三矢量的混合積性質，上式變為（3.5）（3.6）(3.6)減(3.5)得而，代人上式必有從推導過程可以看出：從前兩式出發，在不加入任何物理條件的情況下，僅以數學變形就可得到后兩式，由此可以看出，后兩式是不獨立的。3.2導體與真空分界面上的電磁場邊值關系式在導體與真空的分界面上電磁場的邊值關系為(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)這四個關系中也只有前兩個是獨立的。推導如下:將金屬表面薄層內的電流仍看成是體電流分布，但電荷只分布在導體表面，不能看成體電荷分布，電荷守恒定律的邊值關系為(3.11)在定態電磁波的情況下，由于電場以一定的頻率變化，故亦以同樣的頻率變化即(3.12)將(3.12)代入(3.11)式并利用歐姆定律，得(3.13)利用(3.13)式消去(3.9)式的，引入復介電常數，上式化為(3.14)對于定態電磁波，在導體內的場方程為(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)用介質界面的法向單位矢量點乘(3.15)式，得利用三矢量的混合積性質，上式為對于導體和真空有(3.19)(3.20)(3.20)減(3.19)式得將代入上式必得同理，用點乘(3.16)式，得利用三矢量混合積性質，上式變為對于兩種介質有(3.21)(3.22)(3.22)減(3.21)得而，則(3.23)對于金屬導體，為導體界面薄層的厚度，則由，得將(3.12)式代入上式得(3.24)將（3.24)式代入(3.23)式得上式可寫作與3.2類似，以上的推導過程只是進行數學變形而沒有加入任何物理條件。顯然四個式中，只有前兩個是獨立的。3.3理想導體存在時分界面上的電磁場邊值關系式對于理想導體，導體內部沒有電、磁場，若將上述的介質1視為理想導體，必有故此時界面上的邊值關系應為同樣，這兩個條件滿足后，必有從以上推導可以看出，對于定態電磁波，介質界面上的邊值關系只需前兩個既可。前者說明電場在切向和磁場在法向的連續性，而后者則說明電場在法向，磁場在切向的躍變只與界面上的自由電荷和傳導電流有關。3.4電磁場邊值關系獨立性的討論由上面的討論可知，對于定態電磁場來說，邊值關系的四個方程中只有是獨立的。只所以會有這樣情況發生，是因為在承認電荷守恒定律成立的條件下，麥克斯韋方程組的四個方程(3.25)(3.26)(3.27)(3.28)中，只有前兩個是獨立的。證明如下:取(3.25)式的散度，得由此可見，必為一常數.如果在過去的某一時刻場還未發生，這個常數應該是零，當場達到穩態時，仍為零。因此，我們可取類似地，取(3.26)的散度有由電荷守恒定律知，代人上式得為了與穩態地場一致，我們仍取由以上的推導明顯可以看出，在承認電荷守恒定律這一基本定律的基礎上，麥氏方程組中只有兩個方程是獨立的。也正是因為這個原因導致由它導出的四個邊值關系式中僅有兩個是獨立的。第4章電磁場邊值關系在具體問題中的應用電磁場邊值關系既然只是麥克斯韋方程在介質分界面上的特殊形式，那么根據特殊包含在一般中的原理，我們可以自然而然地將電磁場邊值關系推廣應用到介質分界面內，或存在電荷面分布、電流線分布的界面內的任意曲面上(這個曲面可以閉合也可以不閉合，不閉合時與其它界面一起分割場區)，使電磁場邊值問題得到進一步分區求解。在某些電磁場邊值問題中應用推廣了的電磁場邊值關系，可使問題極易求解，顯示出它的優越性。電磁場邊值關系應該得到充分重視。下面我們以靜電問題來闡述電磁場邊值關系的推廣應用。在靜電情況下，，兩式可用電勢表示為(4.1)(4.2)它們在界面上各點都成立，且點點對應。靜電情況下推廣了的邊值關系可寫作(4.1)、(4.2)式，但界面不再是真正介質之間的分界面或存在自由電荷面分布的曲面，而是包含于它們中的任選曲面。應用推廣下的靜電場邊值關系，關鍵在于如何確定在過電荷分布區時所選曲面上的電荷面密度分布。當所選曲面經過的電荷分布區里有限時，在電荷分布區里所選曲面上任選一點P，作一包圍P點的無限小閉合曲面S并在S上應用高斯定理那么，由于S無限小，，而有限，所以應有。這即是說在所選曲面經過的電荷分布區域里有限時，則在所選曲面上；所選曲面兩側的場量是連續而無突變的。當所選曲面經過理想點電荷或線電荷所在位置時，由于點電荷、線電荷的體密度表達式都是狄拉克函數的形式，因此在該曲面上點電荷或線電荷所在位置附近應用積分形式的麥氏方程，可化點電荷或線電荷體密度為位于曲面上的面電密度表示。即把點電荷或線電荷體密度表達的函數沿所選曲面在點電荷或線電荷位置處的法線方向積分一次，則得(4.3)式中Q為恒量，但不一定是電量。在確定了曲面上的后，把它應用于求解靜電場問題就可以進一步進行分區分離變量。各分區區域中的解通過分區界面或曲面上的邊值關系實現關聯與響應，若分區界面或曲面上有點電荷或線電荷存在時，那么它們對場的貢獻可以通過推廣了的邊值關系來確定，下面我們以兩個具體情況對邊值關系的應用進行分析。4.1劈形問題有一點電荷位于兩接地導電半平面OA，OB(兩平面所夾角為)所限定的劈形空間內一點P上。如圖4.l所示，電荷位置的柱坐標()，柱坐標的z軸和交角的邊緣重合，極角由OA算起.角可以大于，也可以小于，分析劈形空間的電勢分布。為了使用推廣下的電場邊值關系求解靜電場問題，我們設想用一過點電荷所在處的半徑為的圓柱側面分割場區為柱內區、外區，然后運用分離變量法求各區域的解，再通過推廣了的所選圓柱側面上的邊值關系使解關聯響應。圖4.1為此，根據(4.3)式有:半徑為的圓柱側上的面電荷分布密度為(4.4)而區，區的定解問題是(4.5)(4.6)它們均為齊次方程和齊次邊界條件，因此可用分離變量法求解，其解分別為(4.7)(4.8)(4.7)、(4.8)式中的和是虛宗量的貝塞耳函數.和應滿足半徑為圓柱側面上推廣了的邊值關系(4.9)所以有(4.10)利用和，并注意到積分與求和可交換順序，再比較上式兩端的系數可得(4.11)聯立解(4.10)、(4.11)式，再應用公式可得==(4.12)最后有(4.13)(4.14)顯然（4.13），（4.14）式與文獻[4]中的結果是一致的。4.2球形空間中電勢的分布問題設半徑為R的接地空心導體球內放置有一半徑為，總帶電量為q的同心圓環，環位于XOY平面上，如圖4.2所示。分析球內空間的電勢分布。我們也用推廣了的電場邊值關系分區求解這個靜電場問題。s在球坐標系中，帶電環的電荷體密度為而環是位于x偽平面上的，故=90，這樣環的電荷體密度表達式應為圖4.2(4.15)我們用一半徑為的球面分割場區，于是得到球面內的區和球外的區，由(4.3)式可化帶電環體密度為位于球面上的面密度表示，即(4.16)而區和區的定解問題是(4.17)(4.18)用分離變量法解(4.17)、(4.18)，并注意到分布的軸對稱性，它們的通解為（）(4.19)（）(4.20)(4.19)、(4.20)中的是勒讓德函數.由=有限量，知而根據,有測（）