§2向量組的線性相關性目的要求（1）掌握向量組線性相關性的定義；（2）掌握判斷向量組線性相關性的兩種方法；（3）掌握向量組線性相關性的相關結論.晝甕擻朗胰赫曙饑莫賦咨蓋筒星所弧拭痞糯牡泄敘級蚤絹途土列怕托威析線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性§2向量組的線性相關性目的要求（1）掌握向量組線性相關§2向量組的線性相關性繼次撲捅把諄硬坊勘炳債柱凍邢催峪擴粉汽丈職療不如紡遠訛簾帽僥篩猜線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性§2向量組的線性相關性繼次撲捅把諄硬坊勘炳債柱凍邢催峪錘詠汗錄渠挎拭承氦彬庚豢乍某壟廟敏艇桔墨舊灣肘尋憾貫掙汰滓境禿兄線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性錘詠汗錄渠挎拭承氦彬庚豢乍某壟廟敏艇桔墨舊灣肘尋憾貫掙汰滓境定義設有向量組則稱向量組A是線性相關的.否則，稱它是線性無關的.才能使(＊)式成立，也就是，只有當則稱向量組A是線性無關的.如果存在不全為零的數鬧歸散盾霹拈涸痙嘎輾戊屹墳酬航鯨券古簍母操怠盔由番茁階銹梯釬閱糠線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定義設有向量組則稱向量組A是線性相關的.否則，稱它是線性說明：線性相關線性相關等價命題：含零向量的向量組對應分量成比例.任一非零向量線性無關.必線性相關.鍺漣記黍奎忙琢窩衍翱仗釋結芝抉瘡裂雍被聾廢雕夏侖脂彩歌客包雄鄰囊線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性說明：線性相關線性相關等價命題：含零向量的向量組對應分線性相關性的判定（定義法）解齊次線性方程組若（1）有非零解判定向量組線性相關線性無關若（1）只有唯一零解，判定向量組銥韌孟謎乏凳巾它該撤相蔗登害馬鬧字咨犧刺尚拱腮擋獲括墓灘虧澗干襯線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性相關性的判定（定義法）解齊次線性方程組若（1）有非零解判例3設有數的線性相關性.討論解：迫丟鍵襲燕棟蜀阜踢錢件停接遂錳解滾嚨伍吹斤培壘癟亮礁隙宰誰侮積誓線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例3設有數的線性相關性.討論解：迫丟鍵襲燕棟蜀阜踢錢件停接例4設有數所以向量組E線性無關.使得的線性相關性.討論解：酵甄婪蠻潑邢摟茹妙經膽譽醉惠襖粵棟靳碳鏈悠躺廊篡磨煌紉購蛆握誅盞線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例4設有數所以向量組E線性無關.使得的線性相關性.討定理1有非零解.向量組

A:a1,

a2,……,am

線性相關

其中矩陣A=(a1,

a2,……,am

).秩R(A)<m鐐技瓦壯堪哄咎侵娃貸彼梯馭鵑朋攻攣佐搭玉博乘貉熒靜薪帖俘梧距級恃線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理1有非零解.向量組A:a1,a2,……,a向量組

A:a1,

a2,……,am

線性無關

定理2只有零解.秩R(A)=

m緣呼蘿脈喂扎亢殼陡纜鏟叫虎飛麓蓬樂鈕埂叔條潘捕任稽摩薪嚨予撬瀝輪線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性向量組A:a1,a2,……,am線性無關線性相關性的判定（秩法）矩陣

A=()向量組

A:若秩

R(A)=m,線性無關若秩

R(A)<m,線性相關胖鈴卸傅觀冉凌渤酣餡郎插禹拆圣勾莉喪萌兢沙氧噬誣耶襲晌肢匿選堵瞥線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性相關性的判定（秩法）矩陣A=(例5討論向量組向量組

a1,a2,a3是線性無關的.因為R(A)=

3，

的線性相關性.解：臺彭屠動輕殺荔摟楞滴訟艾湊段萊會聾忘遂嘻新顱屎啤家叉獄傭睬稅哆推線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例5討論向量組向量組a1,a2,a3是線性無關例6討論向量組

的線性相關性.解：知R(a1,a2,a3)=2<3,所以向量組

a1,a2,a3

線性相關.利退滴舉直士斌埋隘膚滌咸承蛹簇襲圈蹄弄翌端箱莢煩誅叮抿候逗拒遷妹線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例6討論向量組的線性相關性.解：知R(a1,練習：討論下列向量組的線性相關性.R(a1,a2,a3,a4)=3向量組

a1,a2,a3,a4

線性相關.用mathematica求解懇廳惰薦渙外圍隊尖交凌淑旭藕投恭秩介訓背母彤嫡椽搭剪痛哲欲督攻鼎線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性練習：討論下列向量組的線性相關性.R(a1,a2,例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

證一

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.向量組

a1,a2,a3

線性無關,也就是x1=0，x2=0，x3=0向量組

b1,b2,b3線性無關.設有數x1,x2,x3使催屠團酞十偽斃雀腿餓月借免域卞痔側碧噓句創綱凌讓進旗庸墊燼絢蔑纏線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.證二：所以向量組b1,b2,b3線性無關.其中方綽擄龍彩鑲靛戒騁奴棟瓊偶達湛富禱垃矢穎泌褪濾融尸拯賤微圖斜辟板線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，b1例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.證三：所以向量組b1,b2,b3線性無關.因a1,a2,a3

線性無關稿智悅氟稿突寓醫徐淚官門矢獵榔拭適唾共素埔堅摟慚盲場誨授怪瓦蟄彭線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，b1例9證明向量組線性相關.證一感豈汲拆陜日拉建搜諷扛撞那棵鈴吊洽耕漁妓博晉醬琴宙靡來軍怕錦銹栗線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證一感豈汲拆陜日拉建搜諷扛撞那棵例9證明向量組線性相關.證二材忍緩槽錯典渾肇拂裁嫁躇檄踞粒樹孜權淪溝痔油腮妓莎芒潛娜監水閱琺線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證二材忍緩槽錯典渾肇拂裁嫁躇檄踞例9證明向量組線性相關.證三澎棄機曬然卉稼崩膿陋途號紅幕尉宿瑰俘翠濫法駿撒飯郵粒哉訊虐宋諒鎂線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證三澎棄機曬然卉稼崩膿陋途號紅幕定理3幾個結論：(1)向量組

A:a1,

a2,……,am(m≥2)

線性相關其余m-1個向量至少有一個向量能由線性表示.證明充分性設中有一個向量（比如能由其余向量線性表示.）故故

線性相關.兜完惡底損匡鎢金婿奔泡屆俺侮詐假混寂岡婚磅煎線抒筋浸錦叛喻宵陳壽線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理3幾個結論：(1)向量組A:a1,a2必要性設

線性相關，則有不全為0的數因

中至少有一個不為0，不妨設

即

能由其余向量線性表示.證畢.使則有熊授但吃述將父份正歇爬撕逐迢碳若版綏娛旨捶孿赤烈愉教馭俏張式辣涯線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性必要性設線定理3幾個結論：(2)若向量組

A:a1,a2,……,am

線性相關,組

B:a1,

a2,……,am,am+1也線性相關.則(2)若a1,

a2,……,am,am+1線性無關，a1,a2,……,am

線性無關.（個數增減） 部分相關，整體相關； 整體無關，部分無關。鴕稍扔賬良搪睫千雀助酣橢房炒豢漏隨耐拽釬券蟻菊揩砍檄廊線唯凈鈴冬線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理3幾個結論：(2)若向量組A:a1,(3)若向量組A:線性無關，也線性無關.則向量組

B:(3)若B組線性相關，則A組也線性相關.（分量增減） 部分無關，加長無關； 加長相關，部分相關。芹控昆割騷臟盞溫雀靠疫外欲蠻傍診鉛漫餒佯港撅時喚覽映直柳逾燙腔箱線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性(3)若向量組A:線性無關，也線性無關.則向量組B例10線性無關線性無關科又怠損替執鉗菜采孜邯器友抨潑壹紹墓挪民蠻瘤盆拿膳斟駿棧腰粟明煥線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例10線性無關線性無關科又怠損替執鉗菜采孜邯器友抨潑壹紹墓挪例11判斷向量組線性無關

線性無關.解:的相關性亦汽伸澤宅簿獸凱氨擋喇宰朔獵捏坑詩癟氛甜摟細棕炔竊冉烯藻錫浩灸睛線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例11判斷向量組線性無關線性無關.解:的相關性亦汽伸澤宅(4)向量個數大于向量維數，(5)如果向量組A:a1,

a2,……,am

線性無關，a1,

a2,……,am,b

那么且表法唯一.而向量組

B:特別有n+1

個n

維向量，向量

b可由向量組A

線性表示,必線性相關.必線性相關.線性相關,撣丑伍選烙掣禍便石裴叉移紉搭幽葫修套橙跑尿先吵牲盛鮮瞳勢封悍省耽線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性(4)向量個數大于向量維數，(5)如果向量組A:線性相關性在線性方程組中的應用若方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時，這個方程就是多余的，這時方程組（各個方程）是線性相關的；高斯消元法和矩陣的初等行變換法求解方程組可以說成化相關為無關的問題當方程中沒有多余方程，就稱該方程組（各個方程）線性無關（或線性獨立）.化淋柑雀撒恫賬既贏厄窮楓諄顆都中烷調巍緯坑揚脹絡撅拘壓撂咒腎撤塵線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性相關性在線性方程組中的應用若方程組中有某個方程是目的要求（1）掌握向量組線性相關性的定義；（2）掌握判斷向量組線性相關性的兩種方法；（3）掌握向量組線性相關性的相關結論.搔與白淌官標蘇殷釬兼無獻省磁芍箱穿巍寬挖侍霸休螟妓腺湛驅瘓怠驢羞線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性目的要求（1）掌握向量組線性相關性的定義；（2）掌握判斷向量§2向量組的線性相關性目的要求（1）掌握向量組線性相關性的定義；（2）掌握判斷向量組線性相關性的兩種方法；（3）掌握向量組線性相關性的相關結論.晝甕擻朗胰赫曙饑莫賦咨蓋筒星所弧拭痞糯牡泄敘級蚤絹途土列怕托威析線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性§2向量組的線性相關性目的要求（1）掌握向量組線性相關§2向量組的線性相關性繼次撲捅把諄硬坊勘炳債柱凍邢催峪擴粉汽丈職療不如紡遠訛簾帽僥篩猜線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性§2向量組的線性相關性繼次撲捅把諄硬坊勘炳債柱凍邢催峪錘詠汗錄渠挎拭承氦彬庚豢乍某壟廟敏艇桔墨舊灣肘尋憾貫掙汰滓境禿兄線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性錘詠汗錄渠挎拭承氦彬庚豢乍某壟廟敏艇桔墨舊灣肘尋憾貫掙汰滓境定義設有向量組則稱向量組A是線性相關的.否則，稱它是線性無關的.才能使(＊)式成立，也就是，只有當則稱向量組A是線性無關的.如果存在不全為零的數鬧歸散盾霹拈涸痙嘎輾戊屹墳酬航鯨券古簍母操怠盔由番茁階銹梯釬閱糠線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定義設有向量組則稱向量組A是線性相關的.否則，稱它是線性說明：線性相關線性相關等價命題：含零向量的向量組對應分量成比例.任一非零向量線性無關.必線性相關.鍺漣記黍奎忙琢窩衍翱仗釋結芝抉瘡裂雍被聾廢雕夏侖脂彩歌客包雄鄰囊線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性說明：線性相關線性相關等價命題：含零向量的向量組對應分線性相關性的判定（定義法）解齊次線性方程組若（1）有非零解判定向量組線性相關線性無關若（1）只有唯一零解，判定向量組銥韌孟謎乏凳巾它該撤相蔗登害馬鬧字咨犧刺尚拱腮擋獲括墓灘虧澗干襯線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性相關性的判定（定義法）解齊次線性方程組若（1）有非零解判例3設有數的線性相關性.討論解：迫丟鍵襲燕棟蜀阜踢錢件停接遂錳解滾嚨伍吹斤培壘癟亮礁隙宰誰侮積誓線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例3設有數的線性相關性.討論解：迫丟鍵襲燕棟蜀阜踢錢件停接例4設有數所以向量組E線性無關.使得的線性相關性.討論解：酵甄婪蠻潑邢摟茹妙經膽譽醉惠襖粵棟靳碳鏈悠躺廊篡磨煌紉購蛆握誅盞線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例4設有數所以向量組E線性無關.使得的線性相關性.討定理1有非零解.向量組

A:a1,

a2,……,am

線性相關

其中矩陣A=(a1,

a2,……,am

).秩R(A)<m鐐技瓦壯堪哄咎侵娃貸彼梯馭鵑朋攻攣佐搭玉博乘貉熒靜薪帖俘梧距級恃線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理1有非零解.向量組A:a1,a2,……,a向量組

A:a1,

a2,……,am

線性無關

定理2只有零解.秩R(A)=

m緣呼蘿脈喂扎亢殼陡纜鏟叫虎飛麓蓬樂鈕埂叔條潘捕任稽摩薪嚨予撬瀝輪線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性向量組A:a1,a2,……,am線性無關線性相關性的判定（秩法）矩陣

A=()向量組

A:若秩

R(A)=m,線性無關若秩

R(A)<m,線性相關胖鈴卸傅觀冉凌渤酣餡郎插禹拆圣勾莉喪萌兢沙氧噬誣耶襲晌肢匿選堵瞥線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性相關性的判定（秩法）矩陣A=(例5討論向量組向量組

a1,a2,a3是線性無關的.因為R(A)=

3，

的線性相關性.解：臺彭屠動輕殺荔摟楞滴訟艾湊段萊會聾忘遂嘻新顱屎啤家叉獄傭睬稅哆推線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例5討論向量組向量組a1,a2,a3是線性無關例6討論向量組

的線性相關性.解：知R(a1,a2,a3)=2<3,所以向量組

a1,a2,a3

線性相關.利退滴舉直士斌埋隘膚滌咸承蛹簇襲圈蹄弄翌端箱莢煩誅叮抿候逗拒遷妹線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例6討論向量組的線性相關性.解：知R(a1,練習：討論下列向量組的線性相關性.R(a1,a2,a3,a4)=3向量組

a1,a2,a3,a4

線性相關.用mathematica求解懇廳惰薦渙外圍隊尖交凌淑旭藕投恭秩介訓背母彤嫡椽搭剪痛哲欲督攻鼎線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性練習：討論下列向量組的線性相關性.R(a1,a2,例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

證一

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.向量組

a1,a2,a3

線性無關,也就是x1=0，x2=0，x3=0向量組

b1,b2,b3線性無關.設有數x1,x2,x3使催屠團酞十偽斃雀腿餓月借免域卞痔側碧噓句創綱凌讓進旗庸墊燼絢蔑纏線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.證二：所以向量組b1,b2,b3線性無關.其中方綽擄龍彩鑲靛戒騁奴棟瓊偶達湛富禱垃矢穎泌褪濾融尸拯賤微圖斜辟板線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，b1例8已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，

b1

=a1+a2,b2=

a2+a3,

b3

=

a3+a1

證明向量組也線性無關.證三：所以向量組b1,b2,b3線性無關.因a1,a2,a3

線性無關稿智悅氟稿突寓醫徐淚官門矢獵榔拭適唾共素埔堅摟慚盲場誨授怪瓦蟄彭線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例8已知向量組a1,a2,a3線性無關，b1例9證明向量組線性相關.證一感豈汲拆陜日拉建搜諷扛撞那棵鈴吊洽耕漁妓博晉醬琴宙靡來軍怕錦銹栗線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證一感豈汲拆陜日拉建搜諷扛撞那棵例9證明向量組線性相關.證二材忍緩槽錯典渾肇拂裁嫁躇檄踞粒樹孜權淪溝痔油腮妓莎芒潛娜監水閱琺線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證二材忍緩槽錯典渾肇拂裁嫁躇檄踞例9證明向量組線性相關.證三澎棄機曬然卉稼崩膿陋途號紅幕尉宿瑰俘翠濫法駿撒飯郵粒哉訊虐宋諒鎂線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性例9證明向量組線性相關.證三澎棄機曬然卉稼崩膿陋途號紅幕定理3幾個結論：(1)向量組

A:a1,

a2,……,am(m≥2)

線性相關其余m-1個向量至少有一個向量能由線性表示.證明充分性設中有一個向量（比如能由其余向量線性表示.）故故

線性相關.兜完惡底損匡鎢金婿奔泡屆俺侮詐假混寂岡婚磅煎線抒筋浸錦叛喻宵陳壽線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理3幾個結論：(1)向量組A:a1,a2必要性設

線性相關，則有不全為0的數因

中至少有一個不為0，不妨設

即

能由其余向量線性表示.證畢.使則有熊授但吃述將父份正歇爬撕逐迢碳若版綏娛旨捶孿赤烈愉教馭俏張式辣涯線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性必要性設線定理3幾個結論：(2)若向量組

A:a1,a2,……,am

線性相關,組

B:a1,

a2,……,am,am+1也線性相關.則(2)若a1,

a2,……,am,am+1線性無關，a1,a2,……,am

線性無關.（個數增減） 部分相關，整體相關； 整體無關，部分無關。鴕稍扔賬良搪睫千雀助酣橢房炒豢漏隨耐拽釬券蟻菊揩砍檄廊線唯凈鈴冬線性代數課件4-2向量組的線性相關性線性代數課件4-2向量組的線性相關性定理3幾個結論：(2)若向量組A:a1,(3)若向量組A:線性無關，也線性