學必求其心得，業必貴于專精模塊綜合提升一、正、余弦定理及其應用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A，B,C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理（2）a2＝b2＋c2－2bccos內容(1）a＝錯誤!＝錯誤!＝2RA；sinA222b＝c＋a－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC-1-學必求其心得，業必貴于專精(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC;(4）sinA＝錯誤!，sinB＝錯誤!,變形sinC＝錯誤!；（5）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；6)asinB＝bsinA，sinC＝csinB,asinC＝csinA

(7）cosA＝錯誤!;cosB＝錯誤!；cosC＝錯誤!2。在△ABC中，已知a,b和A時,解的情況A為鈍角或直為銳角角圖形關系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數一解兩解一解一解3。三角形常用面積公式-2-學必求其心得，業必貴于專精1(1）S＝2a·ha（ha表示邊a上的高）；(2)S＝錯誤!absinC＝錯誤!acsinB＝錯誤!bcsinA；3）S＝錯誤!r(a＋b＋c）（r為三角形內切圓半徑)。二、等差數列及其前n項和1．等差數列的定義一般地，若是一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，平時用字母d表示．2．等差數列的通項公式若是等差數列｛an}的首項為a1,公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋（n－1)d．3．等差中項由三個數a,A，b組成的等差數列可以看作最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項．4．等差數列的常用性質(1)通項公式的實行：an＝am＋（n－m)d(n，m∈N＊)。（2)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k,l，m,n∈N*)，則ak＋al-3-學必求其心得，業必貴于專精am＋an．(3)若｛an｝是等差數列，公差為d，則｛a2n｝也是等差數列，公差為2d．(4）若{an},{bn｝是等差數列，則{pan＋qbn}也是等差數列．（5）若｛an｝是等差數列，公差為d，則ak,ak＋m，ak＋2m，（k，m∈N＊）是公差為md的等差數列．(6）數列Sm，S2m－Sm,S3m－S2m，組成等差數列．5．等差數列的前n項和公式設等差數列｛an｝的公差為d，其前n項和Sn＝錯誤!或Sn＝na1＋錯誤!d．6．等差數列的前n項和公式與函數的關系Sn＝錯誤!n2＋錯誤!n。數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn（A,B為常數）7．等差數列的前n項和的最值在等差數列｛an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0,則Sn存在最小值．三、等比數列及其前n項和1．等比數列的定義-4-學必求其心得，業必貴于專精一般地，若是一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，平時用字母q表示（q≠0).2．等比數列的通項公式設等比數列｛an}的首項為a1，公比為q,則它的通項an＝a1·qn－1a1≠0，q≠0）．3．等比中項若是在a與b中插入一個數G，使得a,G，b成等比數列，那么依照等比數列的定義，錯誤!＝錯誤!，G2＝ab,G＝±錯誤!，稱G為a，b的等比中項．4．等比數列的常用性質（1）通項公式的實行：an＝am·qn－m（n,m∈N*）.(2)若{an}為等比數列，且k＋l＝m＋n(k,l，m,n∈N＊）,則ak·alam·an．(3）若｛an},{bn｝（項數相同)是等比數列，則｛λan｝(λ≠0），錯誤!，a錯誤!},｛an·bn｝，錯誤!仍是等比數列．5．等比數列的前n項和公式等比數列{an}的公比為q（q≠0)，其前n項和為Sn，-5-學必求其心得，業必貴于專精當q＝1時，Sn＝na1;當q≠1時，Sn＝錯誤!＝錯誤!。6．等比數列前n項和的性質公比不為－1的等比數列{an｝的前n項和為Sn，則Sn,S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為qn．四、數列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比數列的求和公式求和．2．分組轉變法把數列轉變成幾個等差、等比數列，再求解．3．裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．常有的裂項公式1)錯誤!＝錯誤!－錯誤!;(2)錯誤!＝錯誤!錯誤!；3）錯誤!＝錯誤!－錯誤!。4．倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推-6-學必求其心得，業必貴于專精導過程的實行．5．錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和．6．并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝（－1)nf（n）種類，可采用兩項合并求解．五、不等關系與不等式1．兩個實數比較大小的方法1)作差法錯誤!(a,b∈R)2)作商法錯誤!（a∈R，b＞0)2．不等式的基本性質(1）對稱性：a＞b?b＜a．（2)傳達性：a＞b,b＞c?a＞c．(3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c．(4)可乘性：錯誤!?ac＞bc．錯誤!?ac＜bc.(5）同向可加性：錯誤!?a＋c＞b＋d．-7-學必求其心得，業必貴于專精(6）同向可乘性：錯誤!?ac＞bd．（7)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，n≥1)。(8)可開方性：a＞b＞0?錯誤!＞錯誤!（n∈N,n≥2)。3．不等式的一些常用性質（1)倒數的性質a＞b，ab＞0?錯誤!＜錯誤!。②a＜0＜b?錯誤!＜錯誤!.③a＞b＞0，0＜c＜d?錯誤!＞錯誤!。④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?錯誤!＜錯誤!＜錯誤!.(2）相關分數的性質若a＞b＞0，m＞0,則①錯誤!＜錯誤!；錯誤!＞錯誤!(b－m＞0）。②錯誤!＞錯誤!；錯誤!＜錯誤!(b－m＞0)。六、一元二次不等式及其解法1．“三個二次”的關系鑒識式＝b2－4ac＞0＝0＜0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象-8-學必求其心得，業必貴于專精一元二次方程ax2＋bx有兩相異實根有兩相等實沒有實數caxxxx根x1＝x2＝－根＋＝0（＞0）的根1，2(1＜2)錯誤!一元二次不等式ax2＋｛x｜x＜x1或x{x｜x∈錯誤!bx＋c＞0(a＞0)的解集＞x2｝R｝一元二次不等式ax2＋｛x｜x1＜x＜??bx＋c＜0(a＞0）的解集x2｝2。常用結論(x－a)（x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法解集不等式a＜ba＝ba＞bx｜x＜a或x＞｛x|x≠(x－a）·(x－b）＞0{x｜x＜bb｝a｝或x＞a｝（x－a)·（x{x｜b＜x＜｛x|a＜x＜b}?－b)＜0a｝口訣：大于取兩邊，小于取中間．3．常有分式不等式的解法(1)錯誤!＞0(＜0）?f(x）·g（x)＞0（＜0）.(2)錯誤!≥0（≤0)?f（x）·g（x)≥0（≤0)g且(x)≠0.-9-學必求其心得，業必貴于專精以上兩式的核心要義是將分式不等式轉變成整式不等式．七、二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題1．二元一次不等式表示的平面地域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的平面地域．我們把直線畫成虛線，以表示地域不包括界線直線．當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面地域時，此地域應包括界線直線，則把界線直線畫成實線．(2)關于直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，因此只需在此直線的同一側取一個特別點（x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可斷定Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側的平面地域．2．線性規劃相關看法名稱意義拘束條件由變量x，y組成的一次不等式線性拘束條件由x，y的一次不等式（或方程）組成的不等式組目標函數欲求最大值或最小值的函數線性目標函數關于x，y的一次剖析式-10-學必求其心得，業必貴于專精可行解滿足線性拘束條件的解可行域所有可行解組成的會集最優解使目標函數獲取最大值或最小值的可行解在線性拘束條件下求線性目標函數的最大值或最線性規劃問題小值問題八、基本不等式及其應用1．基本不等式:錯誤!≤錯誤!1）基本不等式成立的條件：a＞0,b＞0．2）等號成立的條件:當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R）。b（2）a＋錯誤!≥2(a，b同號）。(3)ab≤錯誤!錯誤!(a，b∈R）.4)錯誤!≥錯誤!錯誤!(a，b∈R)。以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術平均數與幾何平均數設a＞0,b＞0，則a，b的算術平均數為錯誤!，幾何平均數為錯誤!,-11-學必求其心得，業必貴于專精基本不等式可表達為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．4．利用基本不等式求最值問題已知x＞0，y＞0，則（1）若是積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時,x＋y有最小值p．（簡記：積定和最小）2)若是和x＋y是定值p,那么當且僅當x＝y時，xy有最大值p24．（簡記：和定積最大)1．在△ABC中,若sinA＞sinB，則A＞B.(√)2．當b2＋c2－a2＞0時，三角形ABC為銳角三角形．(×)3．在△ABC中，錯誤!＝錯誤!。(√）4．在三角形中,已知兩邊和一角就能求三角形的面積．（√）5．若一個數列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(×)6．等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．(√)7．數列{an｝為等差數列的充要條件是對任意n∈N＊，都有2an＋1＝an＋an＋2。(√）-12-學必求其心得，業必貴于專精8．已知數列｛an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數），則數列{an｝必然是等差數列．（√)9．滿足an＋1＝qan(n∈N＊,q為常數)的數列{an}為等比數列．(×）10．G為a，b的等比中項?G2＝ab.(×）11．若是數列｛an}為等比數列，則數列｛lnan}是等差數列．(×)12．數列{an｝的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝錯誤!。（×)13．若錯誤!＞1，則a＞b.（×)14．一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數，不等號方向不變．（×)15．a＞b＞0，c＞d＞0?錯誤!＞錯誤!.（√）16．若ab＞0，則a＞b?錯誤!＜錯誤!。（√)17．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（－∞，x1)∪（x2，＋∞),則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(√)18．若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）沒有實數根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(×)-13-學必求其心得，業必貴于專精19．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且＝b2－4ac≤0。（×)20．若二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象張口向下,則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集必然不是空集．(√)21．點(x1，y1），（x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C）＞0，異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C）(Ax2＋By2＋C）＜0.(√)22．第二、四象限表示的平面地域可以用不等式xy＜0表示．（√）23．線性目標函數的最優解是唯一的．(×)24．最優解指的是使目標函數獲取最大值或最小值的可行解．(√）25．函數y＝x＋錯誤!的最小值是2.（×）26．函數f（x）＝cosx＋錯誤!,x∈錯誤!的最小值等于4.（×）27．“x＞0且y＞0”是“錯誤!＋錯誤!≥2”的充要條件．（×)28．若a＞0,則a3＋錯誤!的最小值為2錯誤!。(×）29．不等式a2＋b2≥2ab與錯誤!≥錯誤!有相同的成立條件．（×）30．兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項．（√）-14-學必求其心得，業必貴于專精1．△ABC的內角A，B,C的對邊分別為a，b，c,已知asinA－b1）sinB＝4csinC,cosA＝－，則錯誤!＝(4A．6B．5C．4D．3[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2。由余弦定理得cosA＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!，∴錯誤!＝6.應選A。］2．記Sn為等差數列{an｝的前n項和．已知S4＝0，a5＝5,則（)A．an＝2n－5B．an＝3n－101C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝2n2－2n[法一:設等差數列｛an}的公差為d，∵錯誤!∴錯誤!解得錯誤!∴an＝a1＋(n－1）d＝－3＋2（n－1）＝2n－5，Sn＝na1＋錯誤!d＝n2－4n。應選A。法二：設等差數列｛an}的公差為d，-15-學必求其心得，業必貴于專精∵錯誤!∴錯誤!解得錯誤!選項A,a1＝2×1－5＝－3；選項B，a1＝3×1－10＝－7，13消除B；選項C，S1＝2－8＝－6，消除C;選項D，S1＝2－2＝－2，消除D.應選A.]3．△ABC的內角A，B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為,則＝（）錯誤!A．錯誤!B．錯誤!C．錯誤!D．錯誤!［由于S△ABC＝錯誤!absinC，因此錯誤!＝錯誤!absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，因此在△ABC中，C＝錯誤!。應選C.]4．在△ABC中,cos錯誤!＝錯誤!,BC＝1，AC＝5，則AB＝（)A．4錯誤!B．錯誤!C．錯誤!D．2錯誤!22A[由于cos錯誤!＝錯誤!,因此cosC＝2cos錯誤!－1＝2×（錯誤!）－1＝－錯誤!.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－22×(－）＝32，因此AB＝4.2AC×BC×cosC＝5＋1－2×5×1錯誤!錯誤!應選A.］-16-學必求其心得，業必貴于專精5．△ABC的內角A,B，C的對邊分別為a,b，c.已知bsinA＋acosB＝0,則B＝．錯誤!［∵bsinA＋acosB＝0，∴錯誤!＝錯誤!.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π，）∴B＝錯誤!。]6．記Sn為等差數列｛an｝的前n項和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝．［∵{an}為等差數列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝錯誤!＝錯誤!＝2，首項a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋錯誤!d＝100。］7．若x，y滿足拘束條件錯誤!則z＝x＋y的最大值為．[法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標函數z＝x＋y可化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x，并平移，當平移后的直線經過點B時,z獲取最大值．聯立，得錯誤!解得錯誤!因此B(5，4），故zmax＝5＋4＝9.-17-學必求其心得，業必貴于專精法二：畫圖(圖略）知可行域是封閉的三角形地域,易求得可行域的三個極點的坐標分別是(1，2），（5，4），(5，0)，依次代入目標函數z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax＝9.］8．△ABC的內角A,B，C的對邊分別為a,b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為．［由bsin＋sin＝4sinBsinC得sinBsin＋sinCsinB錯誤!1＝4sinAsinB·sinC，由于sinBsinC≠0，因此sinA＝2。由于b2＋c2－a2＝8，cosA＝錯誤!,因此bc＝錯誤!，因此S△ABC＝錯誤!bcsinA＝錯誤!×錯誤!×錯誤!＝錯誤!.]9．已知數列｛an｝滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1）an.設bn＝錯誤!。1）求b1，b2，b3；2)判斷數列{bn}可否為等比數列，并說明原由；3）求{an｝的通項公式．[解](1）由條件可得an＋1＝錯誤!an.將n＝1代入得,a2＝4a1，而a1＝1,因此，a2＝4.-18-學必求其心得，業必貴于專精將n＝2代入得，a3＝3a2,因此，a3＝12。從而b1＝1，b2＝2，b3＝4。(2）{bn｝是首項為1，公比為2的等比數列．由條件可得錯誤!＝錯誤!，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，因此｛bn｝是首項為1，公比為2的等比數列．n－1n－1(3)由(2)可得錯誤!＝2,因此an＝n·2。10．等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.1）求{an}的通項公式；2)記Sn為｛an}的前n項和．若Sm＝63，求m.［解]（1）設｛an}的公比為q，由題設得an＝qn－1。由已知得q4＝4q2，解得q＝0（舍去),q＝－2或q＝2。故an＝（－2)n－1或a