角的平分線的性質1角的平分線的性質第12章全等三角形角的平分線的性質1第12章全等三角形1那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?用量角器度量，也可用折紙的方法．問題：在紙上畫一個角，怎樣得到

這個角的平分線？

那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?用量角器度量2左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎？ABDCE從利用平分角的儀器畫角的平分線中,你受到哪些啟發?左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,3用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?作法：1.以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N2.分別以M、N為圓心,大于

0.5MN的長為半徑畫弧,兩

弧在∠AOB內交于點C3.畫射線OC.用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平4本節內容是全等三角形知識的運用和延續。分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.如圖，△ABC中，∠ABC=90°,分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=.左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是∠DAB的平分線.那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?“邊邊邊定理”和全等三角形的性質。如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,“角的平分線的性質”定理主要是如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為。AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。定理的證明方法給我們提供了一種分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?作法：1.以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N2.分別以M、N為圓心,大于

0.5MN的長為半徑畫弧,兩

弧在∠AOB內交于點C3.畫射線OC.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。用尺規作角的平分線MN5如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E.則PD、PE有何數量關系？如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥O6角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等∵∠AOC=∠BOC,

PD⊥OA,PE⊥OB,

∴PD=PE．角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等∵∠AO7如圖,點P在∠AOB的平分線OC上.下列哪些結論一定成立?①如圖1，D、E分別為OA、OB上的點，則PD=PE．②如圖2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，則PD=PE．③如圖3，PD⊥OA于D.若PD=3,則點P到OB的距離為3.④如圖3，PD⊥OA于D.若PD=3,點Q為直線OB上任意

一點，則線段PQ≥3.如圖,點P在∠AOB的平分線OC上.下列哪些結論一定8如圖，△ABC中，∠ABC=90°,AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。則圖中和點D到AC的距離相等的線段為

。BD如圖，△ABC中，∠ABC=90°,BD9在此題的已知條件下,你還能得到哪些正確結論?例:如圖,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平

分線,

DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.

求證:EB=FC．在此題的已知條件下,你例:如圖,△ABC中,∠B=∠10例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.

求證：點P到△ABC的三邊的距離相等．例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.111.明確命題中的已知和求證;2.根據題意畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證;3.經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.證明幾何命題的一般步驟：1.明確命題中的已知和求證;證明幾何命題的一般步驟：12求證:有兩角相等的三角形是等腰三角形.已知：△ABC中，∠B=∠C求證：△ABC是等腰三角形。D

求證:有兩角相等的三角形是等腰三角形.已知：△ABC中，13例.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=

.4:5:6例.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、514尺規作圖：如圖，過直線l上的點P作直線l的垂線。思考PNMQ尺規作圖：如圖，過直線l上的點P作直線l的垂線。思考P15以O為圓心,適當長為半徑要先證兩個三角形全等．如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,畫弧,交OA于M,交OB于N定理的證明方法給我們提供了一種求證:EB=FC．P50練習2則PD、PE有何數量關系？如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=.用尺規作一個角的平分線，其作法原理是如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,問題：在紙上畫一個角，怎樣得到①如圖1，D、E分別為OA、OB上的點，則PD=PE．證明幾何命題的一般步驟：第12章全等三角形如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為。②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.以O為圓心,適當長為半徑若PD=3,則點P到OB的距離為3.課內練習：P50練習2以O為圓心,適當長為半徑課內練習：16請談談你的收獲……請談談你的收獲……171.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。

“角的平分線的性質”定理常用來證明線段

相等。定理的證明方法給我們提供了一種

重要思路----構造兩個全等的三角形，進而

證明相關元素對應相等．2.用尺規作一個角的平分線，其作法原理是

“邊邊邊定理”和全等三角形的性質。1.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。183.幾何命題的證明步驟4.“角的平分線的性質”定理主要是

用于判斷和證明兩條線段相等，與

以前的方法相比，運用此性質不需

要先證兩個三角形全等．3.幾何命題的證明步驟19作業:課本P51

T2、4、5、6作業:課本P5120補充資源補充資源21如圖,△ABC中,點O為兩條角平分線的交點,OD⊥AC于D,若AB=20cm,BC=25cm,AC=15cm,△ABC的面積為150cm2,求OD的長.EF如圖,△ABC中,點O為兩條角平分線的交點,OD⊥22如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為

。E提示：延長BA到E,使AE=AC,連EP.證△ACP≌△AEP得:AE=AC=b,PE=PC=n.由PB+PE＞BE得:m+n＞b+c。練習冊34頁第3題如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上23如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB,點D、E、F是垂足，若AB=10，BC=8，AC=6，求OD、OE、OF的長。練習冊34頁第6題如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為三條角平分線的交點，O24如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.求證：①S△ABD:S△ACD=AB:AC；

②BD:CD=AB:AC.MNE面積法練習冊35頁第11題如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.MNE面積法練習冊325MN練習冊38頁第14題MN練習冊38頁第14題26MN練習冊38頁第14題作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分別為M、N.則根據“角平分線的性質”有DM=DN.①當∠AED+∠AFD=180°時,易證∠AED=∠NFD，得△DME≌△DNF(AAS),所以仍有DE=DF.MN練習冊38頁第14題作DM⊥AB,DN⊥AC,垂27經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,本節內容是全等三角形知識的運用和延續。如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,用量角器度量，也可用折紙的方法．則根據“角平分線的性質”有DM=DN.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,“角的平分線的性質”定理主要是在此題的已知條件下,你AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.③如圖3，PD⊥OA于D.②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.②BD:CD=AB:AC.畫弧,交OA于M,交OB于N②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=.求證：①S△ABD:S△ACD=AB:AC；練習冊38頁第14題②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.練習冊3828自學：課本P1--1自學導引：1.2.3.完成頁的練習1、2。自學：課本P1--1自學導引：29ABOABOPCDEABCDEFABOABOPCDEABCDEF30EE圖1圖2圖3ABCPMNPBACDcbmnEE圖131AEDOFBCDBACAEDOFBCDBAC32若PD=3,點Q為直線OB上任意分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.定理的證明方法給我們提供了一種如圖，△ABC中，∠ABC=90°,如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為。畫弧,交OA于M,交OB于N問題：在紙上畫一個角，怎樣得到“角的平分線的性質”定理常用來證明線段AE=AC=b,PE=PC=n.經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.問題：在紙上畫一個角，怎樣得到分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.定理的證明方法給我們提供了一種②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.第12章全等三角形AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。畫弧,交OA于M,交OB于N如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB,點D、E、F是垂足，若AB=10，BC=8，AC=6，求OD、OE、OF的長。③如圖3，PD⊥OA于D.以O為圓心,適當長為半徑EFDBACMNDBACEFDBACEF若PD=3,點Q為直線OB上任意EFDBACMNDBAC33AEDFBCADOBCAEDFBCADOBC34角的平分線的性質1角的平分線的性質第12章全等三角形角的平分線的性質1第12章全等三角形35那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?用量角器度量，也可用折紙的方法．問題：在紙上畫一個角，怎樣得到

這個角的平分線？

那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?用量角器度量36左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎？ABDCE從利用平分角的儀器畫角的平分線中,你受到哪些啟發?左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,37用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?作法：1.以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N2.分別以M、N為圓心,大于

0.5MN的長為半徑畫弧,兩

弧在∠AOB內交于點C3.畫射線OC.用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平38本節內容是全等三角形知識的運用和延續。分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.如圖，△ABC中，∠ABC=90°,分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=.左圖是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是∠DAB的平分線.那么在實際的生產生活中,這些方法是否方便可行呢?“邊邊邊定理”和全等三角形的性質。如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,“角的平分線的性質”定理主要是如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為。AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。定理的證明方法給我們提供了一種分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?用尺規作角的平分線MNC那么,射線OC為什么是∠AOB的平分線呢?作法：1.以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于M,交OB于N2.分別以M、N為圓心,大于

0.5MN的長為半徑畫弧,兩

弧在∠AOB內交于點C3.畫射線OC.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。用尺規作角的平分線MN39如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E.則PD、PE有何數量關系？如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥O40角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等∵∠AOC=∠BOC,

PD⊥OA,PE⊥OB,

∴PD=PE．角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等∵∠AO41如圖,點P在∠AOB的平分線OC上.下列哪些結論一定成立?①如圖1，D、E分別為OA、OB上的點，則PD=PE．②如圖2，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，則PD=PE．③如圖3，PD⊥OA于D.若PD=3,則點P到OB的距離為3.④如圖3，PD⊥OA于D.若PD=3,點Q為直線OB上任意

一點，則線段PQ≥3.如圖,點P在∠AOB的平分線OC上.下列哪些結論一定42如圖，△ABC中，∠ABC=90°,AD是角平分線，直線EF過點D分別交AB的延長線于E,交AC于F，且AE=AF。則圖中和點D到AC的距離相等的線段為

。BD如圖，△ABC中，∠ABC=90°,BD43在此題的已知條件下,你還能得到哪些正確結論?例:如圖,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平

分線,

DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.

求證:EB=FC．在此題的已知條件下,你例:如圖,△ABC中,∠B=∠44例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.

求證：點P到△ABC的三邊的距離相等．例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.451.明確命題中的已知和求證;2.根據題意畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證;3.經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.證明幾何命題的一般步驟：1.明確命題中的已知和求證;證明幾何命題的一般步驟：46求證:有兩角相等的三角形是等腰三角形.已知：△ABC中，∠B=∠C求證：△ABC是等腰三角形。D

求證:有兩角相等的三角形是等腰三角形.已知：△ABC中，47例.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=

.4:5:6例.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、548尺規作圖：如圖，過直線l上的點P作直線l的垂線。思考PNMQ尺規作圖：如圖，過直線l上的點P作直線l的垂線。思考P49以O為圓心,適當長為半徑要先證兩個三角形全等．如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,畫弧,交OA于M,交OB于N定理的證明方法給我們提供了一種求證:EB=FC．P50練習2則PD、PE有何數量關系？如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=.用尺規作一個角的平分線，其作法原理是如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,問題：在紙上畫一個角，怎樣得到①如圖1，D、E分別為OA、OB上的點，則PD=PE．證明幾何命題的一般步驟：第12章全等三角形如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為。②而當DE=DF時，如圖，不一定有∠AED+∠AFD=180°.以O為圓心,適當長為半徑若PD=3,則點P到OB的距離為3.課內練習：P50練習2以O為圓心,適當長為半徑課內練習：50請談談你的收獲……請談談你的收獲……511.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。

“角的平分線的性質”定理常用來證明線段

相等。定理的證明方法給我們提供了一種

重要思路----構造兩個全等的三角形，進而

證明相關元素對應相等．2.用尺規作一個角的平分線，其作法原理是

“邊邊邊定理”和全等三角形的性質。1.本節內容是全等三角形知識的運用和延續。523.幾何命題的證明步驟4.“角的平分線的性質”定理主要是

用于判斷和證明兩條線段相等，與

以前的方法相比，運用此性質不需

要先證兩個三角形全等．3.幾何命題的證明步驟53作業:課本P51

T2、4、5、6作業:課本P5154補充資源補充資源55如圖,△ABC中,點O為兩條角平分線的交點,OD⊥AC于D,若AB=20cm,BC=25cm,AC=15cm,△ABC的面積為150cm2,求OD的長.EF如圖,△ABC中,點O為兩條角平分線的交點,OD⊥56如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上異于A、D的任意一點，設PB=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(m+n)與(b+c)的大小關系為

。E提示：延長BA到E,使AE=AC,連EP.證△ACP≌△AEP得:AE=AC=b,PE=PC=n.由PB+PE＞BE得:m+n＞b+c。練習冊34頁第3題如圖，△ABC中，∠A的外角平分線交直線BC于D，P是AD上57如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB,點D、E、F是垂足，若AB=10，BC=8，AC=6，求OD、OE、OF的長。練習冊34頁第6題如圖，△ABC中，∠C=90°，點O為三條角平分線的交點，O58如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.求證：①S△ABD:S△ACD=AB:AC；

②BD:CD=AB:AC.MNE面積法練習冊35頁第11題如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.MNE面積法練習冊359MN練習冊38頁第14題MN練習冊38頁第14題60MN練習冊38頁第14題作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分別為M、N.則根據“角平分線的性質”有DM=DN.①當∠AED+∠AFD=180°時,易證∠AED=∠NFD，得△DME≌△DNF(AAS),所以仍有DE=DF.MN練習冊38頁第14題作DM⊥AB,DN⊥AC,垂61經過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,本節內容是全等三角形知識的運用和延續。如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,用量角器度量，也可用折紙的方法．則根據“角平分線的性質”有DM=DN.如圖,△ABC中,AD平分∠BAC.例:如圖,△ABC的角平分線BM、CN交于點P.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60,其三條角平分線交于點O,“角的平分線的性質”定理主要是在此題的已