12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)R·八年級(jí)上冊(cè)12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)R右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？ABDC新課導(dǎo)入E右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．學(xué)會(huì)角平分線的畫法.2．探究并認(rèn)知角平分線的性質(zhì).3．熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)：推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.ADBCE推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，ADBCE從利用平分角的儀器畫角的平分線的過(guò)程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)作角的平分線知識(shí)點(diǎn)1從利用平分角的儀器畫角的平分線的過(guò)程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:

ABOMNC

1．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．3．畫射線OC．射線OC即為所求．

2．分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C．利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:ABOMNC

你能說(shuō)明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNC你能說(shuō)明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎？ABOMN練習(xí)1平分平角∠AOB，通過(guò)作角平分線得到射線OC，然后反向延長(zhǎng)OC得到直線CD，直線CD與直線AB存在什么樣的位置關(guān)系？互相垂直.練習(xí)1平分平角∠AOB，通過(guò)作角平分線得到射線OC，然能，將這個(gè)三角形沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該頂點(diǎn)的角的兩邊重合，則這條線就是這個(gè)角的平分線.能，將這個(gè)三角形沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？探究在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在O觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________.PD=PE觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：___已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：

一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語(yǔ)言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．∵OC是∠AOB的平分線，幾何語(yǔ)言：角平分線的性質(zhì)：角的平分由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過(guò)程．由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概（1）明確命題

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（2）如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（3）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．ABOPCD（3）練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是．ABOPC在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？練習(xí)2

如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF在此題的已知條件下，練習(xí)2如圖，△ABC中，BD=證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎(chǔ)鞏固D隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：綜合應(yīng)用①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平3.如圖，點(diǎn)D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求證：CE=CF.拓展延伸證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS).3.如圖，點(diǎn)D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴CE=CF.∴∠DAC=∠BAC.課堂小結(jié)ABOMNC角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．課堂小結(jié)ABOMNC角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩1.從課后習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。課后作業(yè)1.從課后習(xí)題中選取；課后作業(yè)?Sufferingisthemostpowerfulteacheroflife.苦難是人生最偉大的老師。?Formanismanandmasterofhisfate.人就是人，是自己命運(yùn)的主人。?Amancan'trideyourbackunlessitisbent.你的腰不彎，別人就不能騎在你的背上。?1Ourdestinyoffersnotthecupofdespair,butthechaliceofopportunity.?Soletusseizeit,notinfear,butingladness.·命運(yùn)給予我們的不是失望之酒，而是機(jī)會(huì)之杯。因此，讓我們毫無(wú)畏懼，滿心愉悅地把握命運(yùn)?Sufferingisthemostpowerfu?在有歡聲笑語(yǔ)的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿了冰凌，一根兒一根兒像水晶一樣，真美啊！我們一個(gè)一個(gè)小腳印踩在大地毯上，像畫上了美麗的圖畫，踩一步，吱吱聲就出來(lái)了，原來(lái)是雪在告我們：和你們一起玩兒我感到真開(kāi)心，是你們把我們這一片寂靜變得熱鬧起來(lái)。對(duì)了，還有樹(shù)。樹(shù)上掛滿了樹(shù)掛，有的樹(shù)枝被壓彎了腰，真是忽如一夜春風(fēng)來(lái)，千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)梨花開(kāi)。真好看呀！?冬天，一層薄薄的白雪，像巨大的輕軟的羊毛毯子，覆蓋摘在這廣漠的荒原上，閃著寒冷的銀光。?在有歡聲笑語(yǔ)的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿?走進(jìn)頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當(dāng)年的熱鬧場(chǎng)面，蘇州街圍著一片湖，沿著河岸有許多小綠盤子里裝著美麗的荷花。這里是仿照江南水鄉(xiāng)--蘇州而建的買賣街。當(dāng)年有古玩店、綢緞店、點(diǎn)心鋪等，店鋪中的店員都是太監(jiān)、宮女妝扮的，皇帝游覽的時(shí)候才營(yíng)業(yè)。我正享受著皇帝的待遇，店里的小販都在賣力的吆喝著。?走近一看，我立刻被這美麗的荷花吸引住了，一片片綠油油的荷葉層層疊疊地?cái)D在水面上，是我不由得想起楊萬(wàn)里接天蓮葉無(wú)窮碧這一句詩(shī)。荷葉上滾動(dòng)著幾顆水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望對(duì)您有幫助，謝謝晶的。它們有時(shí)聚成一顆大水珠，骨碌一下滑進(jìn)水里，真像一個(gè)頑皮的孩子！?走進(jìn)頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當(dāng)年的熱12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)R·八年級(jí)上冊(cè)12.3角的平分線的性質(zhì)

第1課時(shí)角平分線的作法及性質(zhì)R右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？ABDC新課導(dǎo)入E右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．學(xué)會(huì)角平分線的畫法.2．探究并認(rèn)知角平分線的性質(zhì).3．熟練地運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)：推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）．∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.ADBCE推進(jìn)新課證明：在△ACD和△ACB中，ADBCE從利用平分角的儀器畫角的平分線的過(guò)程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)作角的平分線知識(shí)點(diǎn)1從利用平分角的儀器畫角的平分線的過(guò)程中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:

ABOMNC

1．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．3．畫射線OC．射線OC即為所求．

2．分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C．利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:ABOMNC

你能說(shuō)明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNC你能說(shuō)明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎？ABOMN練習(xí)1平分平角∠AOB，通過(guò)作角平分線得到射線OC，然后反向延長(zhǎng)OC得到直線CD，直線CD與直線AB存在什么樣的位置關(guān)系？互相垂直.練習(xí)1平分平角∠AOB，通過(guò)作角平分線得到射線OC，然能，將這個(gè)三角形沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該頂點(diǎn)的角的兩邊重合，則這條線就是這個(gè)角的平分線.能，將這個(gè)三角形沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線折疊，使在該角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

畫出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？探究在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在O觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________.PD=PE觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：___已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD

=PE．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．題設(shè)：

一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上．結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等．已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO

，∠AOC=∠BOC

，

OP=OP

，

∴

△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE

.證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分線，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．幾何語(yǔ)言：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．∵OC是∠AOB的平分線，幾何語(yǔ)言：角平分線的性質(zhì)：角的平分由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過(guò)程．由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概（1）明確命題

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段是否相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（2）如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（3）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．ABOPCD（3）練習(xí)1下列結(jié)論一定成立的是．ABOPC在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？練習(xí)2

如圖，△ABC中，BD=CD，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF在此題的已知條件下，練習(xí)2如圖，△ABC中，BD=證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，ABCDEF隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO基礎(chǔ)鞏固D隨堂演練1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論：綜合應(yīng)用①AD

上任意一點(diǎn)到點(diǎn)C、點(diǎn)B的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB，AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平3.如圖，點(diǎn)D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求證：CE=CF.拓展延伸證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS).3.如圖，點(diǎn)D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點(diǎn)∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴CE=CF.∴∠DAC=∠BAC.課堂小結(jié)ABOMNC角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．課堂小結(jié)ABOMNC角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩1.從課后習(xí)題中選取；2.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。