線性代數的軟件實踐線性代數的軟件實踐1線性代數概念的幾何含義

及MATLAB繪圖演示西安電子科技大學楊威2010.7線性代數概念的幾何含義

及MATLAB繪圖演示西安電子科技大2一、線性方程組解的幾何含義二、向量及向量運算的幾何含義四、行列式的幾何含義五、線性變換的幾何含義(特征向量)六、二次型的幾何含義基本內容三、向量組線性相關性的幾何含義一、線性方程組解的幾何含義二、向量及向量運算的幾何含義四、行3一、進一步理解線性代數抽象概念的幾何含義二、掌握MATLAB軟件實現線性代數基本運算的命令基本目標三、靈活應用MATLAB軟件的繪圖功能演示線性代數概念的幾何含義一、進一步理解線性代數抽象概念二、掌握MATLAB軟4一、線性方程組解的幾何含義1、二元方程組例1求下列非齊次線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。一、線性方程組解的幾何含義1、二元方程組例1求下列非齊次線5解：用MATLAB解線性方程組Ax=b的方法有：用MATLAB繪制直線的簡單方法為：（1）求逆法（A為方陣）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行變換法：rref([A,b])（3）左除法：x=A\bezplot(‘……')單引號內為直線方程解：用MATLAB解線性方程組Ax=b的方法有：用MA6在MATLAB命令窗口中運行程序g01.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g01.m，可以得到圖形7一、線性方程組解的幾何含義2、三元方程組例2求下列線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。（1）（2）（3）（4）一、線性方程組解的幾何含義2、三元方程組例2求下列線性方程8解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB繪制平面的簡單方法為：方程組（1）有唯一解方程組（2）有無窮組解方程組（3）和（4）無解ezmesh(‘……’)單引號內為平面方程解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB9在MATLAB命令窗口中運行程序g02.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g02.m，可以得到圖形10一、線性方程組解的幾何含義3、用MATLAB解矛盾方程的近似解例3下表給出平面坐標系中5個點的坐標，求過這5個點的圓心坐標。并用MATLAB繪出該圓。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2一、線性方程組解的幾何含義3、用MATLAB解矛盾方程的近似11解：設圓心坐標為(x，y)，根據圓心到已知5點的距離相等，列方程：進行化簡，可以得到以下線性方程組：解：設圓心坐標為(x，y)，根據圓心到已知5點的距離相等，列12在MATLAB命令窗口中運行程序g03.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g03.m，可以得到圖形13二、向量及向量運算的幾何含義1、向量的幾何含義二維（三維）向量可以理解為平面坐標系（空間坐標系）中一個有方向的線段，其起點在坐標原點。如下圖所示。二、向量及向量運算的幾何含義1、向量的幾何含義二維（三維）向14二、向量及向量運算的幾何含義2、向量加法的平行四邊形法則，如圖所示3、負向量與向量減法：u-v=u+(-v)二、向量及向量運算的幾何含義2、向量加法的平行四邊形法則，如15二、向量及向量運算的幾何含義4、向量的數乘設u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如圖所示,可知2u與u共線，它們的長度是2倍關系。二、向量及向量運算的幾何含義4、向量的數乘設u=(1,2,316二、向量及向量運算的幾何含義5、向量的線性表示舉例例4已知向量，請用向量u和v來線性表示向量w，并用MATLAB繪制出線性表示情況。解：求解方程組，解得：二、向量及向量運算的幾何含義5、向量的線性表示舉例例4已知17在MATLAB命令窗口中運行程序g04.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g04.m，可以得到圖形18三、向量組線性相關性的幾何含義1、若兩個向量的夾角不為零（不共線），則這兩個向量線性無關2、若兩個向量的夾角為零（共線），則這兩個向量線性相關3、若三個向量不共面，則這三個向量線性無關4、若三個向量共面，則這三個向量線性相關三、向量組線性相關性的幾何含義1、若兩個向量的夾角不為零（不19三、向量組線性相關性的幾何含義5、三個3維向量線性相關性的判斷例5分析向量組的線性相關性，并用MATLAB繪制其圖形。解：設A=(u,v,w)，計算A的行列式|A|，可以判斷其線性相關性。三、向量組線性相關性的幾何含義5、三個3維向量線性相關性的判20在MATLAB命令窗口中運行程序g05.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g05.m，可以得到圖形21四、行列式的幾何含義1、行列式的幾何含義設u、v為二維列向量，以它們為相鄰邊構成的平行四邊形的面積為矩陣A=(u,v)的行列式|A|的絕對值。設u、v，w為三維列向量，以它們為相鄰棱構成的平行六面體的體積為矩陣A=(u,v,w)的行列式|A|的絕對值。四、行列式的幾何含義1、行列式的幾何含義設u、v為二維列向量22四、行列式的幾何含義2、行列式幾何含義的應用舉例例6（1）已知三角形ABC三個頂點的坐標分別為：(1,2),(3,3),(4,1)，計算該三角形的面積；（2）已知凸九邊形九個頂點的坐標分別為：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),計算該九邊形的面積。（3）在平面坐標系中畫出以上三角形和九邊形。四、行列式的幾何含義2、行列式幾何含義的應用舉例例6（1）23解：(1)如圖所示，三角形ABC的面積就等于向量AB和向量AC所構成平行四邊形面積的一半。其中：解：(1)如圖所示，三角形ABC的面積就等于向量AB和向24解：(2)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個三角形面積組成。解：(2)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個三角形面積組25在MATLAB命令窗口運行程序g06.m，即可以算出三角形和九邊形面積，同時可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g06.m，即可以算出三角26五、線性變換的幾何含義1、線性變換幾何含義舉例例7已知向量。請分析經過線性變換后，向量與向量的幾何關系。其中分別為：五、線性變換的幾何含義1、線性變換幾何含義舉例例7已知向量27在MATLAB命令窗口運行程序g07.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g07.m，可以得到圖形：28五、線性變換的幾何含義2、特征向量幾何含義的舉例例8已知矩陣MATLAB分析特征向量的幾何含義。，求它們的特征值和特征向量，并用五、線性變換的幾何含義2、特征向量幾何含義的舉例例8已知矩29解：用MATLAB求矩陣特征值和特征向量的方法為：用MATLAB演示矩陣A的特征向量幾何含義的命令為：（1）r=eig(A),列向量r為矩陣A的特征值（2）[V,D]=eig(A)，對角矩陣D的對角線元素為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量為矩陣A的特征向量。eigshow(A)解：用MATLAB求矩陣特征值和特征向量的方法為：用MAT30在MATLAB命令窗口運行程序g08.m，可以分別得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g08.m，可以分別得到圖31五、線性變換的幾何含義3、線性變換應用舉例（剛體的平面運動）例9用下列數據表示一個“A”形狀的剛體。利用線性變換，對該剛體進行以下平面運動。（1）向上移動15，向左移動30；（2）先逆時針轉動90°,然后向上移動30，向右移動20；（3）先向上移動30，向右移動20,然后逆時針轉動90°。x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500五、線性變換的幾何含義3、線性變換應用舉例（剛體的平面運動）32解：用3×n的矩陣X來表示剛體圖形，其中第3行全為1。設平移矩陣為：，平移變換為：。轉動矩陣為：，轉動變換為：。解：用3×n的矩陣X來表示剛體圖形，其中第3行全為1。設平移33在MATLAB命令窗口運行程序g09.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g09.m，可以得到圖形：34六、二次型的幾何含義1、利用正交變換化二次型為標準形的幾何含義。例10用正交變換，把下列二次型化為標準形，并討論變換前后所對應的二次曲線及。解：用MATLAB命令eig可以算出二次型矩陣的特征值分別為：4.3820，6.6180和3.7016，-2.7016。六、二次型的幾何含義1、利用正交變換化二次型為標準形的幾何含35在MATLAB命令窗口運行程序g10.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g10.m，可以得到圖形：36六、二次型的幾何含義2、二次型正定、負定的幾何含義。例11分析下列二次型的正定性，并畫出對應的二次曲面。六、二次型的幾何含義2、二次型正定、負定的幾何含義。例1137在MATLAB命令窗口運行程序g11.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g11.m，可以得到圖形：38謝謝！線性代數的幾何含義課件39線性代數的軟件實踐線性代數的軟件實踐40線性代數概念的幾何含義

及MATLAB繪圖演示西安電子科技大學楊威2010.7線性代數概念的幾何含義

及MATLAB繪圖演示西安電子科技大41一、線性方程組解的幾何含義二、向量及向量運算的幾何含義四、行列式的幾何含義五、線性變換的幾何含義(特征向量)六、二次型的幾何含義基本內容三、向量組線性相關性的幾何含義一、線性方程組解的幾何含義二、向量及向量運算的幾何含義四、行42一、進一步理解線性代數抽象概念的幾何含義二、掌握MATLAB軟件實現線性代數基本運算的命令基本目標三、靈活應用MATLAB軟件的繪圖功能演示線性代數概念的幾何含義一、進一步理解線性代數抽象概念二、掌握MATLAB軟43一、線性方程組解的幾何含義1、二元方程組例1求下列非齊次線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。一、線性方程組解的幾何含義1、二元方程組例1求下列非齊次線44解：用MATLAB解線性方程組Ax=b的方法有：用MATLAB繪制直線的簡單方法為：（1）求逆法（A為方陣）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行變換法：rref([A,b])（3）左除法：x=A\bezplot(‘……')單引號內為直線方程解：用MATLAB解線性方程組Ax=b的方法有：用MA45在MATLAB命令窗口中運行程序g01.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g01.m，可以得到圖形46一、線性方程組解的幾何含義2、三元方程組例2求下列線性方程組的解，并用MATLAB繪出解的情況。（1）（2）（3）（4）一、線性方程組解的幾何含義2、三元方程組例2求下列線性方程47解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB繪制平面的簡單方法為：方程組（1）有唯一解方程組（2）有無窮組解方程組（3）和（4）無解ezmesh(‘……’)單引號內為平面方程解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB48在MATLAB命令窗口中運行程序g02.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g02.m，可以得到圖形49一、線性方程組解的幾何含義3、用MATLAB解矛盾方程的近似解例3下表給出平面坐標系中5個點的坐標，求過這5個點的圓心坐標。并用MATLAB繪出該圓。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2一、線性方程組解的幾何含義3、用MATLAB解矛盾方程的近似50解：設圓心坐標為(x，y)，根據圓心到已知5點的距離相等，列方程：進行化簡，可以得到以下線性方程組：解：設圓心坐標為(x，y)，根據圓心到已知5點的距離相等，列51在MATLAB命令窗口中運行程序g03.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g03.m，可以得到圖形52二、向量及向量運算的幾何含義1、向量的幾何含義二維（三維）向量可以理解為平面坐標系（空間坐標系）中一個有方向的線段，其起點在坐標原點。如下圖所示。二、向量及向量運算的幾何含義1、向量的幾何含義二維（三維）向53二、向量及向量運算的幾何含義2、向量加法的平行四邊形法則，如圖所示3、負向量與向量減法：u-v=u+(-v)二、向量及向量運算的幾何含義2、向量加法的平行四邊形法則，如54二、向量及向量運算的幾何含義4、向量的數乘設u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如圖所示,可知2u與u共線，它們的長度是2倍關系。二、向量及向量運算的幾何含義4、向量的數乘設u=(1,2,355二、向量及向量運算的幾何含義5、向量的線性表示舉例例4已知向量，請用向量u和v來線性表示向量w，并用MATLAB繪制出線性表示情況。解：求解方程組，解得：二、向量及向量運算的幾何含義5、向量的線性表示舉例例4已知56在MATLAB命令窗口中運行程序g04.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g04.m，可以得到圖形57三、向量組線性相關性的幾何含義1、若兩個向量的夾角不為零（不共線），則這兩個向量線性無關2、若兩個向量的夾角為零（共線），則這兩個向量線性相關3、若三個向量不共面，則這三個向量線性無關4、若三個向量共面，則這三個向量線性相關三、向量組線性相關性的幾何含義1、若兩個向量的夾角不為零（不58三、向量組線性相關性的幾何含義5、三個3維向量線性相關性的判斷例5分析向量組的線性相關性，并用MATLAB繪制其圖形。解：設A=(u,v,w)，計算A的行列式|A|，可以判斷其線性相關性。三、向量組線性相關性的幾何含義5、三個3維向量線性相關性的判59在MATLAB命令窗口中運行程序g05.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口中運行程序g05.m，可以得到圖形60四、行列式的幾何含義1、行列式的幾何含義設u、v為二維列向量，以它們為相鄰邊構成的平行四邊形的面積為矩陣A=(u,v)的行列式|A|的絕對值。設u、v，w為三維列向量，以它們為相鄰棱構成的平行六面體的體積為矩陣A=(u,v,w)的行列式|A|的絕對值。四、行列式的幾何含義1、行列式的幾何含義設u、v為二維列向量61四、行列式的幾何含義2、行列式幾何含義的應用舉例例6（1）已知三角形ABC三個頂點的坐標分別為：(1,2),(3,3),(4,1)，計算該三角形的面積；（2）已知凸九邊形九個頂點的坐標分別為：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),計算該九邊形的面積。（3）在平面坐標系中畫出以上三角形和九邊形。四、行列式的幾何含義2、行列式幾何含義的應用舉例例6（1）62解：(1)如圖所示，三角形ABC的面積就等于向量AB和向量AC所構成平行四邊形面積的一半。其中：解：(1)如圖所示，三角形ABC的面積就等于向量AB和向63解：(2)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個三角形面積組成。解：(2)如圖所示，凸九邊形面積是由9-2=7個三角形面積組64在MATLAB命令窗口運行程序g06.m，即可以算出三角形和九邊形面積，同時可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g06.m，即可以算出三角65五、線性變換的幾何含義1、線性變換幾何含義舉例例7已知向量。請分析經過線性變換后，向量與向量的幾何關系。其中分別為：五、線性變換的幾何含義1、線性變換幾何含義舉例例7已知向量66在MATLAB命令窗口運行程序g07.m，可以得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g07.m，可以得到圖形：67五、線性變換的幾何含義2、特征向量幾何含義的舉例例8已知矩陣MATLAB分析特征向量的幾何含義。，求它們的特征值和特征向量，并用五、線性變換的幾何含義2、特征向量幾何含義的舉例例8已知矩68解：用MATLAB求矩陣特征值和特征向量的方法為：用MATLAB演示矩陣A的特征向量幾何含義的命令為：（1）r=eig(A),列向量r為矩陣A的特征值（2）[V,D]=eig(A)，對角矩陣D的對角線元素為矩陣A的特征值，矩陣V的列向量為矩陣A的特征向量。eigshow(A)解：用MATLAB求矩陣特征值和特征向量的方法為：用MAT69在MATLAB命令窗口運行程序g08.m，可以分別得到圖形：在MATLAB命令窗口運行程序g08.m，可以分別得到圖70五、線性變換的幾何含義3、線性變換應用舉例（剛體的平面運動）例9用下列數據表示一個“A”形