球面上的距離球面上的距離1上一講中，運(yùn)用歐式幾何的方法，研究了球面的一些性質(zhì)．這次課從球面上的距離和角入手，進(jìn)入球面幾何的學(xué)習(xí)．舊知回顧上一講中，運(yùn)用歐式幾何的方法，研究了球面的一2導(dǎo)入新課歐式幾何中，用距離和角度（方位）來(lái)刻畫(huà)位置間的關(guān)系，對(duì)于球面的學(xué)習(xí)，從球面上的距離和角兩個(gè)基本概念開(kāi)始．導(dǎo)入新課歐式幾何中，用距離和角度（方位）來(lái)刻3球面上的距離和角球面上的距離和角4一、球面上的距離我們知道，在平面上，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可連一條直線．平面上兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，這條線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離．一、球面上的距離我們知道，在平面上，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)5平面上的兩條直線有兩種位置關(guān)系：平行和相交，如果相交，那么只有一個(gè)交點(diǎn)．平面上的直線可以無(wú)限延長(zhǎng)等等．這些都是平面上直線的性質(zhì)．在平面上可以畫(huà)出直線，但球面是一個(gè)曲面，球面上的線是彎曲的，不存在直線．平面上的兩條直線有兩種位置關(guān)系：平行和相交，6球面上有沒(méi)有某種曲線可以“扮演”平面上直線的角色呢？連結(jié)球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，而且它們的長(zhǎng)短不一，其中是否存在一條最短的曲線？探究球面上有沒(méi)有某種曲線可以“扮演”平面上直線的7如下圖，一架飛機(jī)從北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)起飛，目的地是美國(guó)紐約肯尼迪國(guó)際機(jī)場(chǎng)，北京與紐約大致都在北緯40°上，如果不考慮其他因素，飛機(jī)如何飛行才能使航程最短？如下圖，一架飛機(jī)從北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)起飛，目的8A

BBOAB、A兩點(diǎn)的距離是多少？ABBOAB、A兩點(diǎn)的距離是多少？9NBO北京S舊金山O′T北南NBO北京S舊金山O′T北南10如上圖，我們用點(diǎn)B代表北京、點(diǎn)N代表紐約，點(diǎn)O表示球心．用經(jīng)過(guò)B點(diǎn)、N點(diǎn)、O點(diǎn)的平面去截球面，得到一個(gè)大圓（由于平面過(guò)球心），那么B點(diǎn)、N點(diǎn)就把這個(gè)大圓分成兩段圓弧，長(zhǎng)的一段叫優(yōu)弧，短的一段叫劣?。踊〉拈L(zhǎng)度就是球面上兩點(diǎn)間的最短距離，簡(jiǎn)稱之為球面上兩點(diǎn)間的距離。如上圖，我們用點(diǎn)B代表北京、點(diǎn)N代表紐約，點(diǎn)11再回到上圖，很容易得到，飛機(jī)沿著大圓從北京向北經(jīng)極地飛行到達(dá)紐約，航程最短，它比飛機(jī)向東沿北緯40°的小圓，經(jīng)舊金山到達(dá)紐約的航程要短．再回到上圖，很容易得到，飛機(jī)沿著大圓從北京向12如果我們把圖中的大圓弧和小圓弧畫(huà)到同一個(gè)平面，如下圖．TSBNOO′r′r如果我們把圖中的大圓弧和小圓弧畫(huà)到同一個(gè)平面13觀察圖形可知，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓弧

，比以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓弧要短．也就是說(shuō)，平面上經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的劣弧中，半徑越大，劣弧越短．因此過(guò)球面上兩點(diǎn)一定可以連一條且只可以連一條大圓弧——劣?。^察圖形可知，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓弧14例假設(shè)地球的半徑為R，如圖，在北緯45°的緯線上有A，B兩點(diǎn)，且所對(duì)的圓心角∠AO′B=90°，求球面上A，B兩點(diǎn)間的距離．ABOO′例假設(shè)地球的半徑為R，如圖，在北緯4515ABOO′解：如圖，連結(jié)OA，OB，AB，OO′.由緯度的意義，可得同理，因?yàn)椤螦O′B=90°．所以又因?yàn)镺A=OB=R，所以∠AOB=60°，因此，球面上A，B兩點(diǎn)間的距離等于ABOO′解：如圖，連結(jié)OA，OB，AB，OO′.由緯度的意16由于不在同一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓，因此過(guò)球面上兩點(diǎn)必可連一條大圓弧—劣弧．這類似平面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可能連一條直線；平面上兩點(diǎn)之間的最短路徑是線段．因此，球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色．由于不在同一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓，因此17盡管球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色，但是兩者之間也有很大的不同．平面上的兩條直線可以相交：只有一個(gè)交點(diǎn)；也可以不相交（平行）：沒(méi)有交點(diǎn)．但是球面上任意兩個(gè)大圓（類似平面上的兩條直線）必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)．盡管球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色18思考為什么兩個(gè)大圓必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)？AA′O思考為什么兩個(gè)大圓必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)？AA′O19如上圖，因?yàn)榍蛎嫔系膬蓚€(gè)大圓所在的平面都經(jīng)過(guò)球心O．所以這兩個(gè)大圓所在的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，因此這兩個(gè)平面必有一條過(guò)球心O的相交直線，這條相交直線顯然是球面的直徑所在的直線，兩個(gè)大圓的交點(diǎn)是這條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′．我們把球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′稱為對(duì)徑點(diǎn)．因此，兩個(gè)大圓相交于對(duì)徑點(diǎn)A，A′．如上圖，因?yàn)榍蛎嫔系膬蓚€(gè)大圓所在的平面都經(jīng)過(guò)20謝謝謝謝211.交代故事發(fā)生的時(shí)間、環(huán)境；描繪出一幅令人恐懼的畫(huà)面，渲染緊張氣氛。側(cè)面表現(xiàn)人物恐懼痛苦的內(nèi)心世界，與他所向往的溫馨的家庭生活環(huán)境形成鮮明對(duì)比。2.但是，情況終于改變了。一些急欲挽救中國(guó)的社會(huì)改革家發(fā)現(xiàn)，舊時(shí)代的主流意識(shí)形態(tài)必須改變，而那些數(shù)千年來(lái)深入民間社會(huì)的精神活力則應(yīng)該調(diào)動(dòng)起來(lái)。因此，大家又重新驚喜地發(fā)現(xiàn)了墨子。3.中國(guó)作家結(jié)識(shí)雨果已經(jīng)近一百年。當(dāng)偉大的雨果以其壯麗風(fēng)采開(kāi)辟著一個(gè)理想的正義世界的時(shí)候，當(dāng)他以浪漫主義的狂飆之勢(shì)席卷風(fēng)云變幻的歐羅巴的時(shí)候，中國(guó)還是一只沉睡的雄獅，尚未向世界打開(kāi)廣泛的視聽(tīng)。

4.意義的追求是每一章散文詩(shī)必須堅(jiān)持的，是她的生命線。沒(méi)有任何意義的散文詩(shī)，決非好作品。意義和審美是一體化的存在，只有在審美的前提下，在足以強(qiáng)化審美而不是削弱審美的前提下，才能實(shí)現(xiàn)意義的追求。5.傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)理論不考慮經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)的物質(zhì)和能量交換是基于以下的假設(shè)：生態(tài)系統(tǒng)的物質(zhì)和能量是取之不盡、用之不竭的。6.這一前提假設(shè)在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)相對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)較小時(shí)，即世界是一個(gè)“空的世界”時(shí)尚能滿足，但在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)快速增長(zhǎng)，世界逐漸從“空的世界”變成“滿的世界”后，這一假設(shè)就很難滿足了。7.當(dāng)人們不能改變客觀的社會(huì)環(huán)境時(shí)，要避免應(yīng)激性疾病的發(fā)生就應(yīng)該不斷降低心理壓力。降低心理壓力的方法是多種多樣的，正確認(rèn)識(shí)事物，獲得積極的情感體驗(yàn)是一個(gè)重要的方法。8.心理學(xué)上有一種認(rèn)識(shí)——評(píng)估學(xué)說(shuō)，即個(gè)體對(duì)事物有了認(rèn)識(shí)，就會(huì)利用頭腦中的舊經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋新輸入的信息，進(jìn)行評(píng)估，于是產(chǎn)生情緒體驗(yàn)。而個(gè)體對(duì)事物究竟體驗(yàn)為積極的情緒還是消極的情緒，在于怎樣認(rèn)識(shí)事物。9.迫于現(xiàn)實(shí)社會(huì)生存的巨大綜合壓力和人類因物質(zhì)文明進(jìn)步而帶來(lái)的精神困惑，當(dāng)代詩(shī)歌的內(nèi)容越來(lái)越局限于私人性的東西，正日愈失去處理重大社會(huì)題材的藝術(shù)能力，這就使得它日愈減少獲得公眾關(guān)注的機(jī)會(huì)，而只有在少數(shù)未被現(xiàn)代社會(huì)物質(zhì)化的心靈當(dāng)中獲得知音；1.交代故事發(fā)生的時(shí)間、環(huán)境；描繪出一幅令人恐懼的畫(huà)面，渲染22球面上的距離球面上的距離23上一講中，運(yùn)用歐式幾何的方法，研究了球面的一些性質(zhì)．這次課從球面上的距離和角入手，進(jìn)入球面幾何的學(xué)習(xí)．舊知回顧上一講中，運(yùn)用歐式幾何的方法，研究了球面的一24導(dǎo)入新課歐式幾何中，用距離和角度（方位）來(lái)刻畫(huà)位置間的關(guān)系，對(duì)于球面的學(xué)習(xí)，從球面上的距離和角兩個(gè)基本概念開(kāi)始．導(dǎo)入新課歐式幾何中，用距離和角度（方位）來(lái)刻25球面上的距離和角球面上的距離和角26一、球面上的距離我們知道，在平面上，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可連一條直線．平面上兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，這條線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離．一、球面上的距離我們知道，在平面上，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)27平面上的兩條直線有兩種位置關(guān)系：平行和相交，如果相交，那么只有一個(gè)交點(diǎn)．平面上的直線可以無(wú)限延長(zhǎng)等等．這些都是平面上直線的性質(zhì)．在平面上可以畫(huà)出直線，但球面是一個(gè)曲面，球面上的線是彎曲的，不存在直線．平面上的兩條直線有兩種位置關(guān)系：平行和相交，28球面上有沒(méi)有某種曲線可以“扮演”平面上直線的角色呢？連結(jié)球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，而且它們的長(zhǎng)短不一，其中是否存在一條最短的曲線？探究球面上有沒(méi)有某種曲線可以“扮演”平面上直線的29如下圖，一架飛機(jī)從北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)起飛，目的地是美國(guó)紐約肯尼迪國(guó)際機(jī)場(chǎng)，北京與紐約大致都在北緯40°上，如果不考慮其他因素，飛機(jī)如何飛行才能使航程最短？如下圖，一架飛機(jī)從北京首都國(guó)際機(jī)場(chǎng)起飛，目的30A

BBOAB、A兩點(diǎn)的距離是多少？ABBOAB、A兩點(diǎn)的距離是多少？31NBO北京S舊金山O′T北南NBO北京S舊金山O′T北南32如上圖，我們用點(diǎn)B代表北京、點(diǎn)N代表紐約，點(diǎn)O表示球心．用經(jīng)過(guò)B點(diǎn)、N點(diǎn)、O點(diǎn)的平面去截球面，得到一個(gè)大圓（由于平面過(guò)球心），那么B點(diǎn)、N點(diǎn)就把這個(gè)大圓分成兩段圓弧，長(zhǎng)的一段叫優(yōu)弧，短的一段叫劣?。踊〉拈L(zhǎng)度就是球面上兩點(diǎn)間的最短距離，簡(jiǎn)稱之為球面上兩點(diǎn)間的距離。如上圖，我們用點(diǎn)B代表北京、點(diǎn)N代表紐約，點(diǎn)33再回到上圖，很容易得到，飛機(jī)沿著大圓從北京向北經(jīng)極地飛行到達(dá)紐約，航程最短，它比飛機(jī)向東沿北緯40°的小圓，經(jīng)舊金山到達(dá)紐約的航程要短．再回到上圖，很容易得到，飛機(jī)沿著大圓從北京向34如果我們把圖中的大圓弧和小圓弧畫(huà)到同一個(gè)平面，如下圖．TSBNOO′r′r如果我們把圖中的大圓弧和小圓弧畫(huà)到同一個(gè)平面35觀察圖形可知，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓弧

，比以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓弧要短．也就是說(shuō)，平面上經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的劣弧中，半徑越大，劣弧越短．因此過(guò)球面上兩點(diǎn)一定可以連一條且只可以連一條大圓弧——劣?。^察圖形可知，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓弧36例假設(shè)地球的半徑為R，如圖，在北緯45°的緯線上有A，B兩點(diǎn)，且所對(duì)的圓心角∠AO′B=90°，求球面上A，B兩點(diǎn)間的距離．ABOO′例假設(shè)地球的半徑為R，如圖，在北緯4537ABOO′解：如圖，連結(jié)OA，OB，AB，OO′.由緯度的意義，可得同理，因?yàn)椤螦O′B=90°．所以又因?yàn)镺A=OB=R，所以∠AOB=60°，因此，球面上A，B兩點(diǎn)間的距離等于ABOO′解：如圖，連結(jié)OA，OB，AB，OO′.由緯度的意38由于不在同一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓，因此過(guò)球面上兩點(diǎn)必可連一條大圓弧—劣?。@類似平面上經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)可以連一條直線，且只可能連一條直線；平面上兩點(diǎn)之間的最短路徑是線段．因此，球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色．由于不在同一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓，因此39盡管球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色，但是兩者之間也有很大的不同．平面上的兩條直線可以相交：只有一個(gè)交點(diǎn)；也可以不相交（平行）：沒(méi)有交點(diǎn)．但是球面上任意兩個(gè)大圓（類似平面上的兩條直線）必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)．盡管球面上的大圓可以“扮演”平面上直線的角色40思考為什么兩個(gè)大圓必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)？AA′O思考為什么兩個(gè)大圓必定相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)？AA′O41如上圖，因?yàn)榍蛎嫔系膬蓚€(gè)大圓所在的平面都經(jīng)過(guò)球心O．所以這兩個(gè)大圓所在的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，因此這兩個(gè)平面必有一條過(guò)球心O的相交直線，這條相交直線顯然是球面的直徑所在的直線，兩個(gè)大圓的交點(diǎn)是這條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′．我們把球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)A，A′稱為對(duì)徑點(diǎn)．因此，兩個(gè)大圓相交于對(duì)徑點(diǎn)A，A′．如上圖，因?yàn)榍蛎嫔系膬蓚€(gè)大圓所在的平面都經(jīng)過(guò)42謝謝謝謝431.交代故事發(fā)生的時(shí)間、環(huán)境；描繪出一幅令人恐懼的畫(huà)面，渲染緊張氣氛。側(cè)面表現(xiàn)人物恐懼痛苦的內(nèi)心世界，與他所向往的溫馨的家庭生活環(huán)境形成鮮明對(duì)比。2.但是，情況終于改變了。一些急欲挽救中國(guó)的社會(huì)改革家發(fā)現(xiàn)，舊時(shí)代的主流意識(shí)形態(tài)必須改變，而那些數(shù)千年來(lái)深入民間社會(huì)的精神活力則應(yīng)該調(diào)動(dòng)起來(lái)。因此，大家又重新驚喜地發(fā)現(xiàn)了墨子。3.中國(guó)作家結(jié)識(shí)雨果已經(jīng)近一百年。當(dāng)偉大的雨果以其壯麗風(fēng)采開(kāi)辟著一個(gè)理想的正義世界的時(shí)候，當(dāng)他以浪漫主義的狂飆之